<< Предыдущая

стр. 42
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

1
?µ???? P ? S ?? . (5.3)
wµ? =
2
Инвариант W 2 имеет вид

1 22
p S ? pµ p? (S µ? S ?? + S ?? S µ? ) .
W2 = (5.4)
2 µ ??
Из (5.4) ясно, что уравнение

S?? p2 ? (S µ? S ?? + S ?? S µ? ) pµ p? ? f p2 , V
2
(5.5)
?(t, x, x4 ) = 0,
µ µ


где f p2 , V — некоторая функция от инвариантов Pµ , V инвариантно относи-
2
µ
тельно группы P (1, 4) (или относительно группы P (1, n), если Sµ? — генераторы
группы O(1, n)). Поскольку представления группы O(1, 4) изучены [15], то явный
вид матриц Sµ? , по существу, известный. В зависимости от их явного вида на
решениях уравнения (5.5) могут реализоваться как представления, для которых
p2 ? 0, так и p2 < 0.
µ µ
Представления полной неоднородной группы де Ситтера 189

На решениях уравнения (5,5), вообще говоря, реализуется приводимое пред-
ставление группы P (1, 4), поскольку мы не накладываем условия
?
? ? 2 ? для класса I,
?
2
0? для класса II, (5.6)
pµ ?(t, x, x4 ) =
?
?
?? 2 ? для класса III.
Уравнение (5.5) имеет нетривиальные решения, если
det S?? p2 ? (S µ? S ?? + S ?? S µ? ) pµ p? ? f p2 , V
2
(5.7)
= 0.
µ µ

Исходя из уравнения (5.5) можно получить спектр “масс” (точнее спектр энер-
гий), который будет зависеть не только от спина, как это имеет место для уравне-
ний типа Намбу [4, 14, 16], но и от изоспина. Действительно, в системе отсчета,
где pk = 0, уравнение (5.5) для f p2 , V = 2dp4 имеет вид
µ µ

P0 S 2 + T 2 ? d · P0 ?0 = 0,
2 2
(5.8)
где d — постоянная величина. Это уравнение имеет нетривиальные решения лишь
2
тогда, когда оператор P0 имеет следующие собственные значения:
2
(5.9)
E1 = 0,
E 12 = 2d?1 {s(s + 1) + ? (? + 1)}. (5.9 )
Ясно, что возрастающая ветвь (5.9 ) (в зависимости от s и ? ) является максималь-
2
ной в рамках уравнения (5.5). Если в уравнении (5.5) положить f Pµ , V = const,
то получим убывающий спектр.
Таким образом, на основании уравнения (5.5) в рамках группы P (1, 4) отличие
от уравнений типа Гельфанда–Яглома можно получать спектр масс, возрастающий
со спином и изоспином.
Замечание. Используя псевдовектор Паули–Любанского wµ , можно прийти к
уравнению, ковариантному относительно группы Пуанкаре P (1, 3). Рассмотрим
следующую ковариантную систему уравнений:
(5.10)
wµ ?± (t, x) = spµ ?± (t, x),
где вектор Паули–Любанского wµ имеет вид
1
wµ = ?µ??? P ? S ?? , (5.11)
µ, ?, ? = 0, 1, 2, 3, s = 1/2, 1, 3/2, . . . .
2
В трехмерной записи уравнение (5.12) имеет вид
??± (t, x)
(Sp)?± (t, x) = ±sp0 ?± (t, x) = ±is (5.12)
,
?t
{p0 S ? i(p ? S)}?± (t, x) = ±sp?(t, x), (5.13)
где волновая функция ?+ (или ?? ) имеет (2s+1) компонент, a S ? (S23 , S31 , S12 ).
Так как на решениях уравнения (5.10)
2
p2 ?(t, x) = 0, (5.14)
wµ ?(t, x) = 0, µ

то уравнение (5.10) описывает частицу (уравнение для ?+ ) или античастицу
(уравнение для ?? ) с массой, равной нулю, и с произвольным спином s. Это
уравнение является ковариантным обобщением явно нековариантного, но реляти-
вистски инвариантного уравнения Вейля–Хаммера–Гуда [17, 13].
190 В.И. Фущич

