<< Предыдущая

стр. 22
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

уравнений и введение взаимодействий в рамках лагранжева формализма проводи-
тся в полной аналогии с обычной P(1, 4)-инвариантной теорией. В заключение
этого параграфа заметим, что все приведенные здесь результаты для P(1, 4) без
принципиальных затруднений обобщаются (исключая, конечно, вопросы интерпре-
тации) и на группу P(1, n) трансляций и вращений в (1 + n)-мерном пространстве
Минковского.

§ 5. Уравнения типа Дирака
Рассмотрим простейшее уравнение, явно инвариантное относительно группы
P(1, 4). Напомним, что имеется пять матриц Дирака ?µ , удовлетворяющих соо-
тношениям

(5.1)
?µ ?? + ?? ?µ = 2gµ? , µ = 0, 1, 2, 3, 4,

где ?0 — эрмитова, а ?k , k = 1, 2, 3, 4 — антиэрмитовы, причем

?0 ? ? = ?1 ?2 ?3 ?4 ?4 = ??0 ?1 ?2 ?3 ). (5.2)
(или

Уравнение Дирака в 5-проcтранстве Минковского имеет вид:

(i?µ ?µ ? ?)? ? (i?0 ?0 + i?k ?k ? ?)? = 0 (5.3а)

или

(i?µ ?µ + ?)? = 0. (5.3б)

Уравнение (5.3) было выписано еще Дираком. Наша цель — выяснить, какое
представление алгебры P(1, 4) реализует совокупность решений ? уравнения (5.3).
При этом мы будем следовать не традиционной методике, которой обычно поль-
зуется (см., например, [12]) и которая фактически выясняет вопрос о реализации
уравнением Дирака в 4-пространотве Минковокого представления не группы Пу-
анкаре P(1, 3), а лишь однородной группы Лоренца O(1, 3). Заметим, кстати, что
поскольку исходной группой инвариантности является именно P(1, 3) (в нашем
случае P(1, 4)), а не O(1, 3) (O(1, 4)), необходимо с самого начала ставить и ре-
шать вопрос о реализации решениями того или иного уравнения представления
группы P(1, 3) (P(1, 4)), а не O(1, 3) (O(1, 4)).
Здесь мы пользуемся методикой, пригодной для анализа как уравнения Дира-
ка, так и других волновых уравнений (линейных нелинейных по ?µ ), причем в
произвольном (1 + n)-мерном пространстве Минковского. Она основана на мате-
матически строгом определении (2.23) понятия инвариантности волнового урав-
нения. Из определения (2.23) ясно, что для решения вопроса об инвариантности
волнового уравнения относительно группы P(1, n) необходимо найти явный вид
генераторов Pµ , Jµ? алгебры P(1, n), связанный с данным уравнением тем, что
его гамильтониан H и оператор i?0 ? i?/?t должны коммутировать с генератора-
ми Pk , Jµ? как генератор P0 . Далее, зная явный вид генераторов, можно найти в
98 В.И. Фущич, И.Ю. Кривский

