<< Предыдущая

стр. 19
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

o
the equations dynamically so as spin. The equations of the first degree with respect
to ?µ (µ = 0, 1, 2, 3, 4), invariant under P(1, 4) that is, the equations of the Dirac
and Kemmer–Duffin type are considered in detail. It is shown that the equation of the
Kemmer–Duffin type in the Minkovski five-dimensional space describes a fermion of
the nucleon-antinucleon type but not boson than boson.
Report presented at the Conference on Composite Models of Elementary Particle
(Institute for Theoretical Physics, Kiev, Ukrainian SSR, June 1968).

Определен оператор массы как независимая динамическая переменная, связанная
с генератором P4 неоднородной группы де Ситтера P(1, 4) в 5-мерном пространс-
тве Минковского. Проведена классификация неприводимых представлений алгебры
P(1, 4). Выписаны волновые уравнения в форме Шредингера–Фолди, инвариантные
относительно группы P(1, 4), описывающие частицы с произвольным спином и изо-
спином, причем изоспин входит в эти уравнения динамически, как и спин. Детально
рассмотрены примеры уравнений первой степени по ?µ (µ = 0, 1, 2, 3, 4), инвариан-
тных относительно P(1, 4) — уравнения типа Дирака и Кеммера–Дэффина. Пока-
зано, что уравнение типа Кеммера–Дэффина в 5-мерном пространстве Минковского
описывает не бозон, а фермион типа нуклон-антинуклон.
Работа была доложена на Рабочем совещании по составным моделям элементар-
ных частиц, состоявшемся в ИТФ АН УССР в июне 1968 г.

§ 1. Введение. Выбор группы
Вопрос о написании физически приемлемых уравнений, в которых переменные
типа изоспина, гиперзаряда входили бы динамически, на равных правах со спи-
ном, был поднят многими авторами (обзор этих работ см. в [1]). В этих работах
главные усилия направлялись на объединение однородной группы Лоренца O(1, 3)
c группами “внутренних” симметрий. Более последовательное решение этого во-
проса, однако, требует нетривиального объединения неоднородной группы Лорен-
ца (группы Пуанкаре P(1, 3)) с группами “внутренних” симметрий. Ожидается,
что именно на этом пути удастся получить спектр масс и другие характеристики
элементарных частиц.
Однако, как показано в работах [2], невозможно нетривиально объединить ал-
гебру1 P(1, 3) и “внутренние” симметрии в рамках конечномерной алгебры G, если
оператор массы M 2 ? P0 ? P 2 имеет дискретный спектр. В работе [3] был по-
2

строен нетривиальный пример алгебры G ? P(1, 3) для случая, когда оператор
Препринт ИТФ–68-72, Киев, № 72, 1968, 38 с.
1 Алгебрыи соответствующие им группы обозначается здесь одинаковыми символами.
84 В.И. Фущич, И.Ю. Кривский

массы имеет уже полосатый спектр; но и в этом случае оказалось, что алгебра G
является бесконечномерной алгеброй Ли. Рассмотрение же бесконечномерных ал-
гебр для физических задач затруднительно как ввиду отсутствия разработанного
математического аппарата таких алгебр, так и ввиду необходимости решения за-
ведомо нелегкой задачи придания физического смысла, по крайней мере, всем
ее коммутирующим генераторам. Не говоря уже о том, что вопрос о написании
уравнений движения, инвариантных относительно таких алгебр, совершенно не
ясен. Все это наводит на мысль, что при отыскании объединявшей конечномерной
алгебры G следует, очевидно, отказаться от требования дискретности или даже
полосатости спектра оператора массы, а экспериментально наблюдаемые дискре-
тные массы пытаться получить как собственные значения оператора массы при
наличии соответствующего взаимодействия.
В данной работе предлагается один из возможных способов нетривиального
объединения, в терминах уравнений для волновых функций2 алгебры P(1, 3) с
алгебрами “внутренних” симметрий в рамках конечномерной алгебры Ли, имею-
щий определенное физическое оправдание. Он основан на рассмотрении оператора
(квадрата) массы как независимой динамической переменной, определяемой как

