<< Предыдущая

стр. 41
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

2 2
(4.5)
1, 1,

где l0 — целое или полуцелое число (l0 = 0, 1/2, 1, 2, . . .), a l1 — любое, вообще
говоря, комплексное число (более подробно см. [12]).
Таким образом, в пространстве, где реализуется неприводимое представление
группы P (1, 4),
?
Pµ = ?? 2 · ? E3 = ?3 · ? ?3 = ±1,
2
1, 1,
(4.6)
W 2 = ? 2 (1 ? l0 ? l1 ) · 1, V = i?3 ?l0 l1 · ?
?
2 2
1.

Неприводимые представления группы P (1, 4) будем обозначать через D?3 (l0 , l1 ).
?
качестве дополнительного инварианта группы P (1, 4) можно выбрать также оператор E3 =


2
?Pµ , который эквивалентен (4.1) (см. формулу (4.3)).
sign
Представления полной неоднородной группы де Ситтера 185

Из (4.6) вытекает, что неприводимые представления D?3 (l0 , l1 ) группы P (1, 4),
как и группы O(1, 3), будут унитарны, если
1) l1 — чисто мнимое (основная серия),
2) l0 = 0, l1 — действительное число и |l1 | ? 1 (дополнительная серия).
Замечание. Для связи с неприводимыми представлениями класса I укажем, что
неприводимые представления группы O(1, 3), как и группы O(4), можно задавать
парой чисел (s , ? ). Действительно, если определить операторы типа “спина” и
“изоспина”
1 1
Ta = (La ? iNa ),
Sa = (La + iNa ),
2 2
то операторы (S )2 и (T )2 для неприводимых представлений кратны единичным
операторам
(S )2 = s (s + 1) · ? (T )2 = ? (? + 1) · ?
1, 1.
Числа s и ? связаны с числами Гельфанда–Наймарка l0 и l1 соотношениями
l0 = s ? ? , (4.7)
l1 = s + ? + 1.
Явный вид генераторов Pµ и Jµ? для класса III, который будет получен в
разделе 7, выглядит как

p2 ? p2 + ? 2 ,
P 4 = ? 3 E3 , E3 = P0 = p0 = i?/?t, Pa = pa ,
a
0

Jab = xa pb ? xb pa + Sab , J0a = x0 pa ? xa p0 ? iS4a ,
(4.8)
?3 Sab pb + iSa4 p0
J4a = x4 pa ? (xa E3 + E3 xa ) + ,
2 E3 + ?
?3 iS4a pa
= x4 p0 ? (x0 E3 + E3 x0 ) ? ?3
J40 ,
2 E3 + ?
где операторы Sab , iS4a реализуют неприводимое представление алгебры O(1, 3).
Представление (4.8) отличается от соответствующего представления типа Ши-
рокова для группы P (1, 4) [5] тем, что нами выделен не оператор P0 , а оператор
P4 . Такое выделение оператора P4 (или P3 в случае группы P (1, 3)) является
удобным, поскольку в классе III, для всех групп типа P (1, n) “энергия частицы”
может принимать любые значения от ?? до ?, в то время как квадрат “импульса
частицы” p2 ? ? 2 .
k
Зная явный вид генераторов Pµ и Jµ? для двух неприводимых представлений
группы P( 1, 4) (4.8), нетрудно построить с помощью операторов P (3) (или T p ), два
других неэквивалентных представления. Генераторы группы для этих представле-
ний имеют вид
Pa = Pa = ?pa ,
P 4 = P 4 = ? 3 E3 , P0 = P 0 = p 0 ,
(4.9)
J4a = ?J4a , J0a = ?J0a ,
Jab = Jab , J40 = J40 ,
где операторы Jµ? задаются формулой (4.8).
Если провести относительно операторов P , T , C точно такие рассуждения, как
и в разделе 2, то мы придем к следующему выводу: в пространстве, где реали-
зуется прямая сумма четырех неприводимых представлений группы P (1, 4)
D+ (l0 , l1 ) ? D? (l0 , l1 ) ? D+ (?l0 , l1 ) ? D? (?l0 , l1 ) (4.10)
186 В.И. Фущич

или

D+ (l0 , l1 ) ? D? (l0 , l1 ) ? D+ (l0 , ?l1 ) ? D? (l0 , ?l1 ), (4.10 )

реализуется неприводимое представление полной группы P (1, 4).
Схема зацеплений неприводимых представлений группы P (1, 4) оператора-
ми P , T , C для класса III такая:

T p ,P (3)
<>
D+ (l0 , l1 ) D+ (?l0 , l1 )
(4.11)
T? T?
C
T p ,P (3)
D? (l0 , l1 ) D? (l0 , l1 ).
<>

Операторы Pµ , Jµ? в пространстве, где реализуется приводимое представле-
ние (4.10) группы P (1, 4) имеют вид
? ? ? ?
E3 0 0 0 p0 0 0 0
?0 0? ?0 0?
?E3 0 p0 0
P4 = ? ?, P0 = ? ?,
?0 0? ?0 0?
?p0
0 E3 0
?E3 ?p0
0 0 0 0 0 0
? ?
pa 0 0 0
?0 0?
pa 0
Pa = ? ?,
?0 0?
0 pa
0 0 0 pa
(4.12)
? ? ? ?
Jab 0 0 0 J4a 0 0 0
?0 0? ?0 0?
?J4a
Jab 0 0
=? ?, =? ?,
Jab J4a
?0 0? ?0 0?
0 Jab 0 J4a
?J4a
0 0 0 Jab 0 0 0
? ? ? ?
J0a 0 0 0 J04 0 0 0
?0 0? ?0 0?
?J04
J0a 0 0
=? ?, =? ?,
J0a J04
?0 0? ?0 0?
?J0a ?J04
0 0
?J0a
0 0 0 0 0 0 J04

