<< Предыдущая

стр. 31
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

группы P (1, 4). Все уравнения типа Шредингера–Фолди на группе P (1, 4) описаны
в работе [4].
В § 1, 2 данной работы построены уравнения типа Баргмана–Вигнера, инва-
риантные относительно группы P (1, 4) в том случае, когда один из инвариантов
группы P (1, 4) P 2 = Pµ > 0. Рассмотрены детально два примера таких уравнений,
2

описывающих нуклон и систему типа (K ? , ?).
В § 3 найдены уравнения типа Баргмана–Вигнера для случая P 2 = Pµ = 0,2

т.е. построены уравнения, описывающие свободное движение частицы с нефикси-
рованной массой, но с фиксированным спином. Найден явный вид генераторов
группы P (1, 4) в этом случае.
В § 4 изучены свойства уравнений Дирака относительно пространственного и
временного отражений, а также операции зарядового сопряжения.
В § 5, положив в основу восьмикомпонентное уравнение Дирака, получены
уравнения типа Баргмана–Вигнера, которые инвариантны относительно C-, P -,
T -преобразований. Детально рассмотрено одно из таких уравнений.
§ 1. Уравнения типа Баргмана-Вигнера (случай P 2 = ? 2 > 0)
1. Генераторы группы P (1, 4) удовлетворяют коммутационным соотношениям

[Pµ , J?? ] = i (gµ? P? ? gµ? P? ) ,
[Pµ , P? ] = 0,
[Jµ? , J?? ] = i (gµ? J?? + g?? Jµ? ? gµ? J?? ? g?? Jµ? ) , (1.1)
gkl = ??kl ;
g00 = 1, µ = 0, 1, . . . , 4; k, l = 1, 2, 3, 4.
Операторы Казимира для этой группы строятся из генераторов Pµ , Jµ? и имеют
вид [3]:

P 2 = P0 ? P 2 ? P 4 ? Pµ ,
2 2 2
(1.2)

1
(1.3)
V= Jµ? wµ? ,
4
12 12
(1.4)
W= vµ?? = wµ? ,
6 2
P0
(1.5)
?= ,
|P0 |
где

(1.6)
vµ?? = Pµ J?? + P? J?µ + P? Jµ? ,

1 1
(1.7)
wµ? = µ???? P? J?? = µ???? v??? ,
2 2
— единичный полностью антисимметричный псевдотензор пятого ранга.
µ????
Малой группой в классе I (P 2 > 0) группы P (1, 4) является группа O(4),
генераторы которой будут обозначатся как Skl :

(1.8)
Skl = Jkl ,
Pk =0
Уравнения Баргмана–Вигнера на неоднородной группе де Ситтера 141

[Skl , Sij ] = i (?ki Slj + ?lj Ski ? ?kj Sli ? ?li Skj ) . (1.9)

Группа O(4) локально изоморфна группе OS (3)?OT (3), откуда следует, что группа
P (1, 4) является нетривиальным объединением группы Пуанкаре и изотопической
группы внутренних симметрий, поскольку, в свою очередь, группа O(3) локаль-
но изоморфна группе SU (2). Отметим, что группу OT (3) можно, вообще говоря,
связывать с W -спином [5]. В дальнейшем, однако, с группой OT (3) мы будем
связывать изоспин, а не W -спин.
В системе отсчета Pk = 0, инварианты V и W связаны с инвариантами группы
O(4) следующими соотношениями:

V = ?? S 2 ? T 2 , (1.10)

W = 2? S 2 + T 2 , (1.11)

где операторы S = (S1 , S2 , S3 ) и T = (T1 , T2 , T3 ) определены соотношениями
1 1
Sa = abc Sbc + S4a ,
2 2
(1.12)
1 1
? S4a ,
Ta = abc Sbc (a, b, c = 1, 2, 3).
2 2
Все неприводимые представления класса I унитарны, конечномерны и задаю-
тся числами s, t и ? (знак энергии). Операторы S 2 , T 2 и ? для неприводимых
представлений P (1, 4) кратны единичным операторам

