<< Предыдущая

стр. 21
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

наблюдаемая масса частицы с данными s3 , t3 определяется либо точкой максиму-
ма, либо из

d3 x dx4 ?? (x, x4 , s3 , t3 )(p2 + ? 2 )?(x, x4 , s3 , t3 ),
m2 = (3.3)
4

a ее среднее время жизни ? — из соотношения
m2 ? 2 = 1. (3.4)
Если же кривая (3.2) имеет несколько максимумов, то точки этих максимумов
соответствуют экспериментально наблюдаемым массам нестабильных частиц, а их
времена жизни определяются по полуширине кривой (3.2) в области соответству-
ющих максимумов. Наконец, если ?(m2 , s3 , t3 ) содержит ?-образную особенность
в точке m2 = m2 , то m0 отождествляется с массой стабильной частицы.
0
Важно отметить, что согласно принятой интерпретации реально наблюдаемые
“свободные” частицы, как стабильные, так и нестабильные, описываются не сво-
бодным уравнением (2.22), а уравнением типа (2.22) с подходящим взаимодей-
ствием, нарушающим P(1, 4)-инвариантность, но, конечно, сохраняющим P(1, 3)-
инвариантность5 . Что касается решений свободного уравнения (2.22), то они опи-
сывают гипотетические (“голые”) состояния, которые могут и не соответствовать
4 Очевидно,
строгое рассмотрение подобных задач требует квантовополевого подхода, а квантовоме-
ханический подход можно рассматривать лишь как полуфеноменологический.
5 В этом смысле приведенное здесь рассмотрение P(1, 4)-симметрии является лишь базой для под-

ходящего нарушения ее — аналогично рассмотрению и нарушении SU (n)-симметрий.
О волновых уравнениях в 5-пространстве Минковского 93

никаким реальным частицам. С точки зрения такой интерпретации существуют
два типа взаимодействий: взаимодействие, обуславливающее “облачение” частиц,
присущее даже асимптотическим состояниям, и обычное взаимодействие, ответ-
ственное за рассеяния реальных (“облаченных”) частиц. Поэтому, в частности,
5-мерный закон сохранения, вытекающий из свободной P(1, 4)-инвариантной схе-
мы, может и не иметь реального смысла.
Подчеркнем, что приведенная здесь интерпретация схемы P(1, 4) и, в частно-
сти, упомянутого выше полного набора коммутирующих переменных базировалась,
главный образом, на определении оператора переменной массы как независимой
динамической переменной. Эта интерпретация, однако, не претендует на един-
ственность и законченность. В частности, вопрос о придании “пятой координате”
x4 более непосредственного физического смысла, чем тот, который заложен в ее
определении как динамической переменной, канонически сoпpяженной к массовой
переменной P4 , а также операторам типа J04 , Ja4 , a = 1, 2, 3 здесь не обсужда-
ется. Более подробное обсуждение вопросов интерпретации возможно только в
связи с решением уравнений типа (2.22) с подходящими взаимодействиями, что
не является предметом данной работы.

§ 4. Волновые уравнения в других классах.
Рассмотрим теперь кратко другие классы представлений алгебры P(1, 4). Для
класса II (где P 2 = 0, P = 0) в допустимой здесь системе p1 = p2 = p4 = 0
тензор (2.6) выглядит как
? ?
(01) (02) (03) (04)
? J42 ?
0
J14 J21
? ?
? ?
(12) (13) (14)
? ?
? J04 + ?J43 ?J24 J20 + ?J32 ?
(wµ? ) = ?P3 ? ?, (4.1а)
? ?
(23) (24)
? ?
? ?J41 J04 + ?J13 ?
? ?
? ?
(34)
?J21
где ? = P0 /P3 , а цифры в скобках указывают, чему равны соответствующие ком-
(01)
поненты тензора wµ? . Например, символ J 42 означает, что w01 = ?P3 J42 . Как
видно из (4.1а) тензор wµ? имеет только шесть ненулевых компонентов, которые
полезно записать в виде:
? ? ? ?
w40 w01 w14 J12 J13 P1
(wµ? ) = ? w02 w24 ? = ?P3 ? J23 P2 ? , (4.1б)
w12 P3
где
L ? (J23 , J31 , J12 ) ? (J14 , J24 , J12 ), (4.2а)

P1 ? J20 + ?J32 , P2 ? J01 + ?J13 , P3 ? J04 + ?J43 . (4.2б)

Инварианты V и W в этой системе имеют вид:
V = ?J14 w14 ? J24 w24 ? J12 w12 = P3 V , (4.3)
94 В.И. Фущич, И.Ю. Кривский

2 2 2
(4.4)
W = w14 + w24 + w12 = P3 W ,

где
2
V ?LP , (4.5)
WP .

