<< Предыдущая

стр. 38
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Jkr = x[k pr] + Skr , J0k .
P0 + ?
2
Эти представления являются конкретизацией канонических представлений типа
Фолди–Широкова в схеме P (1, 4) (см. (2.19) в [6]) в том смысле, что здесь спин-
изоспиновые матрицы Skl задаются явно через матрицы ?µ алгебры КДП, входя-
щие в (7).
Укажем теперь, какие представления P (1, 3) ? P (1, 4) реализуются на реше-
ниях уравнения (7). Эти представления P (1, 3) можно реализовать на решениях
уравнения (7), не зависящих от x4 . Для таких решений уравнение (7) является
“объединением” соответствующих уравнений Кеммера—Дэффина в схеме P (1, 3),
которые получаются из уравнения (7), если положить p4 = ?i?4 = 0. Генераторы
алгебры P (1, 3), связанные с этими уравнениями, суть генераторы P0 , Pa , Jab , J0a ;
a, b = 1, 2, 3 из (13). Из явного вида инвариантов P 2 ? P0 ? Pa ; ? = ?5 ; S 2 ? 1 Sab
2 2 2
2
2 2
и S3 = S12 алгебры P (1, 3) видно, что эти уравнения реализуют представления
D+ (0) ? D? (0) ? D(1) ? D(0), (21)
172 И.Ю. Кривский, Г.Д. Романенко, В.И. Фущич

D+ (0) ? D? (0) ? D+ (1) ? 2D(1) ? D(0), (21.a)

2[D+ (1) ? D? (1) ? D(1) ? D(0)] (21.б)

для N = 6, 15, 20, соответственно. Фактически это означает, что уравнения (7) при
p4 = 0 распадаются на независимые 5-мерные и 10-мерные уравнения Кеммера–
Дэффина с соответствующими неприводимыми 5 ? 5- и 10 ? 10-матрицами ?1 , ?2 ,
?3 , ?5 .
Формулы (21), однако, нельзя вполне последовательно интерпретировать (как
это предлагалось в [13]) как тот факт, что уравнения (7) в схеме P (1, 4) описывают
физические объекты, получаемые “слиянием” частиц со спином 0 и 1 (для N = 15),
1 и 1 (для N = 20). Это связано с тем, что в квантовой схеме, основанной на груп-
пе P (1, 4), шесть величин (а не четыре, как в случае P (1, 3)) образуют полный
набор, например p, p4 , S3 , T3 (или любой другой, но, конечно, содержащий имен-
но шесть величин). Поэтому уравнения (7), инвариантные относительно группы
P (1, 4), описывают не физические объекты, получаемые слиянием частиц, а физи-
ческие объекты, характеризуемые шестью квантовыми числами. В работах [5, 6]
была предложена непротиворечивая физическая интерпретация всех величин это-
го набора: p — 3-импульс, p4 — массовая переменная, S3 , T3 — проекции спина и
изоспина частицы, описываемой уравнением (7).
Квантовополевой лагранжев формализм, основанный на P (1, 4)-инвариантных
уравнениях (7), строится в полной аналогии с обычным лагранжевым формали-
змом в схеме P (1, 3). В заключение заметим, что приведенный в дополнении яв-
ный вид матриц ?µ , µ ? n для произвольного n позволяет аналогичным образом
эффективно провести анализ соответствующих представлений групп P (1, n ? 1),
реализуемых на решениях уравнений типа (7) в n-мерных пространствах Минков-
ского.


Дополнение
В табл. 1–6 схематически записаны матричные элементы матриц ?µ , µ =
1, 2, . . . , n, алгебр КДП (3) в пространствах произвольных размерностей, полу-
чаемых процедурой линеаризации уравнений Клейна–Гордона (4) для кососимме-
трических тензоров A(m) ? A(m) (x), x = (x1 , x2 , . . . , xn ), m-го ранга, т.е. матриц
?µ , получаемых при записи уравнений (5) в форме Баба (7).


