<< Предыдущая

стр. 35
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

ка на группе P (1, 4) P (1) T (1) C (1) -, P (2) T (2) C (2) -инвариантно, но P (1) T (2) C (2) -,
P (2) T (2) C (1) -, P (2) T (1) C (2) -неинвариантно.
Для сравнения напомним, что обычное уравнение Дирака на группе P (1, 3),
как хорошо известно, P -, C-, T -инвариантно. Такое отличие P -, C-, T -свойств
5-мерного уравнения Дирака (1.14) от обычного уравнения Дирака являются след-
ствием того, что уравнение (1.14) (или (1.15)) не описывает частицу и античастицу,
поскольку на решениях этого уравнения реализуется представление D(+) 1 , 0 ? 2
D(?) 0, 1 группы P (1, 4).
2
Рассмотрим теперь уравнение, являющейся “прямой сумой” уравнений (1.14)
и (1,15):
?
(4.14)
H? = i ?,
?t
H = ?0 ?k pk + ?0 ?, (4.15)

0 ?k 10
(4.16)
?k = , ?0 = ,
0 ?1
?k 0

? — восьмикомпонентный спинор.
На решениях уравнения (4.14) реализуется представление

1 1 1 1
, 0 ? D(?) 0, ? D(+) 0, ? D(?)
D(+) (4.17)
,0 .
2 2 2 2

Генераторы группы P (1, 4), действующие в пространстве решений уравнения
(1.14), выглядят как

P0 = H = ?0 ?k pk + ?0 ?, Pk = pk ,
i
(8) (8)
Jkl = xk pl ? xl pk + Skl , Skl = [?k , ?l ]? , (1.17 )
4
1
J0k = x0 pk ? [H, xk ]+ .
2
Уравнения Баргмана–Вигнера на неоднородной группе де Ситтера 157

Операторами спина и изоспина будут матрицы
? ? ? ?
?a 0 0 0 00 0 0
? 0 0 0 0? ? 0?
0 ?a 0
Sa = ? ?, Ta = ? ?.
(8) (8)
(1.12 )
? 0 0 ?a 0 ? ? 0?
00 0
0000 00 0 ?a
Операторы P , T , C на восьмикомпонентной волновой функции определяется как
P (1) ?(t, x) = R(1) ?(t, ?x), P (2) ?(t, x) = R(2) ?(t, ?x), (4.18)
? ?
T (1) ?(t, x) = T (1) ?(?t, x), T (2) ?(t, x) = T (2) ?(?t, x), (4.19)
?
C?(t, x) = T (3) ?(t, x), (4.20)

где
? 0 0 ?1 ?3
R(1) = R(2) = i (4.21)
, ,
0 ? ?1 ?3 0

0 ? ?1 ?3 0
T (1) = T (2) = i (4.22)
, ,
? 0 0 ?1 ?3

0 ?2 ?4
T (3) = i (4.23)
,
?2 ?4 0

Можно проверить, что при выборе матриц R, T , в виде (4.21)–(4.23) соотношения
(4.3), (4.4), (4.6), (4.8) и (4.10) выполняются. Это означает, что восьмикомпонен-
тное уравнение (4.14) P -, T -, C-, P T C-инвариантно.
Таким образом, в схеме P (1, 4) простейшим P -, T -, C-инвариантным урав-
нением, описывающим частицу (мультиплет) со спином и изоспином, является
восьмикомпонентное уравнение (4.14). Отсюда ясно, что для построения P -, T -,
C-инвариантных уравнений типа Б–В, следует в качестве исходного уравнения
взять уравнение (4.14). Из предыдущего рассмотрения ясно также, что свойством
P -, T -, C-инвариантности будут обладать лишь такие уравнения в схеме P (1, 4),
на решениях которых реализуются представления, симметричные относительно
замены s - t:
D(+) (s, t) ? D(?) (s, t) ? D(+) (t, s) ? D(?) (t, s), (t = s),
(4.24)
D(+) (s, t) ? D(?) (s, t), (t = s).
Для полноты укажем, что уравнения (3.15), на решениях которых реализуются
представления класса II (с W = V = 0) P -, T -, C-инвариантно. Этот факт является
следствием того, что уравнение (3.1) или (3.4) инвариантно относительно этих
операций. Действительно, если выбрать матрицы r(1) , r(2) , ? (1) , ? (2) , ? (3) в виде
r(1) = ?0 , r(2) = ?0 ?2 , ? (1) = ?1 ?2 ?3 , ? (2) = ?1 ?3 , ? (3) = ?2 , (4.25)
то легко убедиться, что уравнение (3.4) P -, T -, C-инвариантно.
Итак, уравнение (3.15), описывавшее свободное движение частицы со спином
s и нефиксированной массой |p4 |, P -, T -, C-инвариантно.
158 В.И. Фущич, Л.П. Сокур

