<< Предыдущая

стр. 39
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

to obtain the mass spectrum of the particles increasing with spin and isospin, and,
as a by-product, the equation of motion for zero-mass particle is obtained, which is
the covariant generalization of the Weyl–Hammer–Good equation. The eight-component
equation (6.7) is shown to be the simplest P -, C- and T -invariant equation in the
five-dimensional approach. Canonical transformations for the free equations of the Dirac
type are considered.
Изучены неприводимые представления полной неоднородной группы де Ситтера
P (1, 4). Найдены канонические и неканонические уравнения движения, инвариан-
тные относительно группы P (1, 4). Предложено уравнение, с помощью которого мо-
жно получить возрастающий спектр масс частиц в зависимости от спина и изоспина
и как побочный результат получено уравнение движения для частицы с нулевой мас-
сой, являющееся ковариантным обобщением уравнения Вейля–Хаммера–Гуда. Пока-
зано, что простейшим P -, T -, C-инвариантным уравнением в пятимерном подходе
является восьмикомпонентное уравнение (6.7). Рассмотрены канонические преобра-
зования для уравнений типа Дирака.

За последнее время вопрос о расширении группы Пуанкаре и объединение ее
с группами внутренних симметрий в различных направлениях и для различных
целей был предметом многих исследований (см. обзор [1]). Следует отметить,
что идея расширения группы Пуанкаре тесно связана с довольно старой идеей
о расширении четырехмерного пространственно-временного континуума, которая
интенсивно обсуждалась в 30-х годах в общей теории относительности в свя-
зи с объединением теорий тяготения и электричества. Вопросу построения основ
5-мерной оптики, исходя из пятимерного пространства Минковского, посвящена
монография Ю. Румера [2]. Задача о расширении однородной группы Лоренца
рассматривалась многими авторами (наиболее полный обзор по этим работам см.
в [3]).
В настоящее время стало ясно, что для задач, связанных с нахождением спе-
ктра масс частиц на основе вложения групп, необходимо рассматривать вопрос о
расширении группы Пуанкаре P (1, 3), а не однородной группы Лоренца O(1, 3).
Исходя из предположения, что оператор массы должен входить в теорию “на
равных правах с оператором импульса” [4], в работах [5, 6, 8] было рассмотрено
минимальное в некотором смысле расширение группы Пуанкаре P (1, 3). В каче-
стве такого расширения выбрана неоднородная группа де Ситтера P (1, 4) ? P (1, 3)
в пятимерном пространстве Минковского.
Теоретическая и математическая физика, 1970, 4, № 3, С. 360–382.
Представления полной неоднородной группы де Ситтера 177

В работах [7, 8] было показано, что уравнения Дирака в пятимерном про-
странстве Минковского, в отличие от уравнений Дирака в четырехмерном про-
странстве, не инвариантны относительно P T C-преобразований. Такое существен-
ное различие P -, T -, C-свойств уравнений Дирака в зависимости от размерности
пространств и побудило рассмотреть вопрос о дискретных преобразованиях в пя-
тимерном подходе в наиболее общей постановке.
Настоящая работа является продолжением предыдущих наших работ [5, 6, 8,
21] по неоднородной группе де Ситтера P (1, 4).
При построении неприводимых представлений полной неоднородной группы де
Ситтера P (1, 4) повсюду используются методы и идеи работ Вигнера, Фолди и
Широкова [9, 10, 11] по представлениям группы Пуанкаре. Рассмотрения ведутся в
такой форме, что почти все основные результаты работы с некоторыми очевидными
оговорками обобщаются и на группу P (1, n) — группу вращений и трансляций в
(1 + n)-мерном пространстве Минковского.
В разделе 1 приведены основные сведения о группе P (1, 4) и определены опе-
раторы дискретных преобразований. В последующих разделах 2–4 найдены явные
виды генераторов группы P (1, 4), реализующих ее неприводимые представления,
и с помощью которых построены генераторы группы P (1, 4). Приведены схемы
зацеплений неприводимых представлений группы P (1, 4) операторами дискретных
преобразований и выписаны канонические уравнения, инвариантные относительно
полной группы P (1, 4).
В разделе 5 предложены неканонические уравнения, инвариантные относитель-
но группы P (1, 4), которые приводят к возрастающему спектру масс частиц в за-
висимости от спина и изоспина. Раздел 6 посвящен тeopeтико-групповому анализу
восьмикомпонентного уравнения, инвариантного относительно P (1, 4). Исходя из
этого уравнения, предложено уравнение движения, описывающее систему с прои-
звольным спином и изоспином. В разделе 7 рассмотрено несколько типов кано-
нических преобразований для уравнений типа Дирака (для случаев Pµ ? 0, и
2
2
Pµ < 0).
1. Основные определения и инварианты группы P (1, 4)
Генераторы неоднородной группы де Ситтера Pµ , J?? удовлетворяют переста-
новочным соотношениям1
[Pµ , J?? ]? = i(gµ? P? ? gµ? P? ),
[Pµ , P? ] = 0,
(1.1)
[Jµ? , J?? ]? = i(gµ? J?? ? gµ? J?? + g?? Jµ? ? g?? Jµ? ),

