<< Предыдущая

стр. 23
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

(6.2)
?µ ?? ?? + ?? ?? ?µ = ?µ? ?? + ??? ?µ , µ, ?, ? = 1, 2, 3, 4, 5.
алгебры (6.2) реализуется 6 ? 6-матрицами вида
Наинизшее представление
? ? ? ?
····· ······
1
?· · · · · ·? ?· · · · · 1?
? ? ? ?
?· · · · · ·? ?· · · · · ·?
?1 = ? ?, ?2 = ? ?
? · · · · · · ?,
?· · · · · ·?
? ? ? ?
?· · · · · ·? ?· · · · · ·?
1···· · ·1····
? ? ? ?
····· · ······
?· · · · · ·? ?· · · · · ·?
? ? ? ?
?· · · · · 1? ?· · · · · ·?
?3 = ? ?, ?4 = ? ? (6.3)
? · · · · · 1 ?,
?· · · · · ·?
? ? ? ?
?· · · · · ·? ?· · · · · ·?
··1·· · ···1··
? ?
····· ·
?· · · · · ·?
? ?
?· · · · · ·?
?5 = ? ?,
?· · · · · ·?
? ?
?· · · · · 1?
····1 ·
где точки обозначают нули. Удобно записать (6.3) схематически в виде табл. 1.
В этой таблице указано, какие элементы матриц равны единице (все остальные
равны нулю). Для сравнения напомним, что наинизшее представление алгебры
КДП в P(1, 3) (т.е. для µ ? 4) реализуется четырьмя 5 ? 5-матрицами.
102 В.И. Фущич, И.Ю. Кривский

Таблица 1
?1 ?2 ?3 ?4 ?5
1,6 2,6 3,6 4,6 5,6
6,1 6,2 6,3 6,4 6,5

С помощью изложенной в § 5 методики можно показать, что уравнение (6.1) с
матрицами (6.3) реализует представление

D+ (0, 0) ? D? (0, 0) ? D(1/2, 1/2), (6.4)

где по первым двум слагаемым преобразуются “существенные” (essential) компо-
ненты вектора ?, на которых оператор энергии отличен от нуля, а по остальным
двум — “лишние” (redundant) компоненты вектора ?, на которых оператор энер-
гии равен нулю. Последние не имеют физического смысла, но, как и в P(1, 3), они
возникают во всех линейных по ?µ уравнениях, за исключением уравнений типа
Дирака. Преобразование Фолди в таких случаях не только разделяет состояния по
знаку энергии, но и дает возможность инвариантным способом отбросить лишние
компоненты.
Таким образом, уравнение (5.1) с матрицами (6.3), которое является линеари-
зованным уравнением Клейна–Гордона в 5-проcтранстве Минковского, описывает
частицы с s = t = 0.
Остановимся более детально на весьма интересном случае — уравнении (6.1) с
15 ? 15-матрицами ?µ , реализующими алгебру (6.2). Эти матрицы можно выбрать,
например, в виде, схематически записанном в табл. 2, где указаны лишь отличные
от нуля элементы матриц ?µ , равные ±1.

Таблица 2
?1 ?2 ?3 ?4 ?5
4, 15 15, 4 3, 15 15, 3 2, 15 5, 12 1, 15 15, 1 1, 14 14, 1
7, 14 14, 7 6, 14 14, 6 5, 14 14, 5 ?5, 13 ?13, 5 ?2, 13 ?13, 2
9, 13 13, 9 8, 13 13, 8 ?8, 12 ?12, 8 ?6, 12 ?12, 6 ?3, 12 ?12, 3
10, 12 12, 10 ?10, 11 ?11, 10 ?9, 11 ?11, 9 ?7, 11 ?11, 7 ?4, 11 ?11, 4

Выясним теперь, какое представление реализует совокупность решений ? ура-
внения (6.1) с матрицами ? табл. 2.
Используя методику, разработанную в [16] для приведения уравнения Кемме-
ра–Дэффина в P(1, 3) к форме Шредингера, можно показать, что уравнение (6.1)
эквивалентно уравнению

H = S5k pk + ?5 ?, (6.5)
i?t ? = H?,

где

S5k ? i(?5 ?k ? ?k ?5 ), k = 1, 2, 3, 4

Легко убедиться, что вследствие (6.2) эрмитовы матрицы

Sµ? ? i(?µ ?? ? ?? ?µ ) (6.6)
О волновых уравнениях в 5-пространстве Минковского 103

удовлетворяют коммутационным соотношениям для генераторов алгебры O5 , т.е.
реализуют 15-мерное представление этой алгебры. Используя явный вид матриц
?µ табл. 2, находим, что величина, соответствующая инварианту P 2 в P(1, 4),
имеет вид:
?4 ?
1
? ?
? ?
06
P 2 ? H 2 ? p2 = ? 2 ?5 = ? 2 ? ?,
2
(6.7)
? ?
k 4
? ?
1
0

где верхние индексы в матрице обозначают размерности единичных и нулевых
матриц, а матрицы Skl имеют вид, схематически записанный в табл. 3, где указаны
лишь отличные от нуля элементы матриц iSkl , равные ±1.