явном виде инварианты алгебры P(1, n) и тем самым решить вопрос о том, какое
именно представление этой алгебры реализует решения данного уравнения.
Проиллюстрируем эту методику на примере уравнения (5.3).
Запишем уравнение (5.3а) в гамильтоновой форме
H ? ?pk + ??, (5.3а )
i?0 ? = H?, ?k = ?0 ?k .
Непосредственной проверкой можно убедиться, что явный вид генераторов Pµ ,
Jµ? , удовлетворяющих соотношениям (2.1), в данном случае выглядит как
P0 = H ? ?k pk + ??, Pk = pk ? ?ipk ,
Jkl = xk pl ? xl pk + Skl , (5.4)
1
J0k = x0 pk ? (xk P0 + P0 xk ),
2
где
i
Skl ? (?k ?l ? ?l ?k ). (5.5)
4
Заметим, что “орбитальные” и спин-изоспиновые моменты Mkl и Skl в отдель-
ности не коммутируют с H. Это, однако, не означает, что в свободной теории,
основанной на уравнении (5.3), они не сохраняются. Это лишь означает, что в
представлении Дирака (5.4) переменные x, x4 , от которых зависит волновая фун-
кция ?, нельзя трактовать как соответствующие координаты; адэкватная интер-
претация волновой функции возможна только в представлении Фолди–Широкова
(см. § 2), где, как видно из (2.19), “орбитальные” и спин-изоспиновые моменты в
отдельности коммутируют с гамильтонианом. Как известно (см., например, [15]),
аналогичная ситуация c уравнением Дирака имеет место и в P(1, 3): сохраняю-
щиеся при отсутствии взаимодействия каждый в отдельности орбитальный Mab
и спиновый Sab моменты коммутируют с гамильтонианом только в представлении
Фолди–Широкова, но не в представлении Дирака.
Имея явный вид (5.4) генераторов P(1, 4), можно проверить, что условие (2,23)
выполняется, т.е, уравнение (5.3) действительно P(1, 4)-инвариантно. Для конкре-
тности дальнейших рассуждений удобно выбрать ?µ в виде:
0 ?a 01 10
?0 ? ? = (5.6)
?a = , ?4 = i , ,
??a 0 ?1
0 10
где 1 — двухмерная единичная матрица, ?a — матрицы Паули, взятые в виде:
0 ?i
01 10
?1 = , ?2 = , ?3 = .
0 ?1
10 i0
Тогда операторы (2.17) спина и изоспина для частицы, описываемой уравнени-
ем (5.3), имеют вид
1 1
?a 0 0 0
(5.7)
Sa = , Ta = ,
0 0 0 ?a
2 2
а их квадраты, совпадающие с инвариантами (2.18), имеют вид:
3 3
10 00
S2 = T2= (5.8)
, .
00 01
4 4
О волновых уравнениях в 5-пространстве Минковского 99

Далее, инвариант P 2 = ?, а инвариант — знак энергии ? совпадает (в системе
pk = 0) с матрицей ?.
Из формул для S 2 , T 2 , S3 , T3 и ? = ? видно, что совокупность решений
уравнения (5.3а) реализует четырехмерное приводимое представление D+ (1/2, 0)?
D? (0, 1/2) алгебры P(1, 4). Таким образом, в соответствии с интерпретацией чисел
s и t, уравнение Дирака (5.3а) описывает мультиплет типа

?+
1/2,0
(5.9)
?= ,
??
0,1/2


где ?+
1/2,0 — спинор-изоскаляр, описывающий фермион со спином s = 1/2 и изо-
спином t = 0 (частицу типа ? – гиперон), а ??
0,1/2 — скаляр-изоспинор, описыва-
ющие антибозон с s = 0 и t = 1/2 (античастицу типа K — мезон)6 .
Аналогично можно показать, что уравнение (5.36) реализует представление
?
D (1/2, 0) ? D+ (0, 1/2) алгебры P(1, 4), т.е. описывает частицу типа K и антича-
стицу типа ?. Явный вид генераторов Pµ , Jµ? в этом случае получается из (5.4)
заменой ? > ?? или ? > ??.
Итак, в отличие от уравнения Дирака в схеме P(1, 3), уравнение Дирака (5.3)
в схеме P(1, 4) не описывает симметричным образом частицы и античастицы, а
значит, не будет инвариантным относительно преобразований типа CP T . Из ана-
лиза уравнений (5.3а) и (5.3б) видно, что в схеме P(1, 4) уравнение, описывающее
частицы и античастицы симметрично, должно реализовать представление

1 1 1 1
? D? , 0 ? D? 0,
, 0 ? D+ 0,
D+ (5.10)
.
2 2 2 2

Оказывается, что такое уравнение имеет вид:

(i?µ ?µ ? ?)? ? (i?0 ?0 + i?k ?k ? ?)? = 0, (5.11)

где 8 ? 8–матрицы ?µ суть

0 ?k 10
(5.12)
?k = , ?0 = .
0 ?1
?k 0

Явный вид генераторов P(1, 4) для (5.11) выгладит как

P0 = H ? ?0 ?k pk + ?0 ?, Pk = p k ,
Jkl = Mkl + Skl , (5.13)
J0k = x0 pk ? 1 (xk P0 + P0 xk ),
2

