<< Предыдущая

стр. 37
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


Уравнения типа Кеммера–Дэффина
в пятимерном пространстве Минковского
И.Ю. КРИВСКИЙ, Г.Д. РОМАНЕНКО, В.И. ФУЩИЧ
An exhaustive analysis of the Kemmer–Duffin equations in five-dimensional Minkowski
space has been made. The concrete realisation of generators of the non-uniform de-
Sitter group is found, which is related to 6-, 15- and 20-dimensional square matrices
?µ of Kemmer–Duffin–Petiau algebra in five-dimensional space. An effective method is
proposed for the realisations of all representations of Kemmer–Duffin–Petiau algebra in
spaces of arbitrary dimension.
Проведен полный анализ уравнений типа Кеммера–Дэффина в 5-мерном пространс-
тве Минковского. Найдена конкретная реализация для инфинитезимальных опера-
торов неоднородной группы де Ситтера P (1, 4), связанная с 6-, 15- и 20-мерными ма-
трицами ?µ алгебры Кеммера–Дэффина–Петье в 5-мерном пространстве. Предложен
эффективный способ реализации всех представлений алгебры Кеммера–Дэффина–
Петье в пространствах произвольной размерности.

1. Введение
Идея использования пространств размерностью, большей чем четыре, для опи-
сания элементарных частиц и их динамической классификации рассматривалась
впервые де Бройлем [1]. Одна из конкретных реализаций этой идеи была предло-
жена Пайсом [2] и в дальнейшем рассматривалась и обобщалась многими авто-
рами в самых различных аспектах (обзор этих работ см. в [3]). В этих работах
изучалось объединение однородной группы Лоренца O(1, 3) с группами “внутрен-
них” симметрий. Более последовательное решение этого вопроса, однако, требу-
ет нетривиального объединения неоднородной группы Лоренца (группы Пуанкаре
P (1, 3)) с группами внутренних симметрий. Ожидается, что именно на этом пути
удастся получить спектр масс и другие характеристики элементарных частиц [4].
В работах [5, 6] предложен один из возможных способов нетривиального объе-
динения группы Пуанкаре P (1, 3) с группами внутренних симметрий, основанный
на минимальном расширении группы P (1, 3). Основные предпосылки предложен-
ного подхода состоят в следующем:
А. Оператор (квадрата) массы определяется как независимая динамическая
переменная:
M 2 ? ? 2 + P4 ,
2
(1)
где ? — некоторый фиксированный параметр, а P4 — оператор типа компонент
3-импульса P , коммутирующий со всеми генераторами алгебры1 P (1, 3) группы
Пуанкаре.
Б. Соотношения между энергией P0 , 3-импульсом P и массой M физической
системы оставляется прежним: (здесь всюду = c = 1):
P0 = P 2 + M 2 ? Pk + ? 2 ,
2 2
(2)
k = 1, 2, 3, 4.
Теоретическая и математическая физика, 1969, 1, № 2, С. 242–250.
1 Алгебрыи соответствующие им группы обозначаются здесь одинаковыми символами.
168 И.Ю. Кривский, Г.Д. Романенко, В.И. Фущич

В. Пространства p ? (p0 , p1 , . . . , p4 ) и x ? (x0 , x1 , . . . , x4 ) принимаются пло-
скими и взаимно-сопряженными. Из пунктов А, Б, В вытекает тогда, что группой
обобщенной релятивистской симметрии является неоднородная группа де Ситтера
P (1, 4) — группа смещений и вращений в пятимерном пространстве Минковского.
В настоящей работе приведен анализ уравнений типа Кеммера–Дэффина в 5-
мерном пространстве Минковского и найдена конкретная реализация представ-
лений для генераторов алгебры P (1, 4), определенных на решениях этих уравне-
ний. Кроме того, приведен способ эффективной реализации представлений алге-
бры Кеммера–Дэффина–Петье (КДП) в пространствах произвольной размерности.
2. Алгебры Кеммера–Дэффина–Петье
Рассмотрим конкретную реализацию матриц ?µ алгебры КДП в 5-мерном про-
странстве, определяемой соотношениями

(3)
?µ ?? ?? + ?? ?? ?µ = ?µ? ?? + ??? ?µ , µ, ?, ? = 1, 2, 3, 4, 5.