Таблица 3
iS12 iS13 iS14
?4, 3 ?4, 2 ?4, 1
3, 4 2, 4 1, 4
?7, 6 ?7, 5 ?5, 9
6, 7 5, 7 9, 5
?9, 8 ?8, 10 ?6, 10
8, 9 10, 8 10, 6
?11, 12 ?11, 13 ?13, 11 ?11, 14
12, 11 14, 11
iS23 iS24 iS34
?3, 2 ?3, 1 ?2, 1
2, 3 1, 3 1, 2
?6, 5 ?5, 8 ?8, 6
5, 6 8, 5 6, 8
?10, 9 ?10, 7 ?9, 7
9, 10 7, 10 7, 9
?12, 13 ?12, 14 ?13, 14
13, 12 14, 12 14, 13

Из табл. 3 видно, что Skl имеет следующий квазидиагональный вид:
? ?
4
Skl
? ?
? ?
6
Skl
Skl = ? ?, (6.8)
? ?
4
? ?
Skl
0
4 6
где Skl и Skl реализуют, соответственно, 4-мерное и 6-мерное представления ал-
гебры O4 . Далее, квадраты векторов спина и изоспина, компоненты которых суть
1 1
Sa ? Ta ? (Sbc ? S4a ),
(Sbc + S4a ),
2 2
имеют вид
? ?
34
41
? ?
? ?
16
=? ?,
S2 = T 2 (6.9)
? ?
34
? ?
41
0
104 В.И. Фущич, И.Ю. Кривский

а квадраты компонент S3 , T3 равны
? 14 ?
21
? ?
? ?
0
? ?
1
? ?
1
1? ?
S3 = T 3 = ? ?.
2 2
(6.10)
1
2? ?
1
? ?
0
? ?
? ?
? ?
14
21
0
Из (6.9) и (6.10) видно, что 15 ? 15–матрицы Skl из (6.6), имеющие вид (6.8),
реализуют представление
11 11
? D(1, 0) ? D(0, 1) ? D ? D(0, 0) (6.11)
D , ,
22 22
алгебры O4 .
Для установления того, какое именно представление алгебры P(1, 4) реали-
зуется решениями уравнения (6.1) c 15 ? 15-матрицами ?µ , необходимо диагона-
лизировать оператор знака энергии, который (в системе pk ) совпадает с ?5 . Это
осуществляется с помощью преобразования
?µ = A?µ A?1 , (6.12)
где отличные от нуля матричные элементы матриц A и A?1 символически записа-
ны в табл. 4 и 5: например, символ “2.5,9” в табл. 5 означает, что (2A?1 )5,9 = 2,
т.е. (A?1 )5,9 = 1, а символ “?11, 4” означает, что (A?1 )11,4 = ?1/2.
Таблица 4

?1, 14 ?2, 13 ?3, 12 ?4, 11
1, 1 2, 2 3, 3 4, 4
A 5, 1 5, 14 6, 2 6, 13 7, 3 7, 12 8, 4 8, 11
9, 5 10, 6 11, 7 12, 8 13, 9 14, 10 15, 15

Таблица 5

1, 1 1, 5 2, 2 2, 6 3, 3 3, 7 4, 4 4, 8
?1
2A 2.5, 9 2.6, 10 2.7, 11 2.8, 12 2.9, 13 2.10, 12 2.15, 5
?12, 3 ?13, 2 ?13, 6 ?14, 1
11, 4 11, 8 12, 7 14, 5

В этом представлении
?4 ?
1
? ?
?14
? = ?5 = ? ?. (6.13)
07
Из формул (6.7), (6,9), (6.10) и (6.13) видно, что уравнение (6.1) с 15 ? 15-
матрицами ?µ реализует представление
11 11
? D? ? D(1, 0) ? D(0, 1) ? D(0, 0),
D+ (6.14)
, ,
22 22
О волновых уравнениях в 5-пространстве Минковского 105

где по первым двум слагаемым преобразуются существенные компоненты вектора
?, реализующие указанные представления алгебры P(1, 4), а по остальным двум
преобразуются лишние компоненты. Разумеется, физический смысл имеют только
восемь компонент, реализующие представление D+ (1/2, 1/2) ? D? (1/2, 1/2), ко-
торые инвариантным образом отделяются от семи лишних компонент с помощью
преобразования типа Фолди:
?k pk p
U = exp ?i p? p2 .
arctg (6.15)
,
? k
2p
При этом преобразовании уравнение (6.1) с 15 ? 15-матрицами расщепляется на
два независимых уравнения: одно — для существенных компонент ?(x0 , x, x4 , s3 ,
t3 ), s3 , t3 = ±1/2, совпадающее с уравнением (2,24); а другое — для лишних ком-
понент ?(x0 , x, x4 , s3 , t3 ), s3 , t3 = 0, ±1, и ?0 (x0 , x, x4 ), не имеющих физического
смысла.
Таким образом, уравнение Кеммера–Дэффина в 5-мерном пространстве Мин-
ковского описывает симметричным образом фермионы и антифермионы со спином
и изоспином s = t = 1/2 (мультиплеты типа спинодублет-изодублет), т.е., напри-
мер, системы типа нуклон-антинуклон (N, N ).
Здесь мы ограничились рассмотрением P(1, 4)-инвариантных уравнений ти-
па Дирака и Кеммера–Дэффина. Аналогично могут быть рассмотрены и другие
линейные по ?µ уравнения в 5-мерном пространстве, например, уравнения типа
Рарита–Швингера, Паули–Фирца и др. При этом формализм Рарита–Швингера,
развитый для нахождения уравнений для частиц с произвольным спином в P(1, 3),

<< Предыдущая

стр. 23
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>