? = ? · 1, ? = ±1.
S 2 = s(s + 1)1, T 2 = t(t + 1)1, (1.13)

Числа s и t (могут принимать только целые и полуцелые положительные значения)
отождествляются со спином и изоспином частицы соответственно. Неприводимое
представление класса I будем обозначать в дальнейшем через D(?) (s, t).
2. В пятимерной схеме, как и в четырехмерной, имеется два уравнения Дирака:

pµ ?µ ?+ (t, x) = ??+ (t, x), (1.14)

pµ ?µ ?? (t, x) = ???? (t, x), x ? (x1 , x2 , x3 , x4 ), (1.15)

или
??(t, x)
H + ?+ (t, x) = i (1.14 )
,
?t
??(t, x)
H ? ?? (t, x) = i (1.15 )
,
?t
H ± ? ?0 ?k pk ± ?0 ? = ?k pk ± ??,

где ?µ — пять четырехрядных матриц, которые удовлетворяют соотношениям

(1.16)
[?µ , ?? ]+ = 2gµ? , ?0 = ?1 ?2 ?3 ?4 ,
142 В.И. Фущич, Л.П. Сокур

?0 — эрмитова; ?k — антиэрмитова.
Характерной особенностью пятимерной схемы (в отличие от четырехмерной)
является неэквивалентность между собой уравнений (l.14) и (1.15), т.е. не су-
ществует матрицы A, которая бы устанавливала однозначное соответствие ме-
жду уравнениями (1.14) и (1.15). Эта особенность приводит к тому, что уравне-
ние (1.14) или (1.15), как будет показано, P T C-неинвариантно. Таким образом, в
схеме P (1, 4) существует два различных уравнения Дирака.
На решениях уравнений (1.14) и (1.15) реализуется следующие представления
группы P (1, 4):
±
P0 ? H ± = ?0 ?k pk ± ?0 ?, Pk = pk ,
i
Jkl = xk pl ? xl pk + Skl , Skl = [?k , ?l ]? , (1.17)
4
1
J0k = x0 pl ? [xk , H ± ]+ .
2
Можно выбрать такое представление ?µ -матриц, когда операторы Sa и Ta при-
нимают вид:
1 1
?a 0 0 0
(1.18)
Sa = , Ta = ,
0 0 0 ?a
2 2
где ?a — матрицы Паули.
Исходя из (1.18), нетрудно найти явный вид операторов S 2 и T 2 и доказать,
что уравнения (1.14) и (1.15) реализуют представления
1 1
, 0 ? D(?) 0,
D(+) (1.19)
2 2
и
1 1
? D(?)
D(+) 0, (1.20)
,0
2 2
группы P (1, 4) соответственно.
Найдем, далее, уравнение, описывающее свободное движение частицы прои-
звольного спина и изоспина s и t. Если непосредственно использовать методику
Баргмана–Вигнера [6], применительно к уравнению (1.14) или (1.15), то, как бу-
дет ясно из дальнейшего, мы не сможем получить уравнений для произвольных
s и t. Поэтому необходимо несколько изменить метод Баргмана–Вигнера (Б–В),
применительно к схеме P (1, 4).
Рассмотрим следующую систему уравнений:
(m)
pµ ?µ ? = ??,
(1.21)
(n)
= ???,
pµ ?µ ?
которую удобно привести к шpeдингepoвcкoй форме
(m) (m)(m) (m)
+ ?0 ? ?,
p0 ? = H ? = ?0 ?k pk
(1.21 )
(n) (n)(n) (n)
? ?0 ?
p0 ? = H ? = ?0 ?k pk ?,
Уравнения Баргмана–Вигнера на неоднородной группе де Ситтера 143