§ 5. P -, T -, C-инвариантные уравнения типа Баргмана–Вигнера
Уравнения Б–В, рассмотренные в § 1, T -, P -, C-инвapиантны лишь в частном
случае M = N . Для получения T -, P -, C-инвариантных уравнений Б–В ну-
жно использовать, как уже отмечалось, в качестве исходного восьмикомпонентное
уравнение вида (4.14).
Уравнение (4.14) эквивалентно двум уравнениям
?
P + ? = 0, (5.1)
H? = i ?,
?t
и
?
P ? ? = 0, (5.2)
H? = i ?,
?t
где P ± — проекционные операторы вида
1
P± = P + + P ? = 1, P + P ? = 0,
(1 ± ?),
2
(5.3)
?0 0
? = ?0 ?1 ?2 ?3 ?4 = ,
??0
0
причем операторы ? коммутируют с операторами уравнения pµ ?µ , а также с ге-
нераторами (1.17 ). Поэтому пространство решений {?} уравнения (1.14) можно
разложить на два инвариантных подпространства

{?} = {P + ?} ? {P ? ?}.

Уравнение (5.1) (или (5.2)) имеет в качестве пространства решений подпространс-
тво {P ? ?} (или {P + ?}) на котором реализуется представление D(+) 0, 1 ?2
D(?) 1 , 0 (или D(+) 1 , 0 ? D(?) 0, 1 ), что доказывает, что (5.1) эквивален-
2 2 2
тно (1.15), а (5.2) эквивалентно (1.14).
Уравнения Б–В, если в качестве исходного уравнения выбрать уравнение
(4.14), будут иметь вид
(m)
pµ ?µ ? = ??, (5.4)
(m = 1, 2, . . . , M ).

Пространство решений {?} уравнений (5.4) реализует прямую сумму представле-
ний D(±) (s, t), где
MM M
? 1, ? 2, . . . ,
s, t =
,
22 2
(5.5)
MM M
? 1, ? 2, . . . .
s+t= ,
22 2
Причем, в этой сумме некоторые представления могут повторяться несколько раз.
Существует, тем не менее, проекционный оператор, проектирующий {?} на опре-
деленное инвариантное подпространство {? } ? {?}, в котором реализуется лишь
прямая сумма неприводимых представлений вида (4.24) с числами s и t, удовле-
творяющими (5.5). Обозначим такой проекционный оператор через P , т.е.

? = P ?,
Уравнения Баргмана–Вигнера на неоднородной группе де Ситтера 159

тогда T -, P -, C-инвариантное уравнение с ? ? {? } будет иметь вид:
(m)
pµ ?µ ? = ??, (1 ? P )? = 0. (5.6)

Рассмотрим детально уравнение (5.4) для случая M = 2. Уравнение (5.4) при-
нимает вид
(1) (2)
pµ ?µ ? = ??, pµ ?µ ? = ??. (5.7)

Волновая функция ? ? {?} ({?} — пространство решений (5.7)) определяется
своими компонентами вида

? = ?(t, x; ?1 , ?2 ) ? ?(?1 , ?2 ) (?1 , ?2 = 1, 2, . . . , 8).

