<< Предыдущая

стр. 40
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

s
d3 p X(p, s3 ; ?3 , s, ?1 , ?),
(?, ? ) =
s3 =?s
(2.10)
?
dp4
X? ?|p, p4 , s3 , ?3 ; s, ?, ?1 , ? p, p4 , s3 , ?3 ; s, ?, ?1 , ?|? .
2E1
?3 =??

Генераторы группы P (1, 4), которые заданы в пространстве, где реализуется
прямая сумма четырех неприводимых представлений
D+ (s, ?, ?) ? D? (s, ?, ?) ? D+ (?, s, ?) ? D? (?, s, ?), (2.11)
Представления полной неоднородной группы де Ситтера 181

имеют вид
? ? ? ?
E1 0 0 0 pa 0 0 0
?0 0? ?0 0?
?E1 0 pa 0
P0 = ? ?, Pa = ? ?,
?0 0? ?0 0?
0 E1 0 pa
?E1
0 0 0 0 0 0 pa
? ?
p4 0 0 0
?0 0?
p4 0
P4 = ? ?,
?0 0?
?p4
0
?p4
0 0 0
(2.12)
? ? ? ?
Jab 0 0 0 J4a 0 0 0
?0 0? ?0 0?
Jab 0 J4a 0
=? ?, =? ?,
Jab J4a
?0 0? ?0 0?
?J4a
0 Jab 0
?J4a
0 0 0 Jab 0 0 0
? ? ? ?
J0a 0 0 0 J04 0 0 0
?0 0? ?0 0?
?J0a ?J04
0 0
=? ?, =? ?,
J0a J04
?0 0? ?0 0?
?J04
0 J0a 0
?J0a
0 0 0 0 0 0 J04

где операторы Jµ? задаются формулой (2.6) при значении ?1 = 1.
Из определения (1.10) и коммутационных соотношений (1.12) следует, что если
вектор ??1 (x) принадлежит пространству {??1 (x)}, где реализуется представле-
s,? s
ние D (s, ?, ?), то вектор P ?s (x) принадлежит пространству {??1 (x)}, т.е.
?1 (3) ?1
s
пространству, где реализуется представление D?1 (?, s, ?). Это означает, что, на-
пример, пространство {?+ } неинвариантно относительно оператора P (3) .
s,?
Из определения (1.13) и соотношений (1.14) следует, что если вектор ?+ (x) ?
s,?
{?+ }, то вектор T p ?+ (x) ? {?? }. Проведя аналогичные рассуждения для
s,? s,? s,?
?
операторов T и C, можно прийти к следующей схеме зацеплений неприводимых
представлений группы P (1, 4):

P (3)
D+ (s, ?, ?) <> D+ (?, s, ?)
(2.13)
Tp Tp
C C
P (3)
D? (s, ?, ?) <> D? (?, s, ?).

Итак, из этой схемы вытекает следующий результат: Неприводимое представ-
ление полной неоднородной группы де Ситтера P (1, 4) (для s = ? ) для класса I
реализуется в пространстве, где реализуется прямая сумма (2.11) неприводи-
мых представлений ограниченной группы P (1, 4), причем генераторы Pµ и Jµ?
группы P (1, 4) имеют вид (2.12).
В том случае, когда s = ? , неприводимое представление группы P (1, 4) ре-
ализуется в пространстве, где реализуется прямая сумма двух неприводимых
представлений ограниченной группы P (1, 4)

D+ (s = ?, ? ) ? D? (s = ?, ?, ). (2.14)
182 В.И. Фущич

Зная явный вид генераторов группы P (1, 4) (явный вид дискретных операторов
мы здесь не приводим), нетрудно теперь выписать квантовомеханические урав-
нения, которые полностью инвариантны или частично инвариантны относительно
дискретных преобразований.
Уравнение, на решениях которого реализуется неприводимое представление
(2.11) группы P (1, 4) имеет вид

? ?(x0 , x, x4 )
= H?(x, x, x4 ), (2.15)
i
?x0

где волновая функция ? имеет 4(2s + 1)(2? + 1) компонент. Компоненты ее нуме-
руются числами s3 и ?3 (?s ? s3 ? s3 ? s, ?? ? ?3 ? ? ), а оператор H ? P0 имеет
вид
? ?
?000
1
? 0 ?? 0 0 ?
1
?=? ?
H = ?E1 , ? 0 0 ? 0 ?,
1
0 0 0 ?? 1
? — единичная матрица размерности (2s+1)(2? +1). Каноническое уравнение (2.15)
1
не имеет явно инвариантной формы, но несмотря на это оно инвариантно относи-
тельно группы P (1, 4), поскольку выполняется условие
?
? H, Q (2.16)
i ?(x0 , x, x4 ) = 0,
?x0 ?

где ? — любое решение уравнения (2.15), a Q — любой оператор из алгебры
P (1, 4). Выполнение условия (2.16) означает, что множество всех решений уравне-
ния (2.15) {?} инвариантно относительно алгебры P (1, 4). Уравнение (2.15) опи-
сывает не одну частицу, как соответствующее уравнение в случае группы Пуан-
каре P (1, 3), а совокупность частиц — изотопический мультиплет частиц.
Приведем еще один пример уравнения, инвариантного относительно группы
P (1, 4), но которое только частично T -, P -инвариантно. Уравнение, которое P (4) -,
T p -, C-инвариантно, но P (3) -, P (3) · T ? -неинвариантно, имеет вид
??(x0 , x, x4 )
= H?(x0 , x, x4 ) = ? p2 + p2 + ? 2 ?(x0 , x, x4 ), (2.17)
i 4
?x0
?0
1
где ? = , ?(x0 , x, x4 ) — 2(2s + 1)(2? + 1)-компонентный вектор, пре-
0 ?? 1
образующийся по представлению D+ (s, ? ) ? D? (s, ? ). Генераторы группы P (1, 4)
для указанного представления совпадают с (2.7), где следует сделать замену