6. P -, T -, C-свойства уравнений типа Дирака.
1. Простейшими уравнениями, которые явно инвариантны относительно груп-
пы P (1, 4), являются уравнения Дирака. Для наших целей удобно представить
уравнения Дирака, имея в виду дальнейшее их обобщение, в такой форме
??+ (t, x, x4 )
= H+ ?+ (t, x, x4 ), (6.1)
i
?t
??? (t, x, x4 )
= H? ?? (t, x, x4 ), (6.1 )
i
?t
H± = ?(S0k pk ± S05 ?), k = 1, 2, 3, 4,

где ?+ (и ?? ) — четырехкомпонентный спинор,
i i
(?µ ?? ? ?? ?µ ), ? = ?2i. (6.2)
Sµ? = Sµ5 = ?µ ,
4 2
Если четырехрядные матрицы ?k выбрать антиэрмитовыми, а матрицу ?0 – эрми-
товой, то
† † † †
S 0k = ?S0k , S 05 = ?S05 , (6.3)
S kl = Skl , S k5 = Sk5 ,
Из приведенной формы записи уравнений Дирака следует важное для дальней-
шего предложение: на множестве решений уравнений (6.1) (или (6.1 )) реализуется
представление группы O(1, 5).
Замечание 1. Приведенное предложение является частным случаем более общего
результата: если матрицы Lµ в уравнениях типа Баба–Гельфанда–Яглома, инва-
риантных относительно группы O(1, n), такие, что

[Lµ , L? ]? = iSµ? ,

то алгебра, состоящая из генераторов группы O(1, n) и матриц Lµ , изоморфна
алгебре O(1, n + 1) ? O(1, n). Это замечание было отмечено автором в [18], а
также в только что вышедшем препринте Мэтьюза [18], в котором рассматривается
вопрос о CP T -инвариантности уравнений движений.
Замечание 2. Любое уравнение, которое инвариантно относительно алгебры
P (1, n), инвариантно также относительно алгебры O(1, n + 1) для случая P 2 > 0
или — O(2, n) для случая P 2 < 0. Этот результат является следствием того, что
множество решений уравнений (2.15) или (4.15), как это нетрудно видеть из усло-
вий (2.16) или (4.16), инвариантно относительно обертывающей алгебры, а значит
инвариантно относительно оператора типа центра инерции [22]
1
±
Yµ = v (P ? Jµ? + Jµ? P ? ) .
2 ±P 2

±
Операторы Jµ? и Yµ , как известно [22, 23], образуют алгебру O(1, n + 1) для
случая P 2 > 0 или O(2, n) для случая P 2 < 0. Если P 2 = 0, уравнения движения
также инвариантны относительно алгебры O(1, n + 1) (или O(2, n)). Доказатель-
ство этого факта несколько сложнее, чем в предыдущих случаях, поэтому мы его
здесь не приводим.
Представления полной неоднородной группы де Ситтера 191

В отличие от уравнений Дирака на группе Пуанкаре P (1, 3) уравнения (6.1)
и (6.1 ) неэквивалентны. Этот факт станет очевидным, если заметить, что на мно-
жествах {?+ } и {?? } реализуются следующие неэквивалентные представления
группы P (1, 4):

D+ (s = 1/2, ? = 0) ? D? (s = 0, ? = 1/2) (6.4)

и

D? (s = 0, ? = 1/2) ? D? (s = 1/2, ? = 0). (6.5)

Можно непосредственно проверить, что уравнения (6.1), (6.1 ) инвариантны
только относительно вигнеровского отражения времени
?
T ? ?(t, x, x4 ) = ? ? ?(?t, x, x4 ), (6.6)

где матрица ? ? = i?1 ?3 . Уравнения (6.1), (6.1 ) инвариантны относительно опе-
раций P (3) , T p и C, поскольку не существует четырехрядных матриц r(3) , ? p и
? c , которые бы удовлетворяли соотношениям (1.12), (1.14) и (1.18) (более подробно
см. [8]). Ясно, что этот результат следует также из наших общих рассмотрений.
Действительно, из схемы (2.13) следует, что если на решениях уравнения движе-
ния реализуется представление

