<< Предыдущая

стр. 33
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


Матрицы Sa и Ta имеют вид:
1 1
2 ?a 0 2 ?a 0
?1+1?
Sa = ,
0 0 0 0
(2.6)
0 0 0 0
?1+1?
Ta = .
1 1
0 2 ?a 0 2 ?a

Преобразование Фолди–Войтхойзена–Перси имеет вид:
?1
U = [2?(? + ?)] {? + ? + pk (?k ? 1)} {? + ? ? pl (1 ? ?l )} . (2.7)

Преобразованием (2.7) уравнения (2.1) приводятся к виду:
? (1)
i ? = ? ?0 ?,
?t
(2.8)
? (2)
i ? = ?? ?0 ?, ? = U ?.
?t
Уравнение (2.8), переписанное как уравнение для компонент ?, будет иметь вид:
?
i ?(t, x; ?1 , ?2 ) = ?(?0 )?1 ? ?(t, x; ?, ?2 ),
?t
(2.8 )
?
i ?(t, x; ?1 , ?2 ) = ??(?0 )?2 ? ?(t, x; ?1 , ?).
?t
Единственное дополнительное условие, которое сужает пространство {F |P 2 F =
? 2 F } (F = U F ) к пространству решений {?} имеет вид:
(1) (2)
= ??0 ? (2.9)
?0 ?

или

(?0 )?1 ? ?(?, ?2 ) = ?(?0 )?2 ? ?(?1 , ?). (2.9 )

Если представить пространство {F |P 2 F = ? 2 F } в виде прямой суммы:

{F |P 2 F = ? 2 F } = {?} ? {R}, (2.10)

где {?} — пространство решений (2.8), а {R} — пространство, которое исклю-
чается условием (2.9), тогда уравнения (2.8) можно преобразовать к следующему
виду
? (+) ? ? ? (+) ?
?4
? ?
1 0 0
? ? (?) ? ? (?) ?
? = ? ? 0 ?14 0 ? ? ?
i ?? ?,
?t (2.11)
8
0 0 0
R R

R = 0.
Уравнения Баргмана–Вигнера на неоднородной группе де Ситтера 149

В (2.11) условие (2,9) выделено в явном виде. Волновые функции ?(+) , ?(?) и R
определяются следующими компонентами:
? (+) ?
? (+) ? ?1,1 (t, x)
? (t, x; 1, 3)
? ?
? ?(+) (t, x; 1, 4) ? ? ?(+) (t, x) ?
? ? ? 1,0 ?
? ? ? (+)
?(+) = ? (+) ?, (2.12а)
? ? (t, x; 2, 3) ? ? ? (t, x) ?
? 0,1 ?
(+)
? (t, x; 2, 4) (+)
?0,0 (t, x)
? ?
? ? (?)
?1,1 (t, x)
(?)
? (t, x; 3, 1)
? ?
? ?(?) (t, x; 3, 2) ? ? ?(?) (t, x) ?
? ? ? 1,0 ?
? ? ? (?)
?(?) = ? (?) ?, (2.12б)
? ? ? (t, x) ?
? ? (t, x; 4, 1)
? 0,1 ?
(?)
? (t, x; 4, 2) (?)
?0,0 (t, x)
? ? ? ?
?(t, x; 1, 1) ?1
? ?? ?
?(t, x; 1, 2) ?2
? ?? ?
? ?? ?
?(t, x; 2, 1) ?3
? ?? ?
? ?? ?
?(t, x; 2, 2) ?4
R=? ?=? ?. (2.13)
? ?? ?
?(t, x; 3, 3) ?5
? ?? ?
? ?? ?
?(t, x; 3, 4) ?6
? ?? ?
? ?? ?
?(t, x; 4, 3) ?7
?(t, x; 4, 4) ?8

Генераторы группы P (1, 4) связанные с уравнением (2.8), имеют вид

Jkl = xk pl ? xl pk + Skl ,
P0 = ??0 , Pk = p k ,
(2.14)
?0 ?0 pl
J0k = x0 pk ? [?, xk ] + Slk .
?+?
2

Операторы Sa , Ta (2.6) принимают “ящичную” форму на пространствах {?(+) },
{?(?) } и {R}. Операторы Sa и Ta уже диагонализованы в пространствах {?(+) } и
2 2

{?(?) }. Чтобы диагонализовать “ящики” операторов Sa и Ta , действующие в {R},
2 2

нужно в {R} перейти к новому базису путем симметризации и аитисимметризации
базисных элементов.
Используя (2.6), можно доказать, что на пространствах {?} и {R} реализуются
следующие представления:

11 11
{?} : ? D(?)
D(+) группы P (1, 4);
, ,
22 22
{R} : D(1, 0) ? D(0, 1) ? 2D(0, 0) подгруппы O(4),