где g00 = 1, gkl = ??kl ; µ, ? = 0, 1, 2, 3, 4; k, l = 1, 2, 3, 4.
Можно показать, что группа P (1, 4) имеет три основных инварианта [5, 6]:

P 2 ? Pµ = P0 ? P 2 ? P 4 ;
2 2 2
(1.2)

1 12 122
W2 ? Vµ?? = wµ? = Pµ J?? ? Pµ P? Jµ? J?? , (1.3)
6 2 2
1 1
V = ? Jµ? wµ? = ? ?µ???? Jµ? J?? P? , (1.4)
4 8
1 Алгебры и соответствующие им группы обозначаются одинаковыми символами.
178 В.И. Фущич

где антисимметричный тензор третьего ранга Vµ?? и фундаментальный антисим-
метричный тензор второго ранга имеют вид
Vµ?? ? Pµ J?? + P? J?µ + P? Jµ? , (1.5)

1 1
wµ? ? ?µ???? V??? = ?µ???? P? J?? . (1.6)
6 2
Между генераторами группы P (1, 4) и тензором wµ? можно установить следу-
ющие коммутационные соотношения:
[Jµ? , w?? ]? = i(gµ? w?? + g?? wµ? ? gµ? w?? ? g?? wµ? ),(1.7)
[Pµ , w?? ]? = 0,

[wµ? , w?? ]? = i(gµ? ?????? + g?? ?µ???? ? gµ? ?????? ? g?? ?µ???? )P? w?? . (1.8)

В (1 + n)-мерном пространстве Минковского определим два оператора про-
странственного отражения P :
P (n) ?(x0 , x1 , x2 , . . . , xn ) = r(n) ?(x0 , ?x1 , ?x2 , . . . , ?xn ), (1.9)

P (n?1) ?(x0 , x1 , x2 , . . . , xn ) = r(n?1) ?(x0 , ?x1 , ?x2 , . . . , ?xn?1 , xn ), (1.10)

причем
P0 , P (n) = 0 = Jkl , P (n) Pk , P (n) = 0 = J0k , P (n)
, ,
? ? + +
(1.11)
P (n) · P (n) ? 1, P (n?1) · P (n?1) ? 1,

P0 , P (n?1) = Pn , P (n?1) = J0n , P (n?1) = Jab , P (n?1) = 0,
? ? ? ?
(1.12)
Pa , P (n?1) = Jnb , P (n?1) = J0a , P (n?1) = 0,
+ + +

где индексы a и b принимают значения a, b = 1, 2, . . . , n ? 1.
Как и в случае группы Пуанкаре P (1, 3), можно дать два неэквивалентных
определения оператора отражения времени T [10]. Согласно Паули при замене
x0 > ?x0 волновая функция преобразуется по закону
T p · T p ? 1,
T p ?(x0 , x1 , . . . , xn ) = ? p ?(?x0 , x1 , . . . , xn ), (1.13)

[Pk , T p ]? = [Jkl , T p ]? = 0, [P0 , T p ]+ = [J0k , T p ]+ = 0. (1.14)

Согласно Вигнеру волновая функция при отражении времени преобразуется по
закону
T ? · T ? ? 1,
T ? ?(x0 , x1 , . . . , xn ) = ? ? ?(?x0 , x1 , . . . , xn ), (1.15)

[Pk , T ? ]+ = 0 = [Jkl , T ? ]+ , [P0 , T ? ]? = 0 = [J0k , T ? ]? . (1.16)

Оператор зарядового сопряжения определяется как
?
C 2 ? 1,
C?(x0 , x1 , . . . , xn ) = ? c ?(x0 , x1 , . . . , xn ), (1.17)

(1.18)
[Pµ , C]+ = 0 = [Jµ? , C]+ .
Представления полной неоднородной группы де Ситтера 179

Размерность матриц r(n) , r(n?1) , ? p , ? ? и ? c зависит от размерности по спиновым
индексам представления группы P (1, n).
В дальнейшем будем рассматривать только операцию P (n?1) , поскольку в про-
странстве Минковского размерности (1 + 2n) — отражение всех пространственных
осей P (2n) — сводится к повороту, поэтому всякое уравнение, инвариантное отно-
сительно группы P (1, 2n), будет P (2n) -инвариантно.

