<< Предыдущая

стр. 4
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

A method is proposed for finding the singularity surface for diagrams of fig. 1 type. An
equation is obtained for the singularity surface for diagrams of type b in any order of
the theory of perturbations. The equation of the singularity surface is obtained, using
the integral reprsentation for the vertex of functions [2] and [3], as well as Landau’s
condition.

Пропонується метод знаходження поверхнi сингулярностi для дiаграм, що наведенi
на рисунку. Отримано рiвняння поверхнi сингулярностi для дiаграм типу b в довiль-
ному порядку теорiї збурень. Рiвняння поверхнi сингулярностi ми отримали, вико-
ристовуючи iнтегральне представлення для вершинної функции [2] i [3], а також
умову Ландау.


Для знаходження сингулярностей внеску в амплiтуду розсiювання або породже-
ння вiд довiльної дiаграми Фейнмана доводиться розв’язувати рiвняння Ландау.
Така задача досить легко розв’язується для простих дiаграм. Однак для дiаграм з
великим числом внутрiшнiх лiнiй рiвняння Ландау практично не можна розв’яза-
ти. Тому постає питання: як одержати рiвняння поверхнi сингулярностi дiаграми
Фейнмана в довiльному порядку теорiї збурень?
У зв’язку з цим слiд вiдмiтити роботу [1], де одержано параметричнi рiвняння
поверхнi сингулярностi для власних особливостей дiаграми, виходячи з рiвнянь
Ландау.
В данiй статтi пропонується метод, за допомогою якого можна одержати рiв-
няння поверхнi сингулярностi для узагальнених петльових дiаграм (рисунок) в
довiльному порядку теорiї збурень. Вiдмiтимо, що область аналiтичностi, яку мо-
жна одержати з цього рiвняння, буде меншою, нiж область аналiтичностi, яку
можна було б одержати, якщо дослiдити рiвняння поверхнi Ландау.




Для простоти розглянемо дiаграму b. Всi мiркування, приведенi для цiєї дiа-
грами, як буде видно нижче, легко переносяться на дiаграми з числом зовнiшнiх
лiнiй бiльше нiж чотири, тобто на дiаграми типа a.

Доповiдi Академiї наук України, 1964, № 1, С. 7–9.
18 В.I. Фущич

Припустимо, що всi частинки — бозони, i в кожному вузлi дiаграми сходя-
ться три лiнiї. Вклад в амплiтуду розсiювання вiд дiаграми b запишемо в такому
виглядi:
4 222
V 1 M 1 , q1 , q4
(4)
(1)
T = dq1 ,
q i ? m2
2
i
i=1

де V1 M1 , q1 , q4 — вершинна функцiя, яка зiставляється з вершиною 1; Mi2 = p2 .
222
i
222
Далi використаємо iнтегральне зображення для V1 M1 , q1 , q4 яке було одержано
в роботах [2] i [3]. Тодi вираз (1) перепишеться так:
?
1
1
(4)
(2)
T = d? d? ?(?, ?) dq1 ,
4
[?q1 + (1 ? ?)q4 ? ?] (qi ? m2 )
2 2 2
?0
0 i
i=1

?(?, ?) — довiльна, взагалi кажучи, узагальнена функцiя, ?0 > 0; точне значення
?0 наведене в роботi [3]. Iнтегруючи по q1 , одержимо
5
? 1?
? ?i
1 1 1
i=1
(4)
(3)
T = d? d? ?(?, ?) d?1 . . . d?5 ,
{D}3
?0
0 0 0

де
D = a ? b,
a = ??1 ? + ?1 (1 ? ?)M2 ? m2 ?2 + ?3 (M2 ? m2 )+
2 2
1 2

+?4 (u ? 2m2 ) + ?5 (M1 ? m2 ),
2
(4)
3 4

b = ?1 (1 ? ?)2 M1 + ?3 M2 + ?4 u + ?5 M1 ? ?1 (1 ? ?)[?3 (s ? 2m2 )?
2 2 2 2 2 2 2


