<< Предыдущая

стр. 20
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Напомним, что все неприводимые представления D(s, t) группы O(4) унитарны,
конечномерны и идентифицируется двумя числами s и t, возможные значения
которых суть s, t = 0, 1/2, 1, . . .. Эти числа определяют собственные значения ин-
вариантов S 2 и T 2 алгебры O4 :

S 2 = s(s + 1)? = t(t + 1)?
2
(2.16)
1, T 1,

где ? — (2s + 1)(2t + 1)-мерная единичная матрица, а компоненты 3-векторов S и
1
T суть

1 1
(Sbc ? S4a ), (2.17)
Sa = (Sbc + S4a ), Ta =
2 2

где (a, b, c) = цикл (1,2,3). Векторы, реализующие матричные представления
D(s, t) алгебры O4 , (2s + 1)(2t + 1)-мерны, их компоненты нумеруется собствен-
ными значениями s3 и t3 операторов S3 и T3 (?s ? s3 ? s, ?t ? t3 ? t).
Обратим внимание, что в качестве независимых инвариантов алгебры P(1, 4) в
классе I можно выбрать операторы P 2 , ?, S 2 и T 2 , поскольку, как видно из (2.17),
(2.13), (2.14),

W ? W ?
?
S2= 2
(2.18)
+ V, T = V.
2 2
4? 2? 4? 2?

Поэтому свойства неприводимых представление группы P(1, 4) в классе I, связан-
ные с инвариантами S 2 и T 2 , совпадают со свойствами неприводимых представ-
лений группы O4 .
Таким образом, все неприводимые представления D± (s, t) группы P(1, 4) в
классе I унитарны, конечномерны и идентифицируются числами s и t, а также
значением ? 2 инварианта P 2 и знаком энергии ? = ±1. Компоненты векторов ?,
реализующих представление D± (s, t), нумеруются числами s3 , t3 .
Для написания P(1, 4)-инвариантного волнового уравнения в классе I необхо-
димо найти конкретную реализацию представления D± (s, t), т.е. найти явный вид
операторов Pµ и Jµ? , определенных в том или ином гильбертовом пространстве
векторов ?, реализующих представление D± (s, t). Заметим, что задача о написа-
нии даже P(1, 3)-инвариантного уравнения для произвольного спина эффективно
и изящно решается, только если найден явный вид генераторов P(1, 3) в кано-
нической форме Фолди–Широкова [9, 8]. Естественно поэтому и в нашем случае
найти прежде всего канонический вид типа Фолди–Широкова для генераторов Pµ
и Jµ? .
О волновых уравнениях в 5-пространстве Минковского 89

Используя методику работ [8, 9], можно показать, что канонический вид гене-
раторов P(1, 4) для представлений D± (s, t) выглядит как

P0 = ?? ? ? p2 + ? 2 , Pk = p k ,
k
Jkl = xk pl ? xl pk + Skl , (2.19)
? ?Skl pl
J0k = x0 pk ? (xk ? + ?xk ) ? ,
?+?
2
где xk pl ? xl pk ? Mkl — инфинитезимальные операторы вращений в плоскостях
(k, l), операторы xk и pk удовлетворяют соотношениям

(2.20)
[xk , pl ] = i?kl , [xk , xl ] = [pk , pl ] = 0, k, l = 1, 2, 3, 4

(так что, например, в x-представлении pk = ??k ? ?i?/?xk ), а Skl — момен-
ты “внутренних” движений, реализующие матричное неприводимое представле-
ние D(s, t) размерности (2s + 1)(2t + 1) алгебры O4 , о котором говорилось выше.
При этом имеется в виду, что операторы (2.10) определены в гильбертовом про-
странстве вектор-функций ? = ?(x, x4 ) (в x-представлении или ? = ?(p, p4 )
p-представлении и т.п.) со скалярным произведением

d3 x dx4 ?? (x, x4 )? (x, x4 ) ?
(?, ? ) ?
(2.21)
?
? 3
d x dx4 ? (x, x4 , s3 , t3 )? (x, x4 , s3 , t3 ),
s3 ,t3

