<< Предыдущая

стр. 3
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


где s45 = (p4 + p5 )2 ? s, t24 = (p2 ? p4 )2 , t13 = (p1 ? p3 )2 ? t.
Укр. мат. журн., 1963, 15, № 2, С. 227–232.
12 В.И. Фущич

Из (1) видно, что областью аналитичности T 5 , например, относительно пере-
менной t, будет пересечение областей аналитичности функций V (t) и T 4 (t). По-
этому для полноты изложения придется остановиться на аналитических свойствах
вершинной функции V (t). В дальнейшем будем предполагать, что p2 = p2 = m2 —
1 3
масса нуклона, а все другие частицы — мезоны.
Хорошо известно, что, исходя из аксиом теории поля (лоренцвариантности, при-
чинности иvспектральности), удается доказать дисперсионные соотношения только
2 ? 1 m, т.е. для нефизических масс. Это означает, что в компле-
для µ >
ксной окрестности точки t = 4µ2 функция V (t) может иметь особенности. Эти
особенности были исследованы Эмме [6] с помощью так называемого “прямого
представления” вершинной функции, т.е.
?
?+1
1

V (z1 , 4z2 , t) = d? d? dk?
0 (2)
??1 k1

?(k, ?, ?, 4z2 )
? ,
2
[2k 2 + 2(1 + ? 2 ? ? 2 )z2 ? (z1 + t) + ?(z1 ? t)] ? ? 2 ?(z1 , 4z2 , t)
2

где
1/2 1/2
k1 = max 0; a ? z2 (1 + ?)2 ? ? 2 ; c ? z2 (1 ? ?)2 ? ? 2 (3)
.

В нашем частном случае a = b = m + µ, c = 2µ, 2z2 = m.
Приравняв знаменатель выражения (2) к нулю, получим множество точек в
плоскости t, в которых V (t) может иметь особенности. Это множество будет сле-
дующим:
(1 + ?) ? 2 ? (1 ? ?)2 ? ? 2 ? 4? 2
Re t = 2z2 (4)
,
(1 + ?)2 ? ? 2
2
Re t (1 + ?)2 ? ? 2 + 8? 2 z2
Im t = ?(Re t) + 2
(5)
,
(1 + ?)2 [(1 + ?)2 ? ? 2 ]
k1
где ? ? .
z2
Приведем качественную картину области аналитичности. Координаты точек
4mµ2 m2 (2m + µ)
и (Re t)B = (см. рис. 2).
(Re t)A =
2m ? µ 2µ
Здесь важно отметить, что V (t) аналитична вдоль отрицательной части дей-
ствительной оси, включая точку t = 2µ2 . Однако появление комплексных осо-
бенностей вблизи точки t = µ2 может отрицательно повлиять на практическое
осуществление экстраполяционной процедуры Чу–Лоу.
3. Исследуем теперь аналитические свойства функции T 4 . Амплитуду процесса
A + B > C + D можно записать в виде
p1 ? p 3 ? p 2 x x
T (4) = ? A?
p4 p5 out R (A) (6)
dx exp i x 0.
2 2 2
Следует особо подчеркнуть, что выражение (6) определяет T 4 не только для
тех векторов p1 ? p3 ? k и p2 , которые лежат на массовой оболочке, но и для тех
Аналитические свойства амплитуд рождения 13

векторов, для которых интеграл (6) существует. Это обстоятельство дает возмо-
жность рассматривать (p1 ? p3 )2 = t как независимую комплексную переменную.
С помощью аналогичных рассуждений, как и в [7] для случая упругого рассе-
яния, имеем:

du d? 2 ?(u, ? 2 , p4 , p5 )
1
(4)
(7)
T = ,
2
2? ? p2 ) ? u ? ?2
1
2 (k

s1/2
где ? — весовая функция, обращающаяся в нуль вне области 0 ? u ? ;
2
s1/2 s1/2
? + u ? u0 ? ? u;
2 2
? ?
2 2
s1/2 s1/2
? ? max ?0; m1 ? ? u0 ? u2 ? . (8)
? u 0 ? u 2 ; m2 ?
2 2