Таблица 1 Таблица 2
0 1
Ненулевые элементы матриц ?µ , µ ? n
Nn n ?µ Nn n
2 1 1,0 — 1 12,2 13,3 14,4 15,5 16,6 ...
3?
3 2 2,0 2 21,1 23,3 24,4 25,5 26,6 ...
4 3 3,0 6 3 31,1 32,2 34,4 35,5 36,6 ...
5 4 4,0 10 4 41,1 42,2 43,3 45,5 46,6 ...
6 5 5,0 15 5 51,1 52,2 53,3 54,4 59,6 ...
7 6 6,0 21 6 61,1 62,2 63,3 64,4 65,5 ...
. .
. .
. .
Уравнения типа Кеммера–Дэффина в пятимерном пространстве 173

Таблица 3
2
Ненулевые элементы матриц ?µ , µ ? n
Nn n
— 1 123,23 124,24 134,34 125,25 135,35 145,45 126,26 136,36 ...
— 2 213,13 214,14 234,34 215,15 235,35 245,45 216,16 236,36 ...
4? 3 312,12 314,14 324,24 315,15 325,25 345,45 316,16 326,26 ...
10? 4 412,12 413,13 423,23 415,15 425,25 435,35 416,16 426,26 ...
20 5 512,12 513,13 523,23 514,14 524,24 534,34 516,16 526,26 ...
35 6 612,12 613,13 623,23 614,14 624,24 634,34 615,15 625,25 ...
.
.
.


Таблица 4
12 13 23 14 24 34 15 25 35 45
Aµ?
7 8 9 10
№ 1 4 2 5 3 6
123 124 134 234 125 135 235 145 245 345
Fµ??
6 3 5 2 4 1
№ 10 9 8 7


Таблица 5
?1 ?2 ?3 ?4 ?5
?4, 10 ?10, 4 1, 6 6 ,1
2,10 10,2 1,10 10,1 1,9 9,1
?5, 9 ?9, 5 ?5, 8 ?8, 5 2, 5 5 ,2
3,9 9,3 4,8 8,4
?3, 7 ?7, 3 3, 4 4 ,3
6,8 8,6 6,7 7,6 2,7 7,2
2 , 10 10 , 2 4 , 10 10 , 4 1 , 10 10 , 1 ?1 , 9 ?9 , 1 4, 3 3 ,4
3 ,9 9 ,3 5 ,9 9 ,5 ?5 , 8 ?8 , 5 ?4 , 8 ?8 , 4 5, 2 2 ,5
6 ,8 8 ,6 ?6 , 7 ?7 , 6 ?3 , 7 ?7 , 3 ?2 , 7 ?7 , 2 6, 1 1 ,6


Таблица 6
iS12 iS13 iS23 iS14 iS24 iS34
4, 2 ?2, 4 ?1, 2 2, 1 1, 4 ?4, 1 ?1, 3 3, 1 1, 5 ?5, 1 4, 5 ?5, 4
5, 3 ?3, 5 5, 6 ?6, 5 3, 6 ?6, 3 ?4, 6 6, 4 ?2, 6 6, 2 2, 3 ?3, 2
?7, 8 8, 7 7, 9 ?9, 7 ?8, 9 9, 8 ?7, 10 10, 7 8, 10 ?10, 8 ?9, 10 10, 9

m m m+1
В первой колонке указаны размерности Nn = Cn + Cn матриц ?µ при дан-
ных n и m. Звездочкой отмечены размерности представлений, повторяющих пред-
ставления в таблицах m ? E[(n + 1)/2]. Во второй колонке приведены размерность
пространства n и индексы µ ? n матриц ?µ . Конкретные значения этих элемен-
тов зависят от сопоставления ? = (A, F ). При этом, например, символ “325, 25” в
табл. 3 означает, что

(?3 )pq = (?3 )qp = ?1, если A25 = ?p , F325 = ?q ,
p, q ? (1, 2, . . . , N5 = 20).
2


Правило написания таблиц элементов матриц ?µ , получаемых процедурой лине-
аризации уравнений (4) для кососиммстрических тензоров ранга m ? 3, ясны из
табл. 1–3.
174 И.Ю. Кривский, Г.Д. Романенко, В.И. Фущич


