<< Предыдущая

стр. 36
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

(1) (2) (1) (2)
(8) (8) (8) (8)
Sa = S a + S a , Ta = T a + T a ,
2 2
(1) (2) (1) (2)
(8) (8) (8) (8)
2
Sa = + +2S a S a ,
Sa Sa (5.19)
2 2
(1) (2) (1) (2)
(8) (8) (8) (8)
2
Ta = + + 2T a T a .
Ta Ta
Уравнения Баргмана–Вигнера на неоднородной группе де Ситтера 161

2 2
Операторы Sa и Ta диагональны только на инвариантных подпространствах M2
и M3 . Чтобы диагонализировать их также и в M1 и M4 , необходимо в качестве
базиса M1 и M4 выбрать симметричные и антисимметричные функции
(S) (A) (S) (A)
M1 > M 1 ? M1 , M4 > M4 ? M4 , (5.20)

где
(S) (+) (?) (A) (+) (?)
= {P1 ?S } ? {P1 ?S }, = {P1 ?A } ? {P1 ?A }
M1 M1

и т.д.
(S) (A) (S) (A)
Тогда можно показать, что на M1 , M1 , M2 , M3 , M4 и M4 реализуются
следующие представления группы P (1, 4):
(S)
: D(+) (1, 0) ? D(?) (0, 1), (5.21)
M1

(A)
: D(+) (0, 0) ? D(?) (0, 0), (5.22)
M1

11 11
? D(?)
M2 : D(+) (5.23)
, , ,
22 22

11 11
? D(?)
M3 : D(+) (5.24)
, , ,
22 22

(S)
: D(+) (0, 1) ? D(?) (1, 0), (5.25)
M4

(A)
: D(+) (0, 0) ? D(?) (0, 0). (5.26)
M4

Теперь можно написать уравнения вида (5.6) для любого из представлений (5.21)–
(5.26), или любой их суммы.
Мы выпишем только следующие P -, T -, C-инвариантные уравнения:
для спиносинглета-изосинглета (5.22) или (5.26)
?
?
(m)
pµ ?µ ?A = ??A (5.27)
, m = 1, 2
(1 ? P1 )?A = 0 ?
или

(1 ? P4 )?A = 0;

для спинодублета-изодублета (5.23) или (5.24)
?
?
(m)
pµ ?µ ? = ?? (5.28)
, m = 1, 2
?
(1 ? P2 )? = 0
или

(1 ? P3 )? = 0;
162 В.И. Фущич, Л.П. Сокур

для спинотриплета-изотриплета
?
?
(m)
pµ ?µ ?S = ??S (5.29)
, m = 1, 2.
?
(1 ? P1 ? P4 )?S = 0

Итак, уравнение (5.4) на группе P (1, 4), в отличие от обычного уравнения
Брагмана–Вигнера на группе P (1, 3), описывает не один, а несколько спин-изоспи-
новых мультиплетов (смесь). С помощью проекционных операторов можно из (5.4)
выделять уравнения, описывающие спиносинглет-изосинглет, спинодублет-изодуб-
лет, спинодублет-изосинглет и т.д.
В заключение этого параграфа укажем еще один вид уравнений, решения ко-
торых, также как и решения уравнений Б–В не содержит лишних компонент.
Уравнения имеют вид
pµ ? = (Lµ? p? + Lµ ?)?, (5.30)
где матрицы Lµ? и Lµ представляются в виде
1 1
(5.31)
Lµ? = Sµ? , Lµ = Sµ5 .
i? i?
Операторы Sµ? и Sµ5 реализуют неприводимое представление D(?, ?1 , ?2 ) группы
O(1, 5), где ?, ?1 , ?2 — целые или полуцелые числа, удовлетворяющие условиям
? ? ?1 + ?2 ? 0, ?1 ? 0, ?2 ? 0,
где 2? той же самой четности, что и 2(?1 + ?2 ). Эти числа определяются как
собственные значения операторов S05 , S3 и T3 на старшем векторе.
На решениях уравнений (5.30) реализуется представление
D(+) (s = ?1 , t = ?2 ) ? D(?) (s = ?2 , t = ?1 )
группы P (1, 4).
Соответственно, на решениях уравнений
pµ ? = (Lµ? p? ? Lµ ?)?, (5.32)
где Lµ? и Lµ определяются (5.31), реализуется представление

D(+) (s = ?2 , t = ?1 ) ? D(?) (s = ?1 , t = ?2 )
группы P (1, 4).
Отметим, что уравнение (5.30) в том случае, когда P 2 = W = V = 0 екви-
валентно релятивистскому уравнению для частицы с фиксированным спином s,
которое недавно было предложено М. Бакри [10].