Дополнительные условия в этой случае имеют вид
(1) (2)
(5.8)
?0 ? = ?0 ?

и приводят к тому, что ? определяется лишь следующими компонентами:

? (+) = ? (+) (?1 , ?2 ), ?1 , ?2 = 1, 2, 3, 4,
(5.9)
? (?) = ? (?) (?1 , ?2 ), ?1 , ?2 = 5, 6, 7, 8.

Вектора ?(±) , определяемые компонентами ? (±) , принадлежат собственному зна-
чению ±1 инварианта ?:

??(±) = ±1?(±) .

Рассмотрим операторы
(1) (2) (1)(2)
? = ? ? 1, ? = 1 ? ?, (5.10)
? ?.
(1) (2)
Нетрудно убедиться, что оператора (5.10) коммутируют с матрицами ?µ и ?µ с
генераторами группы P (1, 4), которые в этом случае имеют вид:
1
[?0 , ?k ]? pk + ? ?0 ,
P0 = Pk = p k ,
2
i
Jkl = xk pl ? xl pk + Skl , Skl = [?k , ?l ]? , (5.11)
4
(1) (2)
1
J0k = x0 pk ? [P0 , xk ]+ , ?µ = ? µ + ? µ .
2
Это означает, что из операторов (5.10) можно образовать шесть проекционных
операторов
1 1 1
(1) (2) (1)(2)
1± ? 1± ? 1± ? ? (5.12)
, , ,
2 2 2
которые разбивают множество {?} на инвариантные относительно P (1, 4) подмно-
жества.
160 В.И. Фущич, Л.П. Сокур

Существует четыре независимых проекционных оператора, которые образуют
полную систему и которые могут быть построены из операторов (5.12):
1 1
(1) (2) (1) (2)
P1 = P2 = 1? ?
1+ ? 1+ ? , 1+ ? ,
4 4
1 1
(1) (2) (1) (2)
P3 = 1? ? P4 = 1? ? 1? ?
1+ ? , , (5.13)
4 4
P1 + P2 + P3 + P4 = 1, Pi Pi = Pi , Pi Pj = 0 (i = j),
(i, j = 1, 2, 3, 4).
Вектора, принадлежащие инвариантным подпространствам
Mi = {Pi ?(+) } ? {Pi ?(?) }, (5.14)
определяются тогда лишь следующими компонентами из (5.9):
? ? M1 определяются компонентами
? (+) (?1 , ?2 ), ?1 , ?2 = 1, 2,
(5.15)
? (?) (?1 , ?2 ), ?1 , ?2 = 7, 8;

? ? M2 ? (+) (?1 , ?2 ), ?1 = 1, 2, ?2 = 3, 4,
(5.16)
? (?) (?1 , ?2 ), ?1 = 7, 8, ?2 = 5, 6;

? ? M3 ? (+) (?1 , ?2 ), ?1 = 3, 4, ?2 = 1, 2,
(5.17)
? (?) (?1 , ?2 ), ?1 = 5, 6, ?2 = 7, 8;

? ? M4 ? (+) (?1 , ?2 ), ?1 = 3, 4, ?2 = 3, 4,
(5.18)
? (?) (?1 , ?2 ), ?1 = 5, 6, ?2 = 5, 6.
Пространства M1 и M2 могут быть разложены на подпространства симметричных
?S (?1 , ?2 ) = ?S (?2 , ?1 )
и антисимметричных
?A (?1 , ?2 ) = ??A (?2 , ?1 )
функций. Это видно хотя бы из того, что операторы P1 и P4 коммутируют с
операцией перестановки ?1 - ?2 или из выражений (5.15) и (5.18). Пространства
M2 , M3 не допускают такого разложения.
Чтобы указать, какие представления группы P (1, 4) реализуются на пространс-
твах Mi , необходимо знать, какие собственные значения имеют операторы S3 , T3 ,
2 2 2 2
Sa и Ta на базисных элементах этих пространств. Операторы Sa , Ta , Sa и Ta в
этом случае принимают вид:

<< Предыдущая

стр. 35
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>