? ? ? ?
03 2 · 13
? ? ? ?
2 · 13 03
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
· 14 · 14
3 3
? ? ? ?
4 4
2 2
S =? T =?
?, ?,
? ? ? ?
03 2 · 13
? ? ? ?
? ? ? ?
2 · 13 03
? ? ? ?
· 14 · 14
3 3
4 4
? ? ? ?
03 0
1
? ? ? ?
1
1
? ? ? ?
1
? ? ? ?
03
0
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
· 14 · 14
1 1
? ? ? ?
4 4
2 2
S3 = ? T3 = ?
?, ?,
? ? ? ?
03 0
? ? ? ?
1
? ? ? ?
1
1
? ? ? ?
1
? ? ? ?
03
0
? ? ? ?
· 14 · 14
1 1
4 4
? ?
13
? ?
?13
? ?
? ?
? ?
04
? ?
?5 = ? ?,
? ?
13
? ?
? ?
?13
? ?
04

Для иллюстрации ниже приводятся некоторые необходимые вычисления только
с 20 ? 20-матрицами ?µ , µ ? 5. В данном случае целесообразно пронумеровать
компоненты величин Aµ? и Fµ?? как указано в табл. 4. При такой нумерации
матрицы ?? имеют вид, схематически приведенный в табл. 5, где выписаны все
ненулевые элементы, равные ±1.
Матрицы Skl (k, l = 1, 2, 3, 4), определяемые по (9), имеют вид
? ? ? ?
(10) (6)
Skl Skl
Skl = ? ?, Skl = ? ?.
(10)
(10) (4)
Skl Skl
(10)
В табл. 6 приведены элементы Skl только верхнего “ящика”, поскольку ни-
жний реализует те же самые представления группы O(4), что и верхний. Квадраты
спин-изоспиновых матриц, определенных по (16), диагонализуются матрицей

1, 1 2, 2 3, 3 1, 6 2, 5 3, 4 7, 7 8, 8
1
V = V ?1 = v ,
?4, 4 ?5, 5 ?6, 6 ?6, 1 5, 2 4, 3 9, 9 10, 10
2
где выписаны только ненулевые элементы верхнего ящика, причем, например,
v
(V )44 = ?1/ 2. Диагональные S 2 , T 2 , S3 , T3 и ?5 имеют вид, представленный
2 2

выше на схеме.
Уравнения типа Кеммера–Дэффина в пятимерном пространстве 175

1. de Brodlie L., Introduction to the Vigier theory of elementary particles, Amsterdam, 1963.
2. Pais A., Physica, 1953, 19, 869.
3. Соколик Г.А., Групповые методы в теории элементарных частиц, Атомиздат, 1965.
4. Нegerfeldt G.C., Henning J., Fortschr. Phys., 1968, 16, № 9.
5. Fushchych W.I., Кrivskу I.Yu., Nucl. Phys. B, 1968, 7, 79.
6. Фущич В.И., Кривский И.Ю., О волновых уравнениях в 5-пространстве Минковского, Препринт
ИТФ–68–72, Киев, 1968.
7. Roman P., Theory of elementary particles, Amsterdam, I960.
8. Фущич В.И., Укр. физ. ж., 1966, № 8, 907.
9. Foldу L., Phys. Rev., 1956, 102, 568.
10. Широков Ю.М., ЖЭТФ, 1957, 33, 861, 1196.
11. Сase K.M., Phys. Rev., 1955, 100, 1513.
12. Garridо L.N., Oliver L., Nuovo Gim. A, 1967, 52, 588.
13. Бедрицкий А.И., ЖЭТФ, 1968, 55, 1367.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 1, 176–198.

Представления полной неоднородной
группы де Ситтера и уравнения
в пятимерном подходе. I
В.И. ФУЩИЧ
The study has been made of the irreducible representations of the total inhomogeneous
de Sitter group P (1, 4). The canonical and non-canonical equations of motion invariant
under the P (1, 4) group are found. The equation is proposed which makes it possible

<< Предыдущая

стр. 38
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>