<< Предыдущая

стр. 34
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?A = ?(?) (t, x; [?1 , ?2 ]? , ?3 ), ?1 , ?2 = 3, 4, ?3 = 1, 2,
152 В.И. Фущич, Л.П. Сокур

где [?1 , ?2 ]± обозначает симметризацию (+) или антисимметризацию (?) компо-
нент ? относительно перестановок ?1 - ?2 . Например,
1
?(+) ([1, 2]± , 3) ? v ?(+) (1, 2, 3) ± ?(+) (2, 1, 3) .
2
2 2
Операторы S3 , T3 , Sa и Ta определяемые (2.22) и (1.10)–(1.12), диагональны на
{?S } и {?A }. Учитывая (1.18), можно найти собственные значения этих опера-
торов на каждом элементе базиса пространств {?S }, {?A }. Таким путем можно
показать, что на {?S } и {?A } и реализуются следующие представления группы
P (1, 4):
1 1
{?S } : ? D(?)
D(+) 1, (2.26)
,1 ,
2 2
1 1
{?A } : ? D(?)
D(+) 0, (2.27)
,0 .
2 2
Если ограничиться классом симметризованных решений {?S } (или {?A }), то-
гда уравнение (2.16) описывает частицу со спином s = 1 и изоспином t = 1 , а 2
также античастицу s = 1 , t = 1, т.е. уравнение (2.16) описывает систему (K ? , ?)
2
(при этом триплет ? следует считать античастицей).
§ 3. Уравнение движения для частицы переменной массы
1. На множестве решений уравнений, рассмотренных в предыдущих парагра-
фах, реализуются представления группы P (1, 4), принадлежащие классу I (P 2 =
? 2 > 0). В этом параграфе будут найдены уравнения, описывающие движение
частицы с переменной массой, но с фиксированным спином s.
Для класса II (P 2 = W = V = 0) представлений группы P (1, 4), уравнение
Дирака в пятимерной схеме имеет вид;
pµ ?µ ? = 0, (3.1)
(µ = 0, 1, . . . , 4)
или
?
(3.2)
H? = i ?,
?t
где
p4
|p4 |, (3.3)
H = ?0 ?k pk = ?0 ?a pa + ?0 ?4 k = 1, 2, 3, 4; a = 1, 2, 3.
|p4 |
Уравнение (3.1) можно представить в виде:
pµ ?µ ? = |p4 |?, |p4 | = 0, (3.4)
(µ = 0, 1, 2, 3),
где
p4 p4
(3.5)
?a = ?a ?4 , ?0 = ?0 ?4 .
|p4 | |p4 |
Операторы ?µ удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям, что и обыч-
но матрицы Дирака, т.е.
g00 = ?gaa = 1,
?µ , ?? = 2gµ ? , gµ ? = 0, (µ = ? ),
(3.6)
?µ , pk = ?µ , xk = 0.
?
Уравнения Баргмана–Вигнера на неоднородной группе де Ситтера 153

В канонической (шредингеровской) форме уравнение (3.4) выглядит как
?
p2 + p2 , (3.7)
i ? = ?0 ??, ?= a 4
?t
(3.8)
? = U ?,
где U — оператор преобразования типа Фолди–Войтхойзена:
?1/2
U = [2?(? + |p4 |)] (? + |p4 | + ?a pa ) . (3.9)
Генераторы группы P (1, 4), определенные на решениях уравнения (3.7), имеют
вид:
P0 = ??0 , Pk = p k ,
i
Jab = xa pb ? xb pa + Sab , Sab = [? , ? ] ,
4 a b?
p4 pb
J4a = x4 pa ? xa p4 + Sab ,
|p4 | ? + |p4 | (3.10)
?0 ?0 pb
J0a = x0 pa ? [?, xa ]+ + Sba ,
? + |p4 |
2
?0
J04 = x0 p4 ? [?, x4 ]+ ,
2
[Sab , Scd ]? = i (?ac Sbd + ?bd Sac ? ?ad Sbc ? ?bc Sad ) . (3.11)
Непосредственной проверкой можно убедиться, что генераторы (3.10) удовле-
творяют коммутационным соотношениям (1.1). Детальный вывод (3.10) будет про-
веден в другой работе.
Особенностью этого класса представлений будет то, что невозможно перейти
в такую систему отсчета, где все pk = 0. Если генераторы представлены в ви-
де (3.10), тогда возможна система, в которой pa = 0, p4 = 0. Это позволяет
требовать, чтобы |p4 | = 0 в уравнении (3.4). При переходе к такой системе отсче-
та алгебра генераторов (3.10) сужается к алгебре генераторов (3.11) группы O(3).
Таким образом, малой группой в этом классе представлений будет группа O(3),
поэтому все представления группы P (1, 4), реализуемые в пространстве решений
уравнений типа (3.1) и (3.7), будут унитарны, конечномерны и характеризоваться
собственными значениями оператора энергии и числом s, которое принимает це-
лые и полуцелые значения.
Оператор спина S = (S1 , S2 , S3 ) для уравнения (3.1) имеет такой же вид, как и
для обычного уравнения Дирака (относительно P (1, 3)):
1 1 ?a 0
(3.12)
Sa = abc Sbc = ,
0 ?a
2 2
?a — матрицы Паули.
Из (3.12) и (3.10) вытекает, что на множестве решений уравнения (3.1) реали-
зуется представление
1 1
? D(?) s =
D(+) s = (3.13)
2 2
группы P (1, 4).
154 В.И. Фущич, Л.П. Сокур