где

i Skl 0
Skl ? (?k ?l ? ?l ?k ) = (5.14)
.
0 Skl
4
6 Заметим, кстати, что более содержательно было бы назвать бозон типа K не изодублетом, а
спиносинглет-изодублетом, а фермион типа ? — спинодублет-изосинглетом.
100 В.И. Фущич, И.Ю. Кривский

Из явного вида соответствующих 8 ? 8-матриц S 2 , T 2 , S3 , T3 и ? = ?0 ви-
дно, что уравнение (5.11) действительно реализует представление (5.10), т.е., чтo
волновая функция ? (восьмикомпонентный спинор) имеет вид:
?+ ?
?1/2,0
?+ ?
? ?0,1/2 ?
?=? ? ?. (5.15)
?? ?
? 1/2,0 ?
??
0,1/2

Восьмикомпонентное уравнение (5.11) является объединением четырехкомпо-
нентных уравнений (5.3a) и (5.3б). Действительно, беря ?µ = Q?µ Q+ , где

1 ? ?0
1 1 + ?0
Q? (5.16)
,
1 ? ?0 1 + ?0
2
получим
? ?
?+
1/2,0
?? ?
? ?0,1/2 ?
?k 0 ?0 0
? =? ? ?. (5.17)
?k = , ?0 = , ?? ?
??0
0 ?k 0 ? 1/2,0 ?
?+
0,1/2

Заметим, что подобное объединение уравнений Дирака в схеме P(1, 3) тривиально:
восьмикомпонентное уравнение с матрицами ?a , ?0 (или ?a , ?0 ), как и уравнение
с
?a 0 ?0 0
?a = , ?0 = ,
0 ?a 0 ?0

реализует представление 2 [D+ (1/2) ? D? (1/2)] алгебры P(1, 3).
Волновая функция уравнения (5.11) (или даже (5.3)) описывает непривычные
мультиплеты: она объединяет в один мультиплет фермионы и бозоны. Например,
? ?
?
?K?
?=? ?
? ? ?.
K

Это, конечно не означает, что уравнение (5.11) неудовлетворительно с точки зре-
ния, например, закона сохранения барионного числа. Последний лишь накладыва-
ет ограничения на возможные виды взаимодействий.
Как отмечалось выше, для адекватной физической интерпретации волновой
функции ? как функции координат x, x4 необходимо перейти от представле-
ния Дирака к представлению Фолди. Этот переход осуществляется в помощью
унитарного преобразования

Ak pk p
U = exp ?i p? p2 ,
arctg (5.18)
,
? k
2p
О волновых уравнениях в 5-пространстве Минковского 101

где
для уравнения (5.3)
i?k ,
(5.19)
Ak =
для уравнения (5.11).
i?k ,
В представлении Фолди уравнения (5.3), (5.11) имеют вид:

p2 + ? 2 ?, (5.20)
i?0 ? = B k

где B = ?0 , ??0 , ?0 для уравнений (5.3а), (5.3б), (5.11) соответственно. Явные ви-
ды (5.4), (5.13) генераторов Pµ , Jµ? переходят при этом преобразовании в (2.19),
где нужно положить ? = ?0 , ??0 , ?0 для случаев (5.3а), (5.3б), (5.11) соответствен-
но, а операторы Skl задаются формулами (5.5) и (5.14) для уравнение (5.3) и (5.11)
соответственно.

§ 6. Уравнение типа Кеммера-Дэффина
Рассмотрим теперь аналог уравнений, описывающих в схеме P(1, 4) бозоны со
спином 0 и 1, а именно, уравнения в 5-пространстве Минковского вида
(?µ ?µ + ?)? ? (?k ?k + ?5 ?5 + ?)? = 0, (6.1)
где ?5 ? i?/?x5 ? ?i?/?t ? ?i?t , а пять эрмитовых матриц ?µ удовлетворяют
алгебре Кеммера–Дэффина–Петье (КДП):

<< Предыдущая

стр. 22
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>