<< Предыдущая

стр. 32
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Будем находить только те решения уравнений (1.21), которые обладают полной
симметрией относительно операции (1.28 ) и операции (1.28 ). Докажем, что в
этом случае, пространство решений {?} реализует представление
MN NM
? D(?)
D(+) (1.29)
, ,
22 22
группы P (1, 4).
Для этой цели, осуществим над уравнениями (1.21) преобразование Фолди–
Войтхойзена–Перси [7, 8]

? > ? = U ?, (1.30)
M M +N
(m) (n)
?
+
(1.31)
U= U,
U
m=1 n=M +1

(m) (n)
, U ? имеют вид:
+
где операторы U
(m) (m)
?1/2
= [2?(? + ?)] ? + ? + ?k pk ,
+
U
(1.32)
(n) (n)
?1/2
?
= [2?(? + ?)] ?+?? p2 + ? 2 .
?k pk , ?=
U k


(i)
Как видно из определения матрицы ?µ (1.22), эти матрицы удовлетворяют соо-
тношениям
(i) (i )
если
?µ , ?? = 0, i=i,
?
(1.33)
(i) (i)
?µ , ?? = 2gµ? ,
+
Уравнения Баргмана–Вигнера на неоднородной группе де Ситтера 145

откуда следует, что
(m) (i)
+
если
, H = 0, m = i,
U

(n) (i)
?
если
U , H = 0, n = i,
(1.34)
?1
(m) (m) (m) (m)
+ +
= ?0 ?,
U H U
?1
(n) (n) (n) (m)
? ?
= ? ?0 ?.
U H U

Преобразованием (1.30) система (1.21 ) приводится к виду
(m)
p0 ? = ? ?0 ?,
(1.35)
(n)
?? ?0 ?.
p0 ? =
Поскольку оператор U коммутирует с операциями вида (1.28 ) и (1.28 ), волновая
функция ? будет обладать той же самой симметрией, что и волновая функция ?.
Мы выбираем те же самые обозначения для дискретных переменных, определяю-
щих компоненты вектора ? ? {?} ({?} — пространство решений системы (1.35)),
так что компонента ? вектора ? обозначается как
? ? ?(t, x; ?1 , . . . , ?m , . . . , ?M , ?M +1 , . . . , ?n , . . . , ?M +N ) ? ?(?m ? {m}, ?n ? {n}),
причем предполагается полная симметрия относительно перестановок внутри ка-
ждой из совокупностей {m} и {n}.
Генераторы (1.25) преобразованием U приводятся к виду:

Jkl = (xk pl ? xl pk ) + Skl ,
P0 = ??0 , Pk = p k ,
(1.36)
?0 ?0 pl
= x0 pk ? [?, xk ]+ +
J0k Skl ,
?+?
2
где xµ , pµ , Skl — те же самые операторы, которые входят в (1.25).
Покажем теперь, что вектор ? ? {?} определяется только через 2(M +1)(N +1)
своих компонент. Приравнивая левые части уравнений (1.35), получим следующие
условия на ?
(m) (m )
(1.37a)
?0 ? = ?0 ?,
(n) (n )
(1.37б)
?0 ? = ?0 ?,
(m) (n)
= ? ?0 ?, (1.37в)
?0 ?

которые сужают пространство {F |P 2 F = ? 2 F } к пространству решений {?}, где
F = U F . Действительно, если расписать условия (1.37а)–(1.37в), как условия для
компонент ? и выбрать представление ?µ матриц, где ?0 — диагональна с элемен-
тами (1, 1, ?1, ?1), тогда условие (1.37а) будет означать, что только те компоненты
146 В.И. Фущич, Л.П. Сокур

? отличны от нуля, у которых все переменные ?m ? {m} принимают либо значе-
ния ?m = 1, 2, либо значения ?m = 3, 4. Условие (1.37б) требует того же самого
для переменных ?n ? {n}. Условие (1.37в) показывает, что если переменные ?m
принимают значения 1, 2, тогда переменные ?n должны принимать значения 3, 4
и, наоборот, если ?m = 3, 4, тогда ?n = 1, 2, в противном случае компонента ? ? 0.
Таким образом, отличны от нуля лишь следующие компоненты ? (если конечно ?
— решение уравнений (1.35)):

?(+) = ?(+) (?m = 1, 2; ?n = 3, 4) ,
(1.38)
?(?) = ?(?) (?m = 3, 4; ?n = 1, 2) .