??4 u ? 2M1 ?5 ] + ?3 [?4 (u + M2 ? M3 ) ? ?5 (s ? 2m2 )] + ?4 ?5 u.
2 2 2


Рiвняння типу Ландау для T (4) —

(5)
D = 0,
5
?D
(6)
= 0, ?i = 0.
??i i=1

Для знаходження явного вигляду рiвняння поверхнi сингулярностi необхiдно
розв’язати лiнiйну неоднорiдну систему п’яти рiвнянь (6) i розв’язок пiдставити
в (5). Одержане рiвняння для s, t, u i буде рiвнянням поверхнi сингулярностi. У
випадку, коли зовнiшнi i внутрiшнi маси дорiвнюють (m), рiвняння поверхнi син-
гулярностi має вигляд
1
(1 ? ?)(u ? 2m2 )s + (m2 ? ? ?) + [m2 (1 ? ? + 2?) ? 2??]t =
2 (7)
= m2 [m2 (3? ? 2) ? ?],
Аналiтичнi властивостi узагальнених петльових дiаграм 19

0 ? ? < 1, ? ? ?0 , ? — довiльний параметр, який з’явився тому, що детермiнант
системи (6) дорiвнює нулю.
Очевидно, що аналогiчний метод можна застосувати i для дiаграм типу c,
але при цьому потрiбно використати бiльш складне iнтегральне зображення для
вершинної функцiї [2, 3] (формули (16.6) i (11) вiдповiдно).
На закiнчення наведемо без доведення таке твердження: вклад в амплiтуду по-
родження вiд дiаграми типу a не має власних особливостей, якщо число зовнiшнiх
лiнiй n ? 6, тобто для вивчення аналiтичних властивостей дiаграм a досить вивчи-
ти її редукованi дiаграми, якi одержуються з неї викресленням однiєї з внутрiшнiх
лiнiй qi . Це твердження можна довести методом Брауна [4].

1. Логунов А.А., Тодоров И.Т., Черников Н.А., Годишник на Софийския университет, 1962, 55,
117.
2. Nakanishi N., Suppl. Progr. Theor. Phys., 1961, 18, 1.
3. Лю И-чень, Тодоров И.Т., ДАН СССР, 1963, 148, 806.
4. Brown L.M., Nuovo Cim., 1961, 22, 178.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 1, 20–24.

Про полюси амплiтуди народження для
процесу ? + d > d + ? + ?
В.I. ФУЩИЧ
The author studies the contribution poles in the generation amplitude from the diagrams
of the drawing, as well as from diagrams obtained from the diagrams of the drawing
by transposing the external meson lines, for the process ? + d > d + ? + ? in respect
to the invariant t13 . Values are found for other invariants (s12 , s34 , s45 and t25 ) with
which the poles lie close to the physical region.
Исследуются полюса вклада в амплитуду рождения от диаграмм рисунка, а также
от диаграмм, которые получаются из диаграмм рисунка перестановкой внешних ме-
зонных линий, для процесса ? +d > d+? +? относительно инварианта t13 . Найдены
значения других инвариантов (s12 , s34 , s45 и t25 ), при которых полюса лежат вблизи
физической области.

З робiт Ландау i Каткосського [1, 2] випливає, що вклад в амплiтуду народження
вiд дiаграм, зображених на рисунку, має простi полюси вiдносно одного з iнва-
рiантiв (наприклад, t13 ), вiд яких залежить амплiтуда, коли жодний з параметрiв
Фейнмана не дорiвнює нулю.
Оскiльки амплiтуда має полюси, то природно припустити, що їх можна екс-
периментально виявити. Так, наприклад, вони можуть впливати на величину екс-
периментально вимiрюваного перерiзу процесiв народження (звичайно, при цьому
припускається, що “справжня” амплiтуда вiдповiдних процесiв має такi ж особли-
востi, як i амплiтуда в теорiї збурень). Iден [3] запропонував дослiдити з цiєю
метою процес ? + d > d + ? + ?. Такий вибiр пов’язаний з тим, що амплiтуда
такого процесу не має полюсiв типу Чу–Лоу [4] (в точцi t = µ2 ) i цим самим
полегшує iнтерпретацiю експериментальних даних.




Щоб експериментально виявити вплив полюсiв на величину перерiзiв вище-
зазначеного процесу, необхiдно детально дослiдити їх положення (в площинi t)
i вказати, при накладаннi яких умов на iншi iнварiанти можна чекати експери-
ментального ефекту. Далi ми проведемо таке дослiдження. Кук i Тарський [5]
знайшли положення полюса вiдносно одного iнварiанта для дiаграми a (не врахо-
вуючи дiаграм, якi одержуються з дiаграми a перестановкою мезонних лiнiй) при
конкретних значеннях iнших iнварiантiв.
Український фiзичний журнал, 1964, 9, № 2, С. 117–121.
Про полюси амплiтуди народження для процесу ? + d > d + ? + ? 21