Выбрав систему центра масс p4 + p5 = 0 и вводя полярные координаты

p4 = |p4 | (1, 0, 0), k = K(cos ?, sin ?, 0), u = u(sin ? cos ?, sin ? sin ?, cos ?),

перепишем выражение (7) в виде:
2? 2?
? u0 , u2 , cos ? sin ?, ? 2 , s
1
T =? 2
, (9)
du0 udu d? d? d?
X(s, t) ? cos(? ? ?)
4?K(s, t)
0 0

где
2
µ2 ?t
K 2 (s, t) + u2 + ? 2 ? u0 + 2s1/2
(10)
X(s, t) = ,
2K(s, t)u sin ?

(s + µ2 ? t)2 ? 4µ2 s
K2 = (11)
.
4s

Поскольку вся зависимость от t и cos ? (s — фиксировано) выделена в знамена-
теле, то T (4) может иметь особенности за счет нулей знаменателя выражения (9),
а также при тех t, для которых K(s, t) = 0, т.е. при
2
t = s1/2 ± µ (12)
.

Для определения области аналитичности T (4) рассмотрим такие случаи:

1) ?1 ? cos ? ? 1, t — комплексное;

2) ?? ? t < m2 , cos ? — комплексное;

3) t и cos ? — комплексные.
14 В.И. Фущич

1) В этом случае знаменатель выражения (9) может обращаться в нуль, когда
?1 ? X(s, t) ? 1. (13)
Чтобы найти границу области аналитичности относительно переменной t, необхо-
димо из (10) выразить t как функцию X, u0 , u, ? 2 , sin ? и найти минимальное t,
при котором знаменатель может еще обращаться в нуль, причем следует учесть
условия (8) и (13). В работе Дремина [8] было проведено такое детальное иссле-
дование для мнимой части амплитуды мезон-нуклонного упругого рассеяния на
нулевой угол. Так как знаменатель выражения (9) совпадает с одним из знамена-
телей работы [8] [см. формулу (5)], то мы приведем здесь только окончательный
результат — вид границы области аналитичности (в единицах µ) с учетом, что в
нашем случае m1 = m2 = 2µ, и при условии (12).




Из приведенных рисунков 3 и 41 вытекает, что при s ? 9µ2 между физической
областью переменной t (t ? 0) и полюсом в точке t = µ2 T (5) не имеет других
особенностей на действительной оси, а это означает, что и функция f (s, t) не
будет иметь особенностей в этой же области.
2) Если t фиксировано в вышеуказанной области, то T (4) как функция2 cos ?
аналитична в эллипсе с полуосями x0 (s, t), x2 (s, t) ? 1, где
0
(m2 ? t)(m2 ? µ2 )
1+ 2 1 2
(14)
x0 (s, t) = .
K (s, t) [s ? (m1 ? m2 )2 ]
Областью аналитичности T (4) в трехмерном пространстве переменных Re t,
Re cos ? и Im cos ? будет область, приведенная на рис. 5. Уравнением верхней
части поверхности (0 ? Re t ? m2 ), приведенной на рис. 5, является поверхность
1
эллипсоида
(Re cos ?)2 (Im cos ?)2 Re t
(15)
+ + 4 = 1,
x2 ? 1
x2
?0 ?0 m1
а уравнением нижней части (?? ? Re t ? 0) — уравнение поверхности эллипсои-
да
(Re cos ?)2 (Im cos ?)2 (Re t)2
(16)
+ + = 1,
x2 ? 1 ?
x2
?0 ?0
рис. 3 незаштрихованная область — область аналитичности T (4) при s = 4µ2 вблизи точки
1 На

t = µ2 , на рис. 4 — вид области аналитичности T (4) при s ? 9µ2 вблизи точки t = µ2 .
2 cos ? — линейная функция t .
24
Аналитические свойства амплитуд рождения 15

где
m2 (m2 ? µ2 )
1 2
(17)
x0 =
? 1+ 2 .
K (s, 0) [s ? (m1 ? m2 )2 ]
Следует заметить, что все эти рассуждения справедливы при таких s, при
которых K 2 (s, t) > 0 и s > (m1 ? m2 )2 .