2. Представления полной группы P (1, 4) для случая P 2 > 0
В том случае, когда инвариант P 2 ? Pµ = ? 2 > 0, кроме основных инвариан-
2

тов (1.3) и (1.4), имеется дополнительный инвариант группы P (1, 4) — оператор
знака энергии

P0 P0
?
E1 = p2 + p2 + ? 2 , (2.1)
= , E1 =
|P0 | 4
E1

где ? — постоянная величина, pk = ?i ?xk . Малой группой в этом случае являе-
?

тся компактная группа вращений в четырехмерном евклидовом пространстве O(4),
которая локально изоморфна группе SU (2) ? SU (2). Из этого следует, что группа
P (1, 4) является нетривиальным объединением группы Пуанкаре и изотонической
группы внутренних симметрий. Отметим, что одну из групп SU (2) можно, вооб-
ще говоря, связывать, например, с W -спином. В дальнейшем, однако, мы будем
связывать ее с изоспином.
В системе “покоя”, где все pk = 0, инварианты W 2 и V связаны с инвариантами
группы O(4) следующими соотношениями:

W 2 = 2Pµ (S 2 + T 2 ),
2
(2.2)


Pµ (S 2 ? T 2 ),
2 (2.3)
V = ?1

где операторы S ? (S1 , S2 , S3 ), T ? (T1 , T2 , T3 ) определяются соотношениями

1 1
Sa = ?abc Sbc + S4a ,
2 2
(2.4)
1 1
?abc Sbc ? S4a ,
Ta = a, b, c = 1, 2, 3,
2 2

Skl — генераторы группы O(4).
Все неприводимые представления класса I (P 2 > 0) унитарны, конечномерны и
?
задаются числами s, ? , ?1 . Операторы S 2 , T 2 и E1 для неприводимых представле-
ний P (1, 4) кратны единичным операторам

?
S 2 = s(s + 1) · 1, T = ? (? + 1) · 1, E1 = ?1 · 1, ?1 = ±1. (2.5)

Числа s и ? , принимающие целые и полуцелые положительные значения, отожде-
ствляются со спином и изоспином частицы. Неприводимые представления класса I
будем обозначать через D?1 (s, ?, ?).
180 В.И. Фущич

Используя методику работ [9, 10, 11], можно найти канонический вид типа
Фолди–Широкова для генераторов Pµ и Jµ? . Для представления D?1 (s, ?, ?) они
имеют вид
?
Pk = pk = ?i Jkl = xk pl ? xl pk + Skl ,
P 0 = ? 1 E1 , ,
?xk
(2.6)
?1 Skl pl
J0k = x0 pk ? (xk E1 + E1 xk ) ? ?1 ,
E1 + ?
2
где операторы Skl реализуют неприводимое представление D(s, ? ) группы O(4).
Помимо двух представлений D+ (s, ?, ?) и D? (s, ?, ?), задаваемых формулой
(2.6), можно построить (с помощью операторов T p и P (3) ) два других представ-
ления, неэквивалентных представлениям Фолди–Широкова (2.6), генераторы Pµ и
Jµ? для этих представлений задаются формулами
P4 = ?p4 ,
P 0 = E1 , Pa = p a ,
Jab = xa pb ? xb pa + Sab , J4a = xa p4 ? x4 pa ? S4b ,
1 Sab pb + Sa4 p4
J0a = x0 pa ? (xa E1 + E1 xa ) ? (2.7)
,
E1 + ?
2
1 S4b pb
J04 = ?x0 p4 + (x4 E1 + E1 x4 ) + ,
E1 + ?
2
и
P0 = ?E1 , P4 = ?p4 ,
Pa = p a ,
Jab = xa pb ? xb pa + Sab , J4a = xa p4 ? x4 pa ? S4b ,
1 Sab pb + Sa4 p4
J0a = ?x0 pa + (xa E1 + E1 xa ) + (2.8)
,
E1 + ?
2
1 S4b pb
J04 = x0 p4 ? (x4 E1 + E1 x4 ) ? .
E1 + ?
2
Представления алгебры P (1, 4), задаваемые формулами (2.7) и (2.9), будем обо-
значать через D+ (?, s) и D? (?, s).
Операторы (2.6)–(2.8) эрмитовы в скалярном произведении
s,?
?
d4 x ?(x0 , x, x4 , s3 , ?3 )? (x0 , x, x4 , s3 , ?3 ) (2.9)
(?, ? ) =
s3 =?s,?3 =??

или (в p-представлении)

<< Предыдущая

стр. 39
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>