1. Румер Ю.Б., Исследования по 5-оптике, Физматгиз, М., 1956.
2. Hegerfeldt G.G., Henning J., Fortschr. Phys., 1968, 16, 9.
3. Fushchych W.I., Krivsky I.Yu., Nucl. Phys. B, 1968, 7, 79.
4. Фущич В.И., Кривский И.Ю., О волновых уравнениях в 5-пространстве Минковского, Препринт
ИТФ-68-72, Киев, 1968.
5. Liрkin H.J., Meshkov S., Phys. Rev. Lett., 1965, 14, 670.
Уравнения Баргмана–Вигнера на неоднородной группе де Ситтера 163

6. Вargmann V., Wigner E.P., Proc. Nat. Acad. Sci., 1948, 34, 211.
7. Fоldу L.L., Wouthuysen S.A., Phys. Rev., 1950, 78, 29.
8. Pursey D.L., Nucl. Phys. B, 1964, 7, 174.
9. Fushсhyсh W.I., Equations of motion in odd-dimensional spaces and T -, C-invariance, Preprint
ИТФ-69-17, Kiev, 1969.
10. Bakri M.М., Nuovo Cimento A, 1967, 51, 864.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 1, 164–166.

Про динамiчну алгебру осцилятора
в просторi з iндефiнiтною метрикою
I.I. КОСТИРКО, В.I. ФУЩИЧ

Dynamic algebra U (2n + 1) of an indefinite harmonic oscillator is found.

Останнiм часом широко обговорюється питання про вкладення алгебр симетрiї
P (алгебр прихованої симетрiї атома водню O4 , n-вимiрного гармонiчного осциля-
тора U n , алгебри Пуанкаре i т. д.) у бiльш широку алгебру G. При цьому потрiбно
вкласти, наприклад, алгебру Пуанкаре P в G так, щоб спектр оператора маси (в
нерелятивiстському випадку оператор енергiї), визначений у просторi, де задане
незвiдне представлення алгебри G (динамiчна алгебра), збiгався з експеримен-
тально спостережуваним спектром мас елементарних частинок (в нерелятивiст-
ському випадку з рiвнями енергiї). Ясно, що задача про знаходження динамiчної
алгебри, наприклад, гармонiчного осцилятора еквiвалентна розв’язку стацiонарної
квантово-механiчної задачi про спектр енергiї осцилятора.
Добре вiдомо, що для опису процесiв розпаду в рамках нерелятивiстської кван-
тової механiки доводиться мати справу або з неермiтовими гамiльтонiанами в гiль-
бертовому просторi, або з ермiтовими, але заданими уже в iндефiнiтному просторi.
В останньому випадку гамiльтонiан може мати як дiйснi, так i комплекснi власнi
значення. У зв’язку з цим природно дослiдити питання про вкладення алгебри си-
метрiї гармонiчного осцилятора P в G, гамiльтонiан якого заданий в iндефiнiтному
просторi. Аналогiчна задача для гармонiчного осцилятора, коли гамiльтонiан за-
даний в гiльбертовому просторi, дослiджена в [1–3].
У цiй замiтцi знайдена динамiчна алгебра n-вимiрного гармонiчного осцилято-
ра, гамiльтонiан якого заданий в лiнiйному векторному просторi з iндефiнiтною
метрикою.
Гамiльтонiан такого осцилятора має вигляд [4]
n
a+ bi + b+ ai , (1)
H= i i
i=1

де оператори a+ , b+ спряженнi до ai i bi вiдповiдно i задовольняють комутацiйнi
i i
спiввiдношення
[ai , b+ ]? = ?ij , [bi , a+ ]? = ?ij . (2)
j j

Неважко перевiрити, що H комутує з такими операторами (без врахування їхнiх
лiнiйних комбiнацiй):
1 1
Aj = j
{bi , a+ }+ , {ai , b+ }+ ,
Bi =
i j j
2 2
(3)
1 1
j
Fij = {bi , b+ }+ ,
Ei = {ai , a+ }+ , i, j = 1, 2, . . . , n.
j j
2 2
Український фiзичний журнал, 1969, 14, № 7, С. 1113–1115.
Про динамiчну алгебру осцилятора в просторi з iндефiнiтною метрикою 165