где m = 1, 2, . . . , M ; n = M + 1, M + 2, . . . , M + N ; M и N — два целых числа.
(i)
Матрицы ?µ (i = 1, 2, . . . , M + N ) определяются как
(i)
?µ = 1 ? 1 ? · · · ? ?µ ? · · · ? 1, (1.22)
где кронекеровское произведение (1.22) содержит M + N сомножителей, причем
?µ входят в это произведение в качестве i-го сомножителя. Все остальные сомно-
жители (1.22) являются единичными матрицами размерности (4 ? 4).
Из инвариантности уравнений (1.21) относительно преобразований из группы
P (1, 4) следует, что если {?} — пространство, решений этой системы уравнений,
тогда на {?} реализуется некоторое представление группы P (1, 4). По отношению
к малой группе O(4), элемент ? ? {?} является некоторым мультиспинором, ком-
поненты которого ?(t, x; ?1 , . . . , ?m , . . . , ?M , ?M +1 , . . . , ?M +N ) определяются значе-
(i)
ниями M + N дискретный переменных ?i (?i = 1, 2, 3, 4). Хотя операторы pµ ?µ
определены на каждом элементе из прямого произведения
M M +N
?{?? }n ? {F },
?{? }m ·
+
(1.23)
m=1 n=M +1

где ?+ и ?? — решения уравнений (1.14) и (1.15) с компонентами ?+ (t, x; ?m ) и
?? (t, x; ?n ), соответственно, решением уравнений (1,21) будет не каждый элемент
из пространства (1.23).
Действительно, из вида уравнений (1,21) легко убеждаемся, что если ? ? {?},
тогда все ? принадлежат одинаковым собственным значениям P 2 :
P 2 ? = ? 2 ?. (1.24)
Таким образом, {?} ? {F }, но {?} = {F }, поскольку известно, что F разлагается
в интегральную сумму инвариантных относительно P (1, 4) подпространств. Как
будет видно из дальнейшего, на элементы {?} налагаются, помимо (1.24), еще
дополнительные условия (см. (1.37)).
Генераторы группы P (1, 4), действующего в пространстве {?}, можно опреде-
лить, учитывая (1.17), (1.23) и условие (1.24), следующим образом:
1
[?0 , ?k ]? · pk + ??0 ,
P0 = H = Pk = p k ,
2 (1.25)
1
Jkl = (xk pl ? xl pk ) + Skl , = x0 pk ? (Hxk + xk H),
J0k
2
где
M M +N
(m) (n)
? (1.26)
?µ = ?µ ?µ ,
m=1 n=M +1

M +N
i
(i)
(1.27)
Skl = = [?k , ?l ]? .
S kl
4
i=1

В выражении (1.27) (и везде в дальнейшем) верхний индекс (i) имеет тот же
самый смысл, что и в формуле (1.22), т.е.
(i)
? 1 ? · · · 1 ? Skl ? 1 ? · · · ? 1,
S kl
144 В.И. Фущич, Л.П. Сокур

(i)
в S kl входит всего M + N сомножителей, а единственный, отличный от 1 сомно-
житель Skl (Skl ? 4 [?k , ?l ]? ), стоит на i-ом месте.
i

Упорядоченное множество дискретных переменных {?1 , . . . , ?i , . . . , ?M +N }, ко-
торыми нумеруются компоненты вектора ?, разобьем на два подмножества

{?1 , . . . , ?m , . . . , ?M } ? {m}, {?M +1 , . . . , ?n , . . . , ?M +N } ? {n}

и заметим, что система (1.21), а также генераторы (1.25) инвариантны относитель-
но перестановок переменных ? внутри каждого из упорядоченных подмножеств
{m} и {n}. Поэтому можно считать, что решение уравнений (1.21) обладает неко-
торой симметрией относительно операций перестановок

?m - ?m , ?m , ?m ? {m} (1.28 )

и относительно

?n - ?n , ?n , ?n ? {n}. (1.28 )

<< Предыдущая

стр. 31
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>