Используя (2.1), можно показать, что операторы (4.2) удовлетворяют соотноше-
ниям

i [Pa , Jbc ] = ?ab Pc ? ?ac Pb , (4.6а)
[Pa , Pb ] = 0,

i [Jab , Jcd ] = ?ad Jbc + ?bc Jad ? ?ac Jbd ? ?bd Jac . (4.6б)

Отсюда видно, что операторы Pa и Jab являются генераторами алгебры P(3), поро-
жденной группой трансляций и вращении в трехмерном евклидовом пространстве.
Инвариантами этой алгебры, как можно убедиться, являются генераторы (4.5).
Согласно (4.3), (4.4), инварианты V и W алгебры P(1, 4) в этом случае совпадают
(с точностью до множителя P3 ) с инвариантами алгебры P(3). Поэтому класси-
фикация неприводимых представлений алгебры P(1, 4) в классе II по существу
сводится к классификации неприводимых представлений алгебры P(3). Не бу-
дем здесь останавливаться более подробно на этом случае, поскольку, как видно
из (4.6) и (4.4), инварианты W и W имеют непрерывный спектр, которому, оче-
видно, трудно придать приемлемый физический смысл. Рассмотрим ниже только
случай W = 0.
В случае W = 0 (при произвольных P3 и Jab ), согласно (4.4) и (4.5), Pa = 0,
поэтому и инвариант V = 0. Как видно из (4.1б), тензор wµ? ? wµ? /P3 имеет
теперь только три отличные от нуля компоненты, совпадающие с операторами Jab .
Поэтому алгебра P(1, 4) имеет в этом случае дополнительный инвариант
1 2
(4.7)
W= Jab .
2
Согласно (4.6б) этот инвариант является инвариантом алгебры O3 :

W = s(s + 1)?
1,

где ? — (2s + 1)-мерная единичная матрица, а возможные значения s суть s =
1
0, 1/2, 1, . . .. Следовательно, классификация неприводимых представлений алгебры
P(1, 4) по существу сводится здесь к классификации неприводимых представлений
D(s) алгебры O3 .
Таким образом, в случае P 2 = 0, W = V = 0, P = 0 все неприводимые
представления D± (s) группы P(1, 4) унитарны, конечномерны (именно: (2s + 1)-
мерны) и идентифицируются знаком энергии ? = ±1 и числом s.
Явный вид генераторов алгебры P(1, 4) для этого случая, как можно убедиться,
формально совпадает с (2.19) при ? = 0, но при этом Skl реализуют представление
D(s, 0) при ? = +1 и D(0, s = t) при ? = ?1; либо D(0, s = t) при ? = +1
и D(s, 0) при ? = ?1 алгебры O4 , т.е. S4a = ±?Sbc , где Sab — (2s + 1)-мерные
матрицы, реализующие соответствующие неприводимые представления алгебры
O3 . Генераторы Pµ , Jµ? в этом случае реализуют представление D+ (s, 0) = D+ (s)
и D? (0, t = s) = D? (s) при S4a = +?Sbc или D+ (0, t = s) = D+ (s) и D? (s, 0) при
О волновых уравнениях в 5-пространстве Минковского 95

S4a = ??Sbc . Отсюда ясно, что число s можно отождествить либо со спином, либо
с изоспином.
Таким образом, неприводимому представлению класса II для W = 0 в отличие
от класса I, можно сопоставить либо элементарную частицу (с переменной мас-
сой m = p2 ), имеющую спин s, но не имеющую изоспина, либо элементарную
4
частицу, имеющую изоспин t = s, но не имеющую спина.
P(1, 4)-инвариантное уравнение для волновой функции такой частицы (или
античастицы) имеет вид:

p2 ? ? p 2 + m2 , (4.8)
i?0 ? = H?, H=? k

где ? = ?(x) ? ?(x0 , x, x4 ) – (2s+1)-компонентная величина, компоненты которой
?(x0 , x, x4 , s3 ) нумеруются индексом s3 , ?s ? s3 ? s.
Рассмотрим далее представления класса III, когда P 2 = ?? 2 < 0. В допустимой
здесь системе P0 = P = 0 (в которой P4 = ±?) тензор (2.6) имеет только шесть
ненулевых компонент и выглядит как
? ?
(01) (02) (03)
? J23 J12 ?
J31
? ?
? (12) (13) ?
(wµ? ) = ?? ? ?, (4.9)
? J02 ?
J30
? ?
? (23) ?
J10

Инварианты V и W имеют здесь вид:

V = ?J01 w23 ? J02 w31 ? J03 w12 = ±? LN , (4.10)

W = ?w01 ? w02 ? w03 + w12 + w13 + w23 = ? 2 (N 2 ? L 2 ),
2 2 2 2 2 2
(4.11)

где

L ? (J23 , J31 , J12 ), N ? (J01 , J02 , J03 ).