Heпocpeдcтвeнным подсчетом числа линейно независимых элементов алгебры (3)
можно доказать (по аналогии со случаем алгебры КДП в 4-мерном пространстве),
что это число равно 12 + 62 + 152 + 202 = 662. Отсюда ясно, что алгебра КДП в
5-мерном пространстве имеет три неприводимых представления размерностями 6,
15 и 20.
Как известно (см., например, [7]), реализацию неприводимых представлений
алгебры КДП в 4-мерном пространстве можно эффективно осуществить с помо-
щью процедуры линеаризации уравнений Клейна–Гордона для скаляра и вектора в
4-мерном пространстве. Ниже показано, что реализацию неприводимых представ-
лений алгебры КДП (3) можно эффективно осуществить с помощью процедуры
линеаризации уравнений Клейна–Гордона

?
(?µ ? ? 2 )A(m) (x) = 0, ?µ ?
2
m = 0, 1, 2 (4)
, x = (x1 , x2 , . . . , x5 ),
?xµ

для скаляра A(0) ? A0 , вектора A(1) ? Aµ и тензора A(2) ? Aµ? = ?A?µ .
Уравнения (4) эквивалентны следующей системе линейных уравнений:

(5)
A0 + ?µ Fµ = 0, Fµ + ?µ A0 = 0,

Fµ? + ?µ A? ? ?? Aµ = 0, (5.a)
Aµ + ?? F?µ = 0,

Fµ?? + ?µ F?? ? ?? Fµ? + ?? Fµ? = 0. (5.б)
Aµ? + ?? F?µ? = 0,

Конечно, системы (5.а) и (5.б) эквивалентны соответствующим уравнениям (4)
при дополнительных условиях типа Лоренца

(6)
?µ Aµ = 0, ?µ Aµ? = 0.

Для получения конкретной реализации представлений алгебры (3) достаточно
записать уравнения (5) в форме Баба

(?µ ?µ + ?)? = 0, (7)
Уравнения типа Кеммера–Дэффина в пятимерном пространстве 169

где ? — вектор-функция, компоненты которой строятся из соответствующих ком-
понент величин A и F . Размерности матриц ?µ для систем (5), (5.а) и (5.б),
определяемые числом уравнений в них, суть
N5 ? C5 + C5
m+1
m m
(8)
= 6, 15, 20, (m = 0, 1, 2).
Тот или иной явный вид матриц ?µ зависит от сопоставления компонент вектор-
функции ? соответствующим компонентам A и F . Можно, однако, написать неко-
торый общий явный вид матриц ?µ , не связанный с определенным сопоставлением
? = (A, F ). Для этого достаточно пронумеровать строки и столбцы матриц ?µ
компонентами величин A и F , входящих в уравнение (5). Такой общий явный
вид, приведенный в табл. 1–3 в дополнении, достаточен для проведения любых
операций с матрицами ?µ .
Реализация всех неприводимых представлений матриц ?µ , µ = 1, 2, . . . , n, алге-
бры КДП в случае пространств произвольной размерности n, когда число линейно
независимых элементов алгебры равно
E(a)
n+1
2
a?
m m+1
1+ Cn + Cn , ,
2
m=0

где E(a) — целая часть a, эффективно осуществляется (см. дополнение) с по-
мощью процедуры линеаризации уравнений (4) для кососимметрических тензоров
рангов m ? E(a).
3. Представления группы P (1, 4)
Эрмитовы матрицы
Sµ? ? ?i(?µ ?? ? ?? ?µ ) (9)
удовлетворяют соотношениям
i[Sµ? , S?? ] = ?µ? S?? + ??? Sµ? ? ?µ? S?? ? ??? Sµ? , (10)
т.e. реализуют N = 6-, 15-, и 20-мерные представления группы — группы вращений
в 5-мерном эвклидовом пространстве. Поскольку далее
i[?µ , S?? ] = ?µ? ?? ? ?µ? ?? (11)
(кстати, это условие инвариантности уравнения (7) относительно группы O(1, 4)),
матрицы (Sµ? , S?6 ), где S6? ? ?? реализуют N -мерные представления группы
O(6). Подбирая соответствующие матрицы из (Sµ? , S?6 ) с множителями ±i, мы
получим реализацию N = 6-, 15-, 20-мерных представлений групп типа2 O(m, n +
1), m + n ? 5.
Отметим, что обычно даже в случае релятивистских уравнений, инвариантных
относительно группы Пуанкаре P (1, 3), исследуют вопрос о реализации на реше-
ниях этих уравнений представлений однородной группы Лоренца O(1, 3). Однако,
как подчеркивалось в [9, 10], для адекватной физической интерпретации необхо-
димо ставить и решать вопрос о реализации этими уравнениями представлений
именно группы P (1, 3), а не O(1, 3).
построения представлений групп типа O(m, n + 1) из представлений групп O(m, n) и
2 Метод

уравнений типа Баба, инвариантных относительно O(m, n) был предложен в [8].
170 И.Ю. Кривский, Г.Д. Романенко, В.И. Фущич