M 2 ? ? 2 + P4 ,
2
(1.1)

где ? – некоторый фиксированный параметр, а P4 — оператор типа компонент
8-импульса P , коммутирующий со всеми генераторами алгебры P(1, 3). Соотно-
шение между энергией P0 , 8-импульсом P и переменной массой M физической
системы оставляется прежним (здесь всюду = c = 1):

+ M 2 ? Pk + ? 2 ,
2 2 2
(1.2)
P0 = P k = 1, 2, 3, 4.

Определение (1.1) делает P -пространство (одной частицы) пятимерным: P ?
(P0 , P , P4 ). Если P - и x-пространства по-прежнему считать взаимно сопряжен-
ными, последнее тоже будет пятимерным: x ? (x0 , x, x4 ). Естественно оставить
за временем t ? x0 и 8-координатой x прежнюю роль, а в качестве x4 выбрать
(в квантовой механике) динамическую переменную, канонически сопряженную к
P4 . Далее, если не нарушать общепринятую связь между импульсным и конфигу-
рационным пространствами, то предлагаемая концепция переменной массы требу-
ет рассмотрения группы преобразований оставляющих инвариантной пятимерную
форму

x2 ? x2 ? x2 ? x2 ? x2 , (1.3)
µ = 0, 1, 2, 3, 4,
0 4 µ

— неоднородной группы де Ситтера, алгебру которой обозначим как P(1, 4), в
отличие от алгебры P(1, 3) группы Пуанкаре.
Совершенно очевидно, что принятое здесь определение оператора массы как не-
зависимой динамической переменной является более общим и нетривиальным (см.
ниже) даже для случая отсутствия взаимодействия. Оно может оказаться плодо-
творным (или даже необходимым) при описании нестабильных частиц (систем)
как не обладающих фиксированной массой.
показано в [3], алгебраическая задача о подходящем вложении алгебры P(1, 3) в более широ-
2 Как

кую может быть cформулирована в терминах уравнений для волновых функций, что облегчает надле-
жащий физический анализ объединяющей схемы.
О волновых уравнениях в 5-пространстве Минковского 85

Уместно напомнить, что идея использования пятимерного пространства в фи-
зике была высказана Ф. Клейном задолго до основания квантовой теории и рас-
сматривалась в самых различных вариантах (обзор основных работ этого направ-
ления см., например, в монографии Румера [4]). Она интенсивно обсуждалась в
общей теории относительности в связи с объединением теории тяготения и эле-
ктричества, а в дальнейшем — построением волновой механики в пятимерном
пространстве [4]. Одно из основных отличий нашего рассмотрения этой идеи со-
стоит (помимо интерпретации пятой координаты) в выборе группы преобразований
координат пятимерного пространства.
В § 2 данной работы найдены инварианты алгебры P(1, 4), проведена классифи-
кация неприводимых представлений алгебры P(1, 4), в классе I, когда P 2 ? Pµ >
2

0, найдена конкретная реализация представления для генераторов этой алгебры,
выписаны волновые уравнения в форме Шредингера–Фолди, инвариантные отно-
сительно выбранной группы. В § 3 дана физическая интерпретация волновых урав-
нений, согласно которой уравнения в классе I описывают частицы с произволь-
ным спином и изоспином, причем изоспин входит в эти уравнения динамически,
как и спин. В § 4 проведена классификация неприводимых представлений алге-
бры P(1, 4) в других классах и выписаны соответствующие P(1, 4)-инвариантные
уравнения3 . В § 5 и 6 детально рассмотрены примеры P(1, 4)-инвариантных урав-
нений первой степени по ?µ в пятимерном пространстве Минковского — урав-
нения типа Дирака и Кеммера–Дэффина. Любопытно отметить, что уравнение
типа Кеммера–Дэффина в схеме P(1, 4) описывает не бозоны, а фермионы типа
нуклон-антинуклон.