1. Як вiдомо, амплiтуда простого процесу народження залежить вiд п’яти неза-
лежних iнварiантiв. Виберемо такi незалежнi iнварiанти:
s12 = (p1 + p2 )2 , s34 = (p3 + p4 )2 , s45 = (p4 + p5 )2 ,
(1)
t25 = (p2 ? p5 )2 , t13 ? t = (p1 ? p3 )2 ,
де p1 , p3 — iмпульси дейтрона, p2 , p4 та p5 — iмпульси мезонiв. Крiм цих iн-
варiантiв зручно ввести ще п’ять iнварiантiв: s35 = (p3 + p5 )2 , t15 = (p1 ? p5 )2 ,
t23 = (p2 ? p3 )2 , t14 = (p1 ? p4 )2 та t24 = (p2 ? p4 )2 . Мiж цими i незалежними
iнварiантами можна встановити такi спiввiдношення:
s35 = s12 ? s34 ? s45 + M 2 + 2µ2 , t15 = s34 ? s12 ? t25 + M 2 + 2µ2 ,
t14 = t25 ? t ? s34 + 2M 2 + µ2 , t23 = s45 ? s12 ? t + 2M 2 + µ2 , (2)
t24 = t ? t25 ? s45 + 3µ2 ,
де M — маса дейтрона, µ — маса ?-мезона.
Будемо дослiджувати положення полюсiв вiдносно змiнної t. Зрозумiло, що
полюс лежить поза фiзичною областю змiни iнварiанта t, а саме, поза вiдрiзком
[t? , t+ ] (випадок, коли полюс лежить всерединi цього вiдрiзка, означає, що вiн
знаходиться не на фiзичному листi), де

t? = 2 M 2 ? p10 p30 ? (p2 ? M 2 ) (p2 ? M 2 ),
10 30


t+ = 2 M 2 ? p10 p30 + (p2 ? M 2 ) (p2 ? M 2 ),
10 30


s12 + M 2 ? µ2 s12 ? s45 + M 2
v v (3)
p10 = , p30 = ,
2 s12 2 s12

s12 ? M 2 + µ2 s12 ? s34 + µ2
v v (4)
p20 = , p50 = .
2 s12 2 s12

Отже, полюс може впливати на величину перерiзу, якщо вiн лежить на дiйснiй
осi (Re t) i поблизу вiдрiзка [t? , t+ ].
2. Умови Ландау [1] для вищенаведених дiаграм мають такий вигляд:
5
(5)
?i qi = 0,
i=1

де qi — iмпульс, взятий на масовiй оболонцi qi = m2 (m — маса нуклона), який
2

зiставляється внутрiшнiй лiнiї дiаграми. Використовуючи зв’язок мiж зовнiшнiми
та внутрiшнiми iмпульсами дiаграм, одержимо рiвняння для знаходження положе-
ння полюсiв вкладу в амплiтуду народження вiд дiаграм, зображених на рисунку,
а також вiд дiаграм, якi одержуються з дiаграм рисунка перестановкою мезонних
лiнiй:
D1i (s12 , s34 , s45 , t25 , t) = 0, D2i (s12 , . . . , t) = 0,
(6)
D3i (s12 , . . . , t) = 0, i = 1, . . . , 6.
Явнi вирази для D1i , D2i , D3i наведенi в додатку.
22 В.I. Фущич

Тепер знайдемо положення полюсiв, зумовлених вкладом в амплiтуду вiд дiа-
грам a, b, c; цi полюси будуть в точках
A12 ± A11 A22
11 11 11
tk = 2m2 + ,
11 1,2
D11
A12 ± A11 A22
= 2m ? 3µ + t25 + s45 + 21 21 21
tk 2 2
, (7)
21 1,2
D21
A12 ± A11 A22
= 2M ? 2m + µ + s45 ? s12 + 31 31 31
tk 2 2 2
.
31 1,2
D31
1,2 1,2
Явнi вирази для A11 , . . . , A22 , та D11 , . . . , D31 наведенi в додатку (див. форму-
11 31
ли (Д6)–(Д8)).
З (7) випливає, що коренi рiвнянь для D11 , D21 , D31 будуть дiйснi, якщо
A11 A22 ? 0, A11 A22 ? 0, A11 A22 ? 0. (8)
11 11 21 21 31 31

Крiм цього з (7) видно, що при збiльшеннi s12 полюси вiддаляються вiд фiзичної
областi. Отже, полюси амплiтуди народження будуть розташованi поблизу (на
вiдстанi порядку m2 ) фiзичної областi (вiдносно t) при малих значеннях s12 , а

<< Предыдущая

стр. 4
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>