где ?(x, x4 , s3 , t3 ) — компоненты вектора ?(x, x4 ). Разумеется, все другие виды
генераторов P(1, 4) представления D± (s, t) унитарно эквивалентны (2.19).
Теперь уже легко доказать, что P(1, 4)-инвариантное (в смысле Фолди [9])
квантово-механическое уравнение для векторов ? как функции времени t ? x0 ,
реализующих представление D± (s, t), имеет вид:

p 2 + p2 + ? 2 , (2.22)
i?0 ? = H?, H = P0 = ? 4

где ? — (2s+1)(2t+1)-компонентный вектор, компоненты которого нумеруются чи-
слами s3 , t3 , так что, например, в x-представлении вектор ? = ?(x) ? ?(x0 , x, x4 ),
а его компонентами суть ?(x0 , x, x4 , s3 , t3 ).
Обратим внимание, что время t = x0 и динамические переменные x и x4 входят
в уравнение (2.22) несимметрично. Поэтому могло бы показаться, что уравнение
(2.22) не инвариантно относительно неоднородной группы де Ситтера P(1, 4). На
самом же деле это уравнение инвариантно относительно P(1, 4) в более общем,
чем это обычно принято, смысле, а именно: под инвариантностью в смысле Фолди
понимается выполнение условия

[(i?0 ? H), Q] ? = 0, (2.23)

где ? — любое решение уравнения (2.22), а Q — любой генератор из P(1, 4),
или любая их линейная комбинация, т.е. любой элемент алгебры P(1, 4). Можно
проверить, что генераторы Pµ , Jµ? в форме (2.19) действительно удовлетворяют
условию (2.23), так что уравнение (2.22) действительно P(1, 4)-инвариантно. Его
90 В.И. Фущич, И.Ю. Кривский

решения ? реализуют именно неприводимое (единственное с точностью до уни-
тарной эквивалентности) представление D± (s, t), поскольку ? суть (2s+1)(2t+1)-
компонентные векторы и согласно (2.22) для них P 2 ? = ? 2 ? и ?? = ±?.
Заметим, кстати, что если к операторам Pµ и Jµ? алгебры P(1, 4) добавить
операторы типа отражений (что необходимо при рассмотрении теоремы типа СРТ
в нашей схеме, которое здесь не приводится), то уравнение (2.22), вообще говоря,
не будет реализовать представления такой расширенной алгебры P(1, 4). Неприво-
димые представления алгебры P(1, 4) строятся как прямые суммы неприводимых
представлений D± (s, t) алгебры P(1, 4). Соответствующие уравнения, реализую-
щие представления алгебры P(1, 4) нетрудно выписать, имея явный вид (2,19)
генераторов P(1, 4) в неприводимых представлениях D± (s, t).
Приведем здесь два примера таких уравнений, представляющих физический
интерес (см. § 5 и 6). Уравнение, реализующее представления D+ (s, t) ? D? (s, t),
имеет вид:
?
1 0
i?0 ? = H? ? ? p 2 + p2 + ? 2 ?, ?? (2.24)
,
??
4
0 1

а явный вид генераторов P(1, 4) в этом представлении совпадает c (2.19), где
заменено
Skl 0
? > ?, Skl > .
0 Skl

Уравнение, реализующее представление

D+ (s, t) ? D+ (t, s) ? D? (s, t) ? D? (t, s),

имеет вид:
? ?
· · ·
?
1
?· ·?
·
?
1
B?? ?,
i?0 ? = H? ? B p 2 + p2 + ? 2 ?, (2.25)
?· ·?
· ??
4
1
· · · ??1

где точки в матрице обозначают нули. В этом представлении явный вид генерато-
ров P(1, 4) совпадает с (2.19), где заменено ? > B, а
? ? ? ?
· · · · · ·
Sab S4a
?· ·? ?· ·?
· ·
Sab S4a
Sab > ? ?, S4a > ? ?.
?· ·? ?· ·?
· ·
Sab S4a
· · · · · ·
Sab S4a

Детальное обсуждение расширенной алгебры P(1, 4) будет предметом специаль-
ного рассмотрения.

§ 3 Физическая интерпретация.
В предыдущем параграфе были получены волновые уравнения класса I, инва-
риантные относительно вращении и трансляций в 5-мерном пространстве Минков-
ского. Приведем здесь возможную физическую интерпретацию изложенной выше
О волновых уравнениях в 5-пространстве Минковского 91

математической схемы, позволяющую рассматривать эти уравнения как уравнения
Шредингера для волновых функций.
В p-представлении компоненты волновой функция ? уравнения (2.22) являются
функциями шести динамических переменных соответствующего полного набора:
?(x0 , p, p4 , s3 , t3 ). Как обычно, они интерпретируются как амплитуды вероятностей
получения, при измерении в данный момент времени t = x0 , указанных значений
полного набора. Физический смысл операторов P и P4 приведен во введении.
Выясним теперь возможный физический смысл операторов S3 , T3 .
Операторы (2.17) удовлетворяют соотношениям

Sa , S 2 = Ta , T 2 = [Sa , Tb ] = 0. (3.1)
[Sa , Sb ] = iSc , [Ta , Tb ] = iTc ,