2. Уравнение движения частицы с произвольным спином и с произвольной
не равной нулю массой, нетрудно выписать, если заметить, что уравнение (3.4)
отличается от обычного уравнения Дирака заменой
m > |p4 |, ?µ > ?µ , (3.14)
и можно буквально повторить все рассуждения Баргмана и Вигнера, проведенные
в работе [6]. Поэтому для частиц c переменной массой и спином s = M имеет
2
место система уравнений:
(m)
p ?µ ? = |p4 |?
µ
(3.15)
(m = 1, 2, . . . , M ),
причем предполагается, что компоненты ?(t, x; ?1 , . . . , ?M ) волновой функции ?
полностью симметризованы относительно любой перестановки ?m - ?m .
Генераторы, действующие в пространстве {?}, имеют вид:
P0 = ??0 , Pk = p k ,
i
Jab = xa pb ? xb pa + Sab , Sab = [? , ? ] ,
4 a b?
p4 pb
J4a = x4 pa ? xa p4 + Sab ,
|p4 | ? + |p4 | (3.16)
?0 ?0 pb
J0a = x0 pa ? [?, xa ]+ + Sba ,
? + |p4 |
2
?0
J04 = x0 p4 ? [?, x4 ]+ ,
2
где
M
(m)
? = U ?, U= U,
m=1
(3.17)
M (m)
(m)
(m)
?1/2
U = [2?(? + |p4 |)] ? + |p4 | + ?a pa , ?µ = ?µ .
m=1
Уравнение (3.15) преобразованием (3.17) приводится к виду:
(m)
(3.18)
p0 ? = ? ?0 ?,
которое эквивалентно следующему уравнению канонического вида
? (3.19)
p0 ? = ? ??,
где
1(M +1) 0
? (3.20)
?= .
?1(M +1)
0
Таким образом, уравнения типа Баргмана–Вигнера (3.15) в пятимерной схеме
описывают частицу и античастицу с фиксированным спином s, но с нефиксиро-
ванной массой |p4 |. На решениях уравнений (3.15) реализуется представление
M M
? D(?)
D(+) (3.21)
2 2
группы P (1, 4).
Уравнения Баргмана–Вигнера на неоднородной группе де Ситтера 155

§ 4. P -, T -, C-свойства уравнения Дирака
В этом параграфе изучаются свойства уравнения Дирака (1.14) (или (1.15))
относительно пространственного и временного отражений, а также операции за-
рядового сопряжения.
При замене xk > ?xk волновая функция ?+ (t, x) может преобразоваться, во-
обще говоря, двумя неэквивалентными способами:
2
P (1) ?+ (t, x) = r(1) ?+ (t, ?x), ?1
P (1) (4.1)

либо
? 2
P (2) ?+ (t, x) = r(2) ?+ (t, ?x), ? 1,
P (2 (4.2)

где r(1) , r(2) — (4 ? 4)-матрицы; P (1) — эрмитовый, а P (2) — антиэрмитовый
операторы, удовлетворяющие таким соотношениям:

P (1) , Pk = P (1) , J0k P (1) , P0 = P (1) , Jkl (4.3)
= 0, = 0,
? ?
+ +


P (2) , Pk = P (2) , J0k P (2) , P0 = P (2) , Jkl (4.4)
= 0, = 0.
? ? + +

При замене t > ?t волновая функция также может преобразоваться двумя
различными способами. Согласно Паули
2
? 1,
T (1) ?+ (t, x) = ? (1) ?+ (?t, x), T (1) (4.5)

T (1) , Pk = T (1) , Jkl T (1) , P0 = T (1) , J0k (4.6)
= 0, = 0,
? ? + +

где ? (1) — (4 ? 4)-матрица.
Согласно Вигнеру
? 2
? 1,
T (2) ?+ (t, x) = ? (2) ?+ (?t, x), T (2 (4.7)

T (2) , Pk = T (2) , Jkl T (2) , P0 = T (2) , J0k (4.8)
= 0, = 0,
? ?
+ +

где ? (2) — (4 ? 4)-матрица.
Оператор зарядового сопряжения определяется как
?
C 2 ? 1,
C?+ (t, x) = ? (3) ?+ (t, x), (4.9)

(4.10)
[C, Pµ ]+ = 0, [C, Jµ? ]+ = 0,

где ? (2) — (4 ? 4)-матрица. Из этого определения ясно, что оператор C можно
определить через операторы T (1) и T (2) или через P (1) и P (2) как
C (1) = T (1) T (2) = T (2) T (1) , (4.11)

C (2) = P (1) P (2) = P (2) P (1) . (4.11 )
156 В.И. Фущич, Л.П. Сокур

Матрицы r(1) , r(2) , ? (1) , ? (2) , ? (3) можно представить в виде:
(i) (i)
r(i) = aµ ?µ + aµ? ?µ ?? , µ < ?, i = 1, 2,
(4.12)
(l) (l)
? (l) = bµ ?µ + bµ? ?µ ?? , µ < ?, l = 1, 2, 3
(i) (i) (l) (l)
где aµ , aµ? , bµ и bµ? — произвольные числа (µ = 0, 1, . . . , 4).
Зная явный вид генераторов Pµ , Jµ? (формула (1.17)), действующих в про-
странстве решений {?+ } (или {?? }) уравнения (1.14) (или (1.15)) и учитывая
(4.12), можно убедиться непосредственной проверкой, что соотношения (4.4), (4.6),
(4.10) удовлетворяются только для нулевых матриц ? (1) , ? (2) и ? (3) . Соотноше-
ния (4.3) и (4.8) удовлетворяются, если

r(1) = ?, ? (2) = i?1 ?3 , (4.13)

Итак, уравнение (1.14) (или (1.15)) P (2) -, T (1) -, C-неинвариантно, но P (1) -,
T (2) -инвариантно [9]. Это означает, что четырехкомпонентное уравнение Дира-

<< Предыдущая

стр. 34
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>