В (1.38) знаком (±) обозначены компоненты векторов ?, которые принадлежат
собственным значениям ±1 инварианта ? = ?0 (? — инвариант знака энергии в
представлении Фолди–Войтхойзена–Широкова).
(+)
Удобно переобозначить ненулевые компоненты векторов (1.38) через ?r,g (t, x)
(?)
и ?g,r (t, x), где числа r, g равны числу переменных ?, принимающих у данной
компоненты значение 1 и 3 соответственно. Ясно, что компоненты (1.38) сим-
метричного мультиспинора ? взаимно однозначно соответствуют компонентам в
обозначениях ?r,g . У компонент ?(±) индексы r, g могут принимать следующие
целочисленные значения:
(+)
0 ? r ? M, 0 ? g ? N;
?r,g :
(1.39)
(?)
0 ? g ? M, 0 ? r ? N.
?g,r :

Теперь нетрудно подсчитать, что размерность пространства {?} (а значит и {?})
равна 2(M + 1)(N + 1).
2 2
Операторы S3 , T3 , Ta и Sa диагональны на симметризованных векторах с ком-
(+) (?)
понентами (1.39) (или (1.38)). Если через fr,g и fg,r обозначить элементы базиса
пространства {?}, тогда на этих элементах операторы S3 , T3 , Ta и Sa принимают
2 2

следующие собственные значения:
M N
r? g?
(+) (+) (+) (+)
S3 fr,g = fr,g , T3 fr,g = fr,g ,
2 2
M M N N
2 (+) (+) 2 (+) (+)
Sa fr,g = + 1 fr,g , Ta fr,g = + 1 fr,g ,
2 2 2 2
(1.40)
N M
r? g?
(?) (?) (?) (?)
S3 fg,r = fg,r , T3 fg,r = fg,r ,
2 2
N N M M
2 (?) (?) 2 (?) (?)
Sa fg,r = + 1 fg,r , Ta fg,r = + 1 fg,r .
2 2 2 2
Из (1.40) следует, что на пространстве решений уравнений (1.35), а значит и
на пространстве решений (1.21), реализуется представление
M N N M
? D(?) s =
D(+) s = (1.41)
,t = ,t =
2 2 2 2
группы P (1, 4).
Уравнения Баргмана–Вигнера на неоднородной группе де Ситтера 147

Уравнение (1.35) для ненулевых компонент можно записать в виде:

?(+) (t, x) ?(+) (t, x)
?(M +1)(N +1)
? 1 0
, (1.42)
i =?
??(M +1)(N +1)
?(?) (t, x) ?(?) (t, x)
0 1
?t

где введено обозначение
? (+) ? ? ?
(?)
?0,0 (t, x) ?0,0 (t, x)
? (+) ? ? (?) ?
? ? (t, x) ? ? ? (t, x) ?
? 0,1 ? ? 0,1 ?
? (t, x) ? ? ? (t, x) ? ?
(+) (?)
?, ?.
· ·
? ? ? ?
? ? ? ?
· ·
· ·

Таким образом, уравнения типа Б–В (1.21) эквивалентны уравнению (1.42).
§ 2. Уравнение для нуклона и системы типа (K ? , ?)
В этом параграфе рассмотрим детально два уравнения Б–В, которые реализуют
представления D(+) 1 , 1 ? D(?) 1 , 1 и D(+) 1, 1 ? D(?) 1 , 1 .
22 22 2 2
1. Рассмотрим систему уравнений (1,21) для случая M = N = 1. Уравне-
ния (1.21) в этом случае принимают вид:

pµ (?µ ? 1)? = ??,
(2.1)
pµ (1 ? ?µ )? = ???,

где компоненты волновой функции ? ? {?} определяются как ?(t, x; ?1 , ?2 ), при-
чем пространство решений

F ? ?+ ? ?? .
{?} ? {F |P 2 F = ? 2 F } ? {F }, (2.2)

Симметризовать компоненты ?(t, x; ?1 , ?2 ) относительно операции ?1 - ?2 в случае
M = N = 1 невозможно, поскольку уравнения (2.1) неинвариантны относительно
этой операции.
Уравнения (2.1) можно переписать как систему уравнений для компонент:

pµ (?µ )?? ?(t, x; ?, ?) = ??(t, x; ?, ?),
(2.1 )
pµ (?µ )?? ?(t, x; ?, ?) = ???(t, x; ?, ?).

Генераторы группы P (1, 4) (1.25), связанные с уравнением (2.1), в этом частном
случае выглядят как
1
[?0 , ?k ]pk + ??0 ,
P0 = Pk = p k ,
2
i
Jkl = (xk pl ? xl pk ) + Skl , (2.3)
Skl = [?k , ?l ]? ,
4
1
J0k = x0 pk ? (P0 xk + xk P0 ),
2
где

?µ ? ?µ = ?µ ? 1 ? 1 ? ?µ . (2.4)
148 В.И. Фущич, Л.П. Сокур

Шестнадцатирядные матрицы 1 ?µ , как это можно непосредственно проверить,
2
удовлетворяют алгебре Кеммера–Дэффина–Петье

(2.5)
?µ ?? ?? + ?? ?? ?µ = 4gµ? ?? + 4g?? ?µ .

<< Предыдущая

стр. 32
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>