поскольку вектора R удовлетворяют уравнениям

?
i R = 0, ?R = 0.
?t
150 В.И. Фущич, Л.П. Сокур

Это означает, что фактически компоненты ?? вектора R (? = 1, . . . , 8) не зависят
от переменных t и x. Отсюда следует, что ящики всех генераторов (2.14), действу-
ющих в {R}, будут состоять из одних нулей, за исключением ящика генераторов
{R}
Jkl , которые будут содержать операторы Skl , удовлетворяющие алгебре O(4).
В заключение отметим, что первое уравнение из (2.11) можно унитарными
преобразованиями свести к виду:
?0 ?k ?0
pk + ? ? , (2.15)
p0 ? = ,
22 2
которое является уравнением типа Дэффина–Кеммера. Вектора ? , в отличие от
векторов ? ? {?}, являющихся решениями (2.1), содержат лишние компоненты
(прообразы компонент ?? ).
2. Рассмотрим систему (1.21) для M = 2, N = 1. В этом случае уравнения (1.21)
принимают вид:
(1)
pµ ?µ ? = pµ (?µ ? 1 ? 1)? = ??,
(2)
(2.16)
pµ ?µ ? = pµ (1 ? ?µ ? 1)? = ??,
(3)
pµ ?µ ? = pµ (1 ? 1 ? ?µ )? = ???.
На элементы ? ? {?}, где {?} — пространство решений (2.16), налагaютcя сле-
дующие ограничения:
{?} ? {F |P 2 F = ? 2 F } ? {F },
а) (2.17)
где
{F } ? {?+ } ? {?+ } ? {?? };
{?+ } и {?? } — пространства решений уравнения (1.14) и уравнения (1.15) соо-
тветственно.
Это ограничение непосредственно следует из уравнений (2.16) и инвариантно-
сти (2.16) относительно группы P (1, 4).
(1) (2)
б) ?0 ? = ?0 ?,
(1) (3)
(2.18)
= ??0 ?,
?0 ?
(2) (3)
= ??0 ?,
?0 ?
где ? — фолди-образ ?:
? = U ?,
(2.19)
(1) (2) (3)
?3/2
U = [2?(? + ?)] ? + ? + ?k pk ? + ? + ?l pl ? + ? ? ?j pj .

Дополнительные условия (2.18) следуют из уравнений (2.16) в представлении Фол-
ди
(1)
p0 ? = ? ?0 ?,
(2)
(2.20)
p0 ? = ? ?0 ?,
(3)
p0 ? = ?? ?0 ?.
Уравнения Баргмана–Вигнера на неоднородной группе де Ситтера 151

Ограничение (2.17) в представлении Фолди представляется в виде:
{?} ? {F |P 2 F = ? 2 F } ? {F },
(2.17 )
{F } ? {?+ } ? {?+ } ? {?? },
где

F = U F.

Этих ограничений достаточно, чтобы найти представление группы P (1, 4), которое
реализуется на {?} (или {?}).
Условие (2.17) позволяет найти явный вид генераторов P (1, 4), действующих в
пространстве {?}. Они имеют вид:
P0 = ??0 , Pk = p k ,
i
Jkl = xk pl ? xl pk + Skl , Skl = [?k , ?l ]? , (2.21)
4
?0 ?0 pl
J0k = x0 pk ? [?, xk ]+ + Slk ,
?+?
2
где
(1) (2) (3)
?µ = ?µ + ?µ ? ?µ .

Операторы Skl представимы также в виде:
i
(1) (2) (3)
(2.22)
Skl = S kl + S kl + S kl , Skl = [?k , ?l ]? .
4
Дополнительные условия (2.18) сужают пространство {F |P 2 F = ? 2 F } до
пространства решений {?}. Если ?0 — матрица диагональна с элементами (1, 1,
?1, ?1), тогда векторы ? ? {?} определяются следующими ненулевыми компо-
нентами:
?(+) (t, x; ?1 , ?2 , ?3 ), ?1 , ?2 = 1, 2, ?3 = 3, 4,
(2.23)
?(?) (t, x; ?1 , ?2 , ?3 ), ?1 , ?2 = 3, 4, ?3 = 1, 2.
В силу инвариантности (2.16) и (2.20) относительно перестановки ?1 - ?2 , про-
странство {?} можно разложить в прямую сумму

{?} = {?S } ? {?A }

пространств, симметричных ?S и антисимметричных ?A функций относительно
операции ?1 - ?2 .
Волновые функции ?S и ?A определяются следующими компонентами:
(+)
= ?(+) (t, x; [?1 , ?2 ]+ , ?3 ),
?S ?1 , ?2 = 1, 2, ?3 = 3, 4;
(2.24)
(?)
= ?(?) (t, x; [?1 , ?2 ]+ , ?3 ),
?S ?1 , ?2 = 3, 4, ?3 = 1, 2;
(+)
?A = ?(+) (t, x; [?1 , ?2 ]? , ?3 ), ?1 , ?2 = 1, 2, ?3 = 3, 4;
(2.25)
(?)

<< Предыдущая

стр. 33
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>