Отсюда и из (2.19) ясно, что 3-векторы S и T можно трактовать как операто-
ры спина и изоспина, причем, поскольку S и T входят в нашей схеме на рав-
ных правах, их можно трактовать и как операторы изоспина и спина соответ-
ственно. Таким образом, принятое нами определение (1.1) оператора массы как
независимой динамической переменной дало возможность динамически объеди-
нить “внешнюю” (P(1, 3)) и “внутреннюю” (изоспиновую SU (2)T ) симметрии. Дей-
ствительно, в обычном подходе в качестве объединяющей группы берется группа
P(1, 3) ? SU (2)T , так что генераторы SU (2)T коммутируют с генераторами P(1, 3)
(даже при наличии взаимодействия). В нашем случае SU (2)T ? O4 ? P(1, 4),
точно так же, как и SU (2)S ? O4 ? P(1, 4), т.е. здесь генераторы SU (2)T , как
и SU (2)S , не коммутируют с генераторами P(1, 3) ? P(1, 4). Таким образом, изо-
спин, как и спин, действительно входит в P(1, 4)-инвариантную теорию динами-
чески.
Как было показано выше, уравнение (2.22) реализует неприводимое представле-
ние D± (s, t) алгебры P(1, 4), т.е. описывает “элементарную” относительно P(1, 4)
“частицу” (при ? = +1 или “античастицу” при ? = ?1) с данными значениями
спина s, изоспина t и параметра ?. Простейшие состояния этой “частицы” задаю-
тся собственными значениями полного набора коммутирующих переменных. Ясно,
что неприводимое относительно P(1, 4) представление D± (s, t) приводимо относи-
тельно P(1, 3), поэтому определенная здесь “элементарная частица” неэлементар-
на в обычном понимании (т.е. относительно P(1, 3)). Действительно, решение ?
уравнения (2.22) с данными s и t содержит компоненты, нумеруемые не только
проекцией спина s3 , но и проекцией изоспина t3 , так что фактически ? описыва-
ет целый мультиплет — набор состояний с различными значениями как t3 , так
и s3 . Например, при ? = ±1, s = 0, t = 1/2 векторы ?± описывают мезонные
изодублеты типа

?+ K+ K0
0,1/2
?? =
??+
= , .
K?
K0
?+
0,?1/2

Параметр ?, являющийся пороговым значением свободной энергии E = ? и
одинаковый для всех членов данного мультиплета, можно понимать как “затраво-
чную” массу покоя мультиплета. Конечно, введение подходящего взаимодействия
в уравнение (2.22) приведет к определенному расщеплению масс членов мульти-
плета.
92 В.И. Фущич, И.Ю. Кривский

Напомним, что изоспин принято обычно связывать с зарядом. Поскольку он
входит в схему P(1, 4) динамически (как и спин), эту схему в данной интерпрета-
ции можно, по-видимому, рассматривать как некоторую реализацию идеи объеди-
нения общей теории относительности с теорией электромеханизма, феноменологи-
ческую в том смысле, что 5-пространство в нашем случае является плоским.
Предлагаемый подход может оказаться плодотворным для последовательного
описания нестабильных систем (резонансов, частиц с нефиксированной массой)
уже в рамках квантовой механики4 . Известно, что при квантовомеханическом
описании нестабильных систем приходится (см. например, [10] гл. 5) искать ком-
плексные собственные значения оператора энергии, обязанного быть эрмитовым в
гильбертовом пространстве волновых функций, т.е. фактически выходить за рамки
гильбертова пространства, что влечет за собой нарушение таких основных прин-
ципов, как унитарность, эрмитовость и т.п. [11].
Подобные трудности отсутствуют в предлагаемом квантовомеханическом под-
ходе. Действительно, здесь оператор массы фигурирует как независимая динами-
ческая переменная, он эрмитов, определен в гильбертовом пространстве, поэтому
можно искать его собственные значения m2 , распределения ?(m2 ) в том же гиль-
бертовом пространстве точно так же, как ищутся собственные значения и распре-
деления для операторов энергии, импульса и других динамических переменных.
Например, если известна стационарная волновая функция ? = {?(x, x4 , s3 , t3 )},
вообще говоря, нестабильного мультиплета (имеется в виду: решение уравнения
типа (2.22) о не зависящим от времени x0 взаимодействием), то
2
v
?i m2 ?? 2 x4
2 3
(3.2)
?(m , s3 , t3 ) = dx dx4 e ?(x, x4 , s3 , t3 ) .

Если кривая (3.2) с данными s3 , t3 имеет один максимум, то экспериментально

<< Предыдущая

стр. 20
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>