D+ (s, ? ) ? D? (?, s)

группы P (1, 4), то такое уравнение T ? -инвариантно, но P (3) -, T p -, C-неинвари-
антно.
Рассмотрим теперь “прямую сумму” двух уравнений (6.1) и (6.1 ), т.е. уравне-
ние
??(t, x, x4 ) ?0 ?k 0 ?0 0
? ?(t, x, x4 ), (6.7)
i = pk +
??0
0 ?0 ?k 0
?t
где восьмикомпонентный спинор имеет вид

?+ (t, x, x4 )
?? .
?? (t, x, x4 )

Непосредственной проверкой можно убедиться [8], что восьмикомпонентное урав-
нение (6.7) инвариантно относительно P (3) -, T p - и C-операций. Это также следует
из схемы (2.13), поскольку на множестве {?} реализуется неприводимое представ-
ление группы

D+ (1/2, 0) ? D? (0, 1/2) ? D+ (0, 1/2) ? D? (1/2, 0). (6.8)

Таким образом, простейшим линейным уравнением, инвариантным относи-
тельно полной неоднородной группы де Ситтера P (1, 4), является восьмиком-
понентное уравнение (6.7).
Пользуясь методом теории слияния де Бройля [20] и исходя из уравнения (6.7),
можно найти все уравнения движения, которые описывают систему с произволь-
ным спином и изоспином [21].
192 В.И. Фущич

Запишем уравнение (6.7) в следующей форме:
??(t, x, x4 )
= H?(t, x, x4 ) = ? S0k pk + S05 ? ?(t, x, x4 ), (6.9)
i
?t
где
S0k 0 S05 0
(6.10)
S0k = , S0n+1 = .
?S05
0 S0k 0
Непосредственной проверкой можно убедиться, что операторы

P0 ? H ? ? S0k pk + S05 ? , Pk = p k ,
(6.11)
1
Jkl = xk pl ? xl pk + Skl , = x0 pk ? (xk P0 + P0 xk ),
J0k
2
Skl 0
(6.12)
Skl = ,
0 Skl

заданные на множестве решений {?} уравнения (6.9), удовлетворяют коммутаци-
онным соотношениям алгебры P (1, 4) (1.1), если
(6.13)
[P0 , J0k ]? ? = ipk ?.
Если вычислить коммутатор [P0 , J0k ], то получим, что на множестве {?} имеет
место условие

pk ?(t, x, x4 ) = ? Sk0 p0 + Skl pl + Sk5 ? ?(t, x, x4 ). (6.14)

Уравнения (6.9) и (6.14) можно записать в виде одной явно ковариантной си-
стемы уравнений

pµ ?(t, x, x4 ) = ? Sµ? p? + ? S5µ ?(t, x, x4 ). (6.15)

Множество всех решений {?} уравнения (6.15) инвариантно относительно ал-
гебры P (1, 4), поскольку выполняется условие типа (2.16), т.е.

pµ ? ? Sµ? p? + ? S5µ (6.16)
,Q ?(t, x, x4 ) = 0.
?

Особенность приведенных рассуждений для уравнения (6.9) состоит в том, что
все они справедливы независимо от явного вида матриц Sµ? и Sµ5 (например,
вида (6.2)), т.е. для того чтобы операторы (6.11) реализовали на множестве ре-
шений уравнения (6.15) представление алгебры P (1, 4), необходимо лишь, чтобы
эти матрицы реализовали (неприводимое или приводимое) представление алге-
бры O(1, 5). Этот факт позволяет нам сделать следующий вывод: уравнение (6.15)
(где уже ? — некоторая величина, зависящая от выбора неприводимого пред-
ставления алгебры O(1, 5)) является явно ковариантным уравнением движения
относительно неоднородной группы де Ситтера, если матрицы Sµ? и S5µ ре-
ализуют представление алгебры O(1, 5), причем эти матрицы строятся из
матриц Sµ? и Sµ5 , которые реализуют неприводимое представление алгебры
O(1, 5), по формулам (6.10) и (6.12).
Представления полной неоднородной группы де Ситтера 193

<< Предыдущая

стр. 42
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>