§ 2. Классификация представлений алгебры P(1, 4).
Волновые уравнения в классе I.
Эрмитовы генераторы Pµ и Jµ? алгебры P(1, 4) неоднородной группы де Сит-
тера удовлетворяют соотношениям

?i [Pµ , J?? ] = gµ? P? ? gµ? P? , (2.1а)
[Pµ , P? ] = 0,

?i [Jµ? , J?? ] = gµ? J?? + g?? Jµ? ? gµ? J?? ? g?? Jµ? , (2.1б)

где

gkl = ??lk ; (2.2)
g00 = 1, µ, ?, ?, ? = 0, 1, 2, 3, 4; k, l = 1, 2, 3, 4,

a, Jµ? — генераторы однородной группы де Ситтера O(1, 4). Совокупность генера-
торов Jµ? = ?J?µ полезно для дальнейшего записать в виде матрицы:
? ?
0 J01 J02 J03 J04
? 0 J12 J13 J14 ?
? ?
(Jµ? ) = ? 0 J23 J24 ? . (2.3)
? ?
? 0 J34 ?
0
Здесь, как в других подобных записях, соответствующие матричные элементы
ниже главной диагонали не выписаны. Кроме того, для упрощения записи, нули
3 Краткое содержание некоторых результатов, приведенных в § 2–4, изложено в [5].
86 В.И. Фущич, И.Ю. Кривский

главной диагонали в подобных матрицах будем в дальнейшем опускать. Заметим,
кстати, что в отличие от случая O(1, 3), совокупность генераторов Jµ? алгебры
O(1, 4) нельзя исчерпать группированием их в 3-мерные или 4-мерные векторы.
Поэтому ниже чаще всего приходится иметь дело с тензорными конструкциями.
Для написания всех волновых уравнений, инвариантных относительно неодно-
родной группы де Ситтера P(1, 4) (“P(1, 4)-инвариантных уравнений”) и реализую-
щих представления алгебры P(1, 4), необходимо найти инварианты этой алгебры,
провести классификацию представлений по значениям инвариантов и найти яв-
ный вид ее генераторов в различных представлениях. Ясно, что одним из таких
инвариантов является квадрат 5-импульса:
P 2 ? P0 ? P ? P 4 ? Pµ ,
2 2 2 2
(2.4)
µ = 0, 1, 2, 3, 4.
Для отыскания других инвариантов рассмотрим антисимметричный тензор тре-
тьего ранга
Uµ?? ? Pµ J?? + P? J?µ + P? Jµ? . (2.5)
Он имеет 10 независимых компонент, поэтому эквивалентен соответствующему
антисимметричному тензору второго ранга wµ? , который определим как
1 1
wµ? ? (2.6)
?µ???? P? J?? = ?µ???? U??? ,
2 6
где ?µ???? — единичный полностью антисимметричный тензор пятого ранга с
?01234 = 1. Соответствие между компонентами тензоров (2.5) и (2.6) удобно запи-
сать в матричной форме
? ?? ?
?U234 ?U314 ?U124 ?U321
w01 w02 w03 w04
? w12 w13 w14 ? ? U034 U042 U023 ?
(wµ? ) ? ? ?=? ?. (2.7)
? w23 w24 ? ? U014 U031 ?
w34 U012
Заметим, что в P(1, 3) аналогом тензора wµ? является 4-вектор wµ (см. (2.56)
в [6]).
Используя (1.1), можно показать, что имеют место следующие коммутационные
соотношения:
[Pµ , w?? ] = 0,
?i [Jµ? , w?? ] = gµ? w?? + g?? wµ? ? gµ? w?? ? g?? wµ? , (2.8а)
?i [wµ? , w?? ] = (gµ? ?????? + g?? ?µ???? ? gµ? ?????? ? g?? ?µ???? ) P? J?? ;