Рис. 5
v
3) Чтобы избавиться от неоднозначности в знаменателе выражения (9) K 2 ,
установим область аналитичности не для самой функции T (4) , а для некоторой
комбинации ее, а именно:
?
T (4) = T (4) [s, cos(? ? ?), t] ? T (4) [s, cos ?, t]. (18)

После несложных выкладок получаем, что T (4) будет аналитической функцией
комплексных переменных t и cos ? для множества тех точек, для которых имеют
место условия:

(Re cos ?)4 ? 6(Re cos ?)2 (Im cos ?)2 + (Im cos ?)2 + (Re X 2 )2 ? (Im X 2 )2 ?
?2 Re X 2 (Re cos ?)2 ? (Im cos ?)2 cos 2? + sin2 ? +
+4 Im X 2 Re cos ? Im cos ? cos 2? ? 2 (Re cos ?)2 ? (Im cos ?)2 sin2 ? = 0,
(19)
(Re X 2 )(Im X)2 ? 2(Re cos ?)(Im cos ?) Re X 2 cos 2??
?Im X 2 (Re cos ?)2 ? (Im cos ?)2 cos 2? + sin2 ? ?
?2(Re cos ?)(Im cos ?) sin2 ? = 0.

4. Для полного ответа на вопрос о применимости метода Чу и Лоу необхо-
димо было бы исследовать аналитические свойства амплитуд рождения в высших
приближениях (двухчастичном, трехчастичном и т.д.), но поскольку такая задача
16 В.И. Фущич

связана с принципиальными трудностями, то обычно ограничиваются только диа-
граммами в одночастичном приближении, т.е. полагают, что особенности, которые
могут возникнуть при учете высших приближений, лежат намного выше, чем по-
люс в точке t = µ2 функции T (5) . Такое приближение, по-видимому, применимо,
как это указано в [5], при малых передачах импульса (порядка µ). Однако, если
ограничиться только диаграммой рис. 1, то особенности T (5) , которые могут возни-
кнуть за счет вершин M1 и M2 , лежат выше полюса в точке t = µ2 для процесса
? + n > n + ? + ? при s ? 9µ2 и t24 ? 0 (физическая область), можно заключить,
что и функция f (s, t) при s ? 9µ2 будет аналитична в области t ? 2µ2 , т.е. метод
Чу и Лоу применим для вышеуказанного процесса.
Полученные области аналитичности функции T (5) относительно переменных t
и t24 значительно больше областей аналитичности, которые были получены Аско-
ли [3], что естественно, поскольку нами рассмотрено только одночастичное при-
ближение полной амплитуды рождения.
Эти результаты могут быть обобщены на случай, когда из вершины M2 выходит
n линий.

1. Таrskу J., J. Math. Phys., 1962, 3, 1.
2. Ascoli R., Minguzzi A., Phys. Rev., 1960, 118, 1435.
3. Ascoli R., Nuvo Cim., 1960, 18, 754.
4. Kim Y.S., Phys. Rev., 1961, 124, 1632.
5. Chew G.F., Low F.E., Phys. Rev., 1959, 1640.
6. Oehme R., Phys. Rev., 1960, 117, 1151.
7. Lеhman H., Nuovo Cim., 1958, 10, 579.
8. Дремин И.М., ЖЭТФ, 1961, 41, 821.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 1, 17–19.


Аналiтичнi властивостi узагальнених
петльових дiаграм
В.I. ФУЩИЧ

<< Предыдущая

стр. 3
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>