Ниже выясняется вопрос, какие представления группы P (1, 4) как труппы обоб-
щенной релятивистской симметрии (а не группы O(1, 4)) реализуются на множе-
стве решений уравнений (7) с 6?6-, 15?15- и 20?20-матрицами ?µ . Для решения
этого вопроса следует [6] найти явный вид генераторов Pµ , Jµ? алгебры P (1, 4),
связанный с уравнением (7) тем, что P0 совпадает с гамильтонианом этого урав-
нения, и значения инвариантов алгебры P (1, 4), соответствующие данному явному
виду Pµ , Jµ? , а также возможные значения полного набора коммутирующих опе-
раторов.
Используя методику [11], можно показать, что уравнение (7) эквивалентно
уравнению
H ? ?k pk + ?5 ?, ?k ? S5k ,
i?0 ? = H?,
(12)
?0 ? i?5 , pk ? ?i?k , k = 1, 2, 3, 4.
Генераторы Pµ , Jµ? алгебры P (1, 4) в данном случае имеют вид
P0 = H = ?k pk + ?5 ?, Pk = pk = ?i?k ,
(13)
1
= x0 pk ? (xk P0 + P0 xk ).
Jkr = x[k pr] + Skr , J0k
2
При этом имеется в виду, что операторы (13) удовлетворяют коммутационным
соотношениям алгебры P (1, 4) лишь на существенных (essential) [12] компонентах
2
? = ?5 ?.
Оператор, соответствующий инварианту P 2 , имеет здесь вид
P 2 ? P0 ? Pk = ?5 ? 2 ,
2 2 2
(14)
где
1l
2
(15)
?5 = ,
0N ?l
а l = 2, 4, 12 — размерность единичной матрицы для случаев N = 6, 15, 20, со-
ответственно. Из (14) видно, что инвариант — знак энергии ? = ?5 . Другие два
инварианта алгебры P (1, 4) — операторы квадратов спина S и изоспина T (см. (5),
(6) в (5) и (2.18) в [6]), а также входящие в полный набор операторы S3 и T3 , где
1 1
Sa ? Ta ? (Sbc ? S4a ), (16)
(Sbc + S4a ),
2 2
(a, b, c) = cycl(1, 2, 3) вычислены в дополнении. Как видно из (14), представле-
ния (11) относятся к представлениям класса I (P 2 > 0), где малой групой группы
P (1, 4) является группа O(4) (S 2 и T 2 — ее инварианты).
Из явного вида диагональных операторов P 2 , ?, S 2 , T 2 , S3 и T3 (см. до-
2 2

полнение) видно, что множество решений уравнения (7) реализует следующие
представления D± (s, t) группы P (1, 4) (и, конечно, представления D(s, t) группы
O(4)):
11
D+ (0, 0) ? D? (0, 0) ? D (17)
, ,
22
11 11
? D? ? D(1, 0) ? D(0, 1) ? D(0, 0),
D+ (17.a)
, ,
22 22
Уравнения типа Кеммера–Дэффина в пятимерном пространстве 171

11
D+ (0, 1) ? D+ (1, 0) ? D? (0, 1) ? D? (1, 0) ? 2D (17.б)
,
22

для N = 6, 15, 20, соответственно. Указанные представления D± (s, t) алгебры
P (1, 4) реализуются на существенных компонентах ? , и только эти компонен-
ты имеют физический смысл.
Из (17) видно, что существенные компоненты ? уравнения Кеммера–Дэффи-
на (7) в 5-мерном пространстве Минковского симметричным образом описывают
мультиплеты: для N = 6 — спиносинглет-изосинглет (частицу типа ?-мезон), для
N = 15 — спинодублет-изодублет (частицу типа нуклон-антинуклон (N, N )) и
для N = 20 — спинотриплет-изосинглет и спиносинглет-изотриплет (частицы ти-
па (?, ?)-мезоны). Таким образом, уравнения (7) являются примерами уравнений,
в которых спин-изоспиновые переменные нетривиально объединены, т.е. примера-
ми уравнений, на основе которых осуществлено динамическое объединение груп-
пы Пуанкаре P (1, 3) и группы “внутренней” симметрии SU (2). Заметим, кстати,
что уравнение для нуклона как спиподублет-изодублета было выписано еще Пай-
сом [2]. Это уравнение, однако, построено на основе более широкой, чем P (1, 4),
группы, поэтому полный набор, от которого зависит волновая функция этого урав-
нения, содержит больше шести независимых переменных.
P (1, 4)-инвариантное выделение существенных компонент ? уравнения (7)
производится с помощью преобразования типа Фолди–Вотхойзена:
?k pk p
U = exp ?i p? p2 .
arctg (18)
,
? k
p
Для этих компонент уравнение принимает вид
(l)
p2 + ? 2 ? , ? ? U? . (19)
i?0 ? = ?5 k

Генераторы (13) при этом преобразовании принимают квазидиагональный вид, при-
чем “ящики”, относящиеся к уравнению (19), выглядят так:
(l)
p2 + ? 2 , pk = ?i?k ,
P0 = ?5 k
(20)
1 Skr pr
(l)
= x0 pk ? (xk P0 + P0 xk ) ?

<< Предыдущая

стр. 37
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>