Как видно из (4.9) и (2.1б), ненулевые компоненты тензора wµ? ? ?? ?1 wµ?
удовлетворяют алгебре O(1, 3) однородной группы Лоренца. Инвариантами этой
алгебры, как известно, являются операторы

N 2 ? L 2.
и (4.12)
LN

Согласно (4.10), (4.11) эти операторы совпадают (с точностью до постоянных мно-
жителей) с инвариантами алгебры P(1, 4). Поэтому классификация неприводимых
представлений алгебры P(1, 4) сводится к классификации неприводимых пред-
ставлений алгебры O(1, 3). Все представления этой алгебры полностью изучены
Гельфандом и Наймарком [12].
Напомним, что в пространстве, где реализуются неприводимые представления
алгебры O(1, 3), операторы (4.12) имеют спектр

N 2 ? L 2 = ?(l0 + l1 ? 1)?
LN = il0 l1 ? 2 2
(4.13)
1, 1,
96 В.И. Фущич, И.Ю. Кривский

где ? — единичный оператор, а l0 = 0, 1/2, 1, . . ., l1 — любое число. Отсюда ясно,
1
что в пространстве, где реализуются неприводимые представления алгебры P(1, 4),
V = ±i?l0 l1 ? W = ?? 2 (l0 + l1 ? 1)?
2 2
(4.14)
1, 1.
В этом классе группа P(1, 4), как и группа O(1, 3), имеет унитарные и неуни-
тарные представления, в зависимости от значений чисел l0 , l1 . Причем все унитар-
ные неприводимые представления группы P(1, 4) бесконечномерны и идентифици-
руются числами ?, l0 и l1 , где ? — любое действительное число, ?1 ? l1 ? 1 при
l0 = 0 и l1 — чисто мнимое при l0 = 1/2, 1, . . .. Представления, соответствующие
всем другим значениям чисел l0 и l1 , неунитарны; среди них имеются как коне-
чномерные, так и бесконечномерные. В соответствии с этим P(1, 4)-инвариантные
волновые уравнения с конечным числом компонент (конечнокомпонентные урав-
нения) реализуют только неунитарные представления алгебры P(1, 4). Унитарные
же представления в этом классе могут реализоваться лишь бесконечнокомпонен-
тными уравнениями.
Отметим здесь то любопытное обстоятельство, что все представления одноро-
дной группы Лоренца O(1, 3) связаны не с представлениями общепринятой группы
релятивистской симметрии — группы Пуанкаре P(1, 3), а с представлениями имен-
но неоднородной группы де Ситтера P(1, 4) в 5-простракстве Минковского.
P(1, 4)-инвариантные волновые уравнения в этом классе имеют вид:

i?0 ? ? p2 ? ? 2 ?(l0 ,l1 ) (x0 , x, x4 , l, l3 ) = 0, (4.15)
k


где l ? l0 = 0, 1, 2, . . ., ?l ? l3 ? l. Они конечнокомпонентны или бесконечно-
компонентны в зависимости от значений чисел l0 и l1 . Доказательства того, что
уравнения (4.8), (4.15) P(1, 4)-инвариантны и реализуют соответствующие непри-
водимые представления, проводятся аналогично доказательствам, приведенным в
связи с уравнением (2.22).
Обратим внимание, что если мы намерены решениям ? уравнения (4.15) при-
давать физический смысл волновой функции — амплитуды соответствующей ве-
роятности — то числа l0 и l1 должны быть такими, чтобы ? реализовали уни-
тарные представления, которые, как отмечалось више, бесконечномерны, а ? —
бесконечнокомпонентны. В последнее время бесконечнокомпонентные уравнения
интенсивно обсуждаются [13], хотя и без достаточно обоснованных аргументов
в пользу их написания. В нашем же случае бесконечнокомпанентные уравнения
являются непременным следствием принятой группы симметрии. Правда, физиче-
ский смысл величин ?, l0 , l1 , l, l3 не столь ясен, как величин, фигурирующих в
волновых функциях уравнений класса I и II. Следуя авторам [13], можно было
бы пытаться придать какой-то физический смысл этим величинам. Однако слу-
чаи I и II имеют более непосредственное отношение к проблемам спектра масс и
нестабильных систем, чем случай III.
Для полноты отметим, что в случае IV, когда P0 = P = P4 = 0, имеем V =
W = 0. Алгебра P(1, 4) в этом случае редуцируется к алгебре O(1, 4) однородной
группы де Ситтера, все предcтавления которой известны (см., например, [l4]), а
соответствующие уравнения выписаны в [1].
Приведенные здесь квантовомеханичеcкие уравнения Шредингера–Фолди удо-
бны для перехода к квазирелятивистскому приближению при учете изоспиновых
О волновых уравнениях в 5-пространстве Минковского 97

и спиновых эффектов (при введении, конечно, подходящего взаимодействия). При
теоретикополевых рассмотрениях обычно исходят из уравнений первого порядка
по ?µ . Такие уравнения, как показано в последующих параграфах, можно по-
лучить из выписанных в § 2 и § 4 уравнений унитарным преобразованием типа
Фолди–Вотхойзена. Построение же квантовой теории поля на базе линейных по ?µ

<< Предыдущая

стр. 21
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>