Якщо знайти всi можливi комутатори мiж операторами Aj , Bi , Ei , Fij , то можна
j j
i
переконатись, що сукупнiсть операторiв (3) та їхнi лiнiйнi комбiнацiї утворюють
алгебру Лi U (2n) розмiрностi 4n2 , яка з точнiстю до умови унiмодулярностi збi-
гається з Al (l = 2n ? 1) у вiдповiдностi з класифiкацiєю Картана. Таким чином,
алгеброю симетрiї гамiльтонiана (1) є U (2n).
Далi побудуємо динамiчну алгебру G. Для цього розглянемо оператори

Aj = d(H)a+ ,
A0 = g(H)bi ,
i 0 j
j
B0 = d(H)b+ ,
0 (4)
Bi = g(H)ai , j
0
C0 = C(H)
де g(H), d(H), C(H) задовольняють умови
g(H)d(H + 1) ? d(H)g(H ? 1) = ?1,
g(H)d(H + 1) + d(H)g(H ? 1) = 2C(H), (5)
C(H) ? C(H ? 1) = C(H + 1) ? C(H) = ?1.
Обчислюючи комутатори мiж операторами (3) i (5) i мiж собою, можна показати,
що сукупнiсть операторiв (3) i (4) та їхнi лiнiйнi комбiнацiї утворюють [4n(n +
1) + 1]-вимiрну алгебру Лi U (2n + 1).
Оскiльки у просторi станiв осцилятора не iснує iнварiантних пiдпpocтopiв вiд-
носно операторiв (4) i оскiльки в алгебру U (2n + 1) входять оператори народження
i знищення, то в цьому просторi (iндефiнiтному) реалiзується незвiдне представ-
лення алгебри U (2n + 1), генераторами якого є оператори (3) i (4), а простiр станiв
оператора H є одним незвiдним представленням динамiчної алгебри G = U (2n+1).
Спробуємо побудувати ще iншi динамiчнi алгебри для гамiльтонiана (1), якi
вiдповiдають iншим класам алгебр класифiкацiї Картана. Для цього розглянемо
оператори
0 0
Ekl = f (H)ak al , Fkl = f (H)bk bl ,
E0 = h(H)a+ a+ , F0 = h(H)b+ b+ ,
kl kl
(6)
kl kl
Akl = h(H)a+ b+ , 0
Bkl = f (H)ak bl ,
0 kl

де f (H) i h(H) задовольняють умову
f (H)h(H + 2) = h(H)f (H ? 2) = 1. (7)
Неважко переконатись, що сукупнiсть операторiв (3) i (6) є генератором алгебри
Sp(4n).
Незважаючи на те, що алгебра Sp(4n) мiстить алгебру симетрiї гамiльтонiа-
на (1), вона не є динамiчною алгеброю, оскiльки структура генераторiв (6) така,
що весь спектр оператора (1) можна одержати не з одного, а принаймнi з двох
представлень цiєї алгебри.
Таким чином, задача про спектр енергiї гармонiчного i ангармонiчного осциля-
торiв може бути розв’язана методом вкладення скiнченновимiрної алгебри Лi, що
вiдповiдає групi наявної симетрiї в бiльш широку, але скiнченновимiрну алгебру
Лi. Це твердження не залежить вiд того, де заданий гамiльтонiан (в гiльбертовому
чи векторному просторi з iндефiнiтною метрикою). Той факт, що динамiчна алге-
бра для квантовомеханiчних задач завжди виявляється скiнченновимiрною (а не
166 I.I. Костирко, В.I. Фущич

нескiнченновимiрною) пов’язаний, мабуть, тiльки з тим, що у квантовiй механiцi
маємо справу iз скiнченним числом ступенiв свободи.

1. Вarut A.O., Phys. Rev. B, 1965, 139, 1433.
2. Санников С.С., УФЖ, 1967, 12, 335.
3. Мwa R.C., Nuyts J., Phys. Rev., 1967, 145, 1188.
4. Nagу K.L., State vector spaces with indefinite metric in quantum theory, Groningen, P. Nordhoff,
1966.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 1, 167–175.

<< Предыдущая

стр. 36
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>