Skl 0
?1 > ?, Skl > .
0 Skl

Уравнение на группе P (1, 4), которое P (4) -, T ? -инвариантно, но P (3) -, T p -, C-
неинвариантно, формально совпадает с уравнением (2.17), однако волновая фун-
кция ? преобразуется при этой по представлению D+ (s, ? ) ? D? (?, s, ?) (или
Представления полной неоднородной группы де Ситтера 183

D+ (?, s, ?) ? D? (s, ?, ?)), а генераторы группы P (1, 4) строятся из операторов
(2.6) (при ?1 = +1) и операторов (2.8). Как будет показано в разделе 6, именно
по таким прямым суммам преобразуются волновые функции в уравнении Дирака
в случае группы P (1, 4).
3. Представления группы P (1, 4) для случая P 2 = 0
В том случае, когда инвариант P 2 = P0 ? Pa ? P4 = 0 и не все Pk = 0,
2 2 2

дополнительным инвариантом группы является также оператор знака энергии
P0
?
E2 = p2 + p2 , (3.1)
, E2 = a 4
E2
поскольку спектр оператора P0 имеет две ветви: ?? < p0 < 0 и 0 < p0 < ?.
Малой группой в этом случае является группа трансляций и вращений в тре-
хмерном евклидовом пространстве P (3), а это означает, что инвариант W 2 будет
иметь непрерывный спектр и ему, по-видимому, трудно придать приемлемый фи-
зический смысл. Ограничимся поэтому случаем, когда W 2 = 0, а значит и V = 0.
Для этого случая малой группой является группа, изоморфная группе O(3), по-
этому все неприводимые представления D?2 (s) группы P (1, 4) [5] унитарны, коне-
чномерны и задаются числами ?2 = ±1 и s (s = 0, 1/2, 1, . . .).
Явный вид генераторов P (1, 4), который будет получен нами в разделе 7, вы-
глядит как
Jab = xa pb ? xb pa + Sab ,
P 0 = ? 2 E2 , Pk = p k ,
Sab pb p4
Ja4 = xa p4 ? x4 pa + e4 , e4 = ,
E2 + |p4 | |p4 | (3.2)
?2 ?2 Sab pb
J04 = x0 p4 ? J0a = x0 pa ? [xa , E2 ]+ ? ?2
[x4 , E2 ]+ , .
E2 + |p4 |
2 2
В этом классе при заданном s имеется только два неэквивалентных представ-
ления, так же как и для группы P (1, 3), поэтому неприводимое представление
полной группы P (1, 4) будет реализовываться в пространстве, в котором реа-
лизуется представление D+ (s) ? D? (s) группы P (1, 4). Явный вид генераторов
Pµ и Jµ? в этом пространстве совпадает с (3.2), где следует сделать замену
?0
1
?2 > ? = ,
0 ??
1
? — единичная матрица размерности (2s + 1). Схема зацеплений неприводимых
1
представлений группы P (1, 4) в этом классе выглядит так:
Tp
D+ (s)<>D? (s).

Уравнение, инвариантное относительно группы P (1, 4), имеет вид

? ?(x0 , x, x4 )
= H?(x0 , x, x4 ) = ? p2 + p2 ?(x0 , x, x4 ), (3.3)
i a 4
?t
где ?(x0 , x, x4 ) — 2(2s + 1)-компонентная величина, компоненты которой ?(x0 , x,
x4 , s3 ) нумеруются индексом s3 (?s ? s3 ? s).
184 В.И. Фущич

Уравнение (3.3) описывает симметричным образом частицу и античастицу с
фиксированным спином s, но с нефиксированной массой m = p2 .
4
2
4. Представления группы P (1, 4) для случая Pµ < 0
Рассмотрим в этом разделе представления класса III, т.е. представление группы
P (1, 4), когда Pµ = ?? 2 , ? — действительное число. Особенностью этого класса
2

является то, что, во-первых, оператор знака энергии не является инвариантом
группы P (1, 4), поскольку спектр оператора P0 лежит на всей действительной оси
?? < p0 < ?, во-вторых, малой группой является некомпактная группа O(1, 3)
— однородная группа Лоренца, все конечномерные неприводимые представления
которой неунитарны.
Дополнительным инвариантом группы P (1, 4) в этом классе является оператор
2
“знака импульса”. Действительно, оператор Pk является положительным операто-
ром и спектр его лежит на вещественной оси [? 2 , ?), поэтому корень квадратный
2
из этого оператора Pk на вещественной оси имеет точки регулярности (??, ?).
Таким образом, для представлений класса III группы P (1, 4) (или: P (1, n))
дополнительным инвариантом является оператор2

?
E3 = sign 2 2
P0 + ? 2 .
Pk = sign (4.1)

Инварианты W 2 и V в допустимой в этом классе системе отсчета (p0 = pa = 0)
имеют вид

W 2 = ?Pµ (N 2 ? L2 ) = ? 2 (N 2 ? L2 ),
2
(4.2)

P4
? ?
?Pµ LN = E3 ?LN , E3 =
2 (4.3)
V= ,
|P4 |
где

L ? (J23 , J31 , J12 ), N ? (J01 , J02 , J03 ). (4.4)

Операторы N 2 ? L2 и LN являются, как известно, инвариантами группы O(1, 3),
все представления которой полностью изучены Гельфандом к Наймарком [12]. Для
неприводимых представлений группы

LN = il0 l1 · ? N 2 ? L2 = (1 ? l0 ? l1 ) · ?

<< Предыдущая

стр. 40
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>