[Pµ , U??? ] = 0,
?i [Jµ? , U??? ] = gµ? U??? + g?? Uµ?? ? gµ? U??? ? g?? Uµ?? ,
?i [Uµ?? , U??? ] = gµ? (U??? P? ? U??? P? ) ? µ?(??? · ? ? ??? · ?)+
(2.8б)
+µ?(??? · ? ? ??? · ?) ? ??(µ?? · ? ? µ?? · ?) + ??(µ?? · ? ? µ?? · ?)?
???(µ?? · ? ? µ?? · ?) + ??(µ?? · ? ? µ?? · ?) ? ??(µ?? · ? ? µ?? · ?)+
+??(µ?? · ? ? µ?? · ?),
где последние слагаемые записаны схематически, например
µ?(??? · ? ? ??? · ?) ? gµ? (U??? P? ? U??? P? ).
О волновых уравнениях в 5-пространстве Минковского 87

С помощью (2.1) и (2.8) можно проверить, что только скалярные операторы
1 1
V ? ? Jµ? wµ? = ? ?µ???? Jµ? J?? P? , (2.9)
4 8
12 12 122
W? Uµ?? = wµ? = Pµ J?? ? Pµ P? Jµ? J?? (2.10)
6 2 2
коммутируют со всеми генераторами алгебры P(1, 4), т.е. являются ее инвариан-
тами. Можно также убедиться, что инвариантом является оператор знака энергии
? = P0 /|P0 |. (2.11)
Итак, алгебра P(1, 4) имеет четыре инварианта P 2 , V , W , ?, общих для всех ее
представлений. Как видно из (2.4), (2.10), (2.11), инварианты P 2 , W и ? подобны по
конструкции соответствующим инвариантам алгебры P(1, 3), тогда как инварианта
типа V алгебра P(1, 3) не имеет.
Как и в случае P(1, 3) [7, 8], целесообразно рассмотреть четыре класса непри-
водимых представлений алгебры P(1, 4), соответствующие следующим значениям
инварианта P 2 :
P 2 = ?2 > 0 P 2 = 0, P = 0 — клаcc II;
— класс I;
P 2 = ?? 2 < 0 — класс III; — класс IV;
P =0
где ? и ? — действительные числа.
Остановимся в этом параграфе и анализе представления класса I. Удобно рабо-
тать в допустимой в этом классе “системе покоя” Pk = 0. В этой системе P0 = ??
и, как можно убедиться, тензор (2.6) редуцируется к 6-компонентному тензору:
компоненты w0k = 0, а остальные компоненты wkl совпадают (с точностью до ??)
с компонентами
Skl ? Jkl
Pk =0

в форме 4 ? 4-матрицы:
в указаном ниже порядке, так что его можно записать
? ? ? ?
w12 w13 w14 S43 S24 S32
(wµ? ) = ? w23 w24 ? = ??? ? S13 ? . (2.12)
S41
w34 S21
Инварианты V и W в этой системе имеют вид:
1
V = ? Skl wkl = ?? LR, (2.13)
4
12
wkl = ? 2 L 2 + R 2 , (2.14)
W=
2
где 3-векторы
L ? (S23 , S31 , S12 ), R ? (S41 , S42 , S43 ). (2.15)

Напомним, кстати, что в P(1, 3) 4-вектор wµ в системе P = 0 совпадает с
3-вектором спина, компонентами которого суть операторы Jab , a, b = 1, 2, 3, в си-
стеме P = 0, т.е. моменты Sab собственных вращений (точнее говоря, моменты
88 В.И. Фущич, И.Ю. Кривский

“внутренних” движений). Ясно поэтому, что операторы Jkl = Skl в системе Pk = 0
тоже следует понимать как моменты некоторых “внутренних” движений.
Операторы Jkl = Skl являются генераторами алгебры O4 группы евклидовых
вращений в 4-пространстве. Эта группа и является малой группой группы P(1, 4)
в классе I. Поэтому задача о классификации неприводимых представлений алге-
бры P(1, 4) в этом классе по существу сводится к хорошо изученной (см., на-
пример, [6]) задаче о классификации неприводимых представлений алгебры O4

<< Предыдущая

стр. 19
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>