где операторы Jµ? задаются соотношениями (4.8) (при ?3 = +1).
Для тех представлений, для которых l0 = 0, l1 = 0 или l1 = 0, l0 = 0 (именно
к таким случаям относятся майорановские представления D(0, 1/2) и D(1/2, 0)),
неприводимое представление полной группы P (1, 4) реализуется в пространстве,
где реализуется прямая сумма двух неприводимых групп

D+ (0, l1 ) ? D? (0, l1 ) (4.13)

или

D+ (l0 , 0) ? D? (?l0 , 0). (4.14)
Представления полной неоднородной группы де Ситтера 187

Уравнения движения, инвариантные относительно группы P (1, 4), на решениях
которого реализуется представление (4.10), существенно отличается (даже по фор-
ме) от соответствующих уравнений в I и II классах. Действительно, в классе III
каноническое уравнение движения имеет необычный вид

? ?(x0 , x, x4 )
?i (4.15)
= P4 ?(x0 , x, x4 ) = ?E3 ?(x0 , x, x4 ),
?x4
где
? ?
?0
1 00
? 0 ?? 0 0?
1
?=? ?
? 0 ?,
?0 0 1
0 ??
00 1

а волновая функция ?(x0 , x, x4 ) преобразуется при преобразованиях из группы
P (1, 4) по представлению (4.10) или (4.10 ). Имея явный вид генераторов (4.12),
можно непосредственно проверить, что уравнение (4.15) инвариантно относитель-
но группы P (1, 4), поскольку выполняется условие
?
(4.16)
P4 + i ,Q ?(x0 , x, x4 ) = 0.
?x4 ?

Волновую функцию ?(x0 , x, x4 ) можно представить как “четырехбалочную” ве-
личину
? ?
?+,l1
l0
? ?
? ??,l1 ?
? = ? +0 ?,
l
(4.17)
?? ?
? ?l0 ,l1 ?
?? 0 ,l1
?l

где функция ??3 0 ,l1 (x0 , x, x4 ) принадлежит подпространству пространства {?},
±l
на котором реализуется неприводимое представление D?3 (±l0 , l1 ). Функция ??0 ,l1 3
l
?3
имеет конечное или бесконечное число компонент ?l0 ,l1 (x0 , x, x4 , l, l3 ) в зависи-
мости от того, какие числа l0 , l1 , поскольку числа l и l3 могут принимать значе-
ния [12]

?l ? l3 ? l.
l = l0 , l0 + 1, l0 + 2, . . . ,

Если потребовать, чтобы на множестве всех решений {?} уравнения (4.15)
реализовалось унитарное представление группы P (1, 4), то волновая функция ?
будет иметь бесконечное число компонент. Если уравнение (4.15) имеет конечное
число компонент, то на множестве {?} реализуется неунитарное представление
группы P (1, 4).
Уравнение движения, которое инвариантно относительно группы P (1, 4), но
только частично P -, T -, C-инвариантно, имеет вид
?
??(x0 , x, x4 ) 1 0
?i (4.18)
= ?E3 ?(x0 , x, x4 ), ?= .
??
0 1
?x4
188 В.И. Фущич

Генераторы группы P (1, 4) на решениях {?} уравнения (4.18) имеют вид (4.8),
где произведена замена ?3 > ?. На множестве {?} реализуется представление
D+ (l0 , l1 ) ? D? (l0 , l1 ), а это означает (см. схему (4.11)), что уравнение (4.18)
T ? -инвариантно, но P (3) -, T p -, C-неинвариантно. Имея схему зацеплений непри-
водимых представлений и явный вид генераторов группы P (1, 4), можно выпи-
сать и другие уравнения движения, которые будут только частично P -, T -, C-
инвариантны.
5. Неканонические уравнения движения
В предыдущих разделах уравнения движения на группе P (1, 4) были полу-
2
чены с использованием инварианта группы Pµ . Так как все инварианты P (1, 4)
“равноправны”, естественно использовать для нахождения уравнения движения,
например, инвариант W 2 . Аналогичная идея была недавно использована (неза-
висимо) несколькими авторами [4, 13, 14] для нахождения уравнений движений,
инвариантных относительно группы Пуанкаре P (1, 4).
Рассмотрим такое представление группы P (1, 4), когда “орбитальная” и “спин-
изоспиновая” части операторов Jµ? разделены, т.е. представление типа Баргмана–
Вигнера,

? ?
Pk = pk = ?i
P 0 = p0 = i , ,
?t ?xk (5.1)
Jµ? = xµ p? ? x? pµ + Sµ? , µ, ? = 0, 1, 2, 3, 4,

где операторы Sµ? являются генераторами однородной группы де Ситтера O(1, 4),
удовлетворяющие коммутационным соотношениям

[Sµ? , S?? ] = i(gµ? S?? ? gµ? S?? + g?? Sµ? ? g?? Sµ? ). (5.2)

Особенностью представления (5.1) является то, что в таком представлении фун-
даментальный тензор wµ? имеет очень простую структуру

<< Предыдущая

стр. 41
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>