<< Предыдущая

стр. 43
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Другой вывод уравнения (6.15) и его детальный теоретико-групповой анализ
будет приведен во второй части настоящей работы.
Замечание 3. В том случае, когда в системе уравнений (6.15) положить ? = 0, то
система распадается на две тождественные системы вида
pµ ?(t, x, x4 ) = ?Sµ? p? ?(t, x, x4 ). (6.17)
Уравнение (6.17) было предложено и детально исследовано Бакри [19] исходя
из совершенно других положений. Как следует из наших рассмотрений, уравне-
ние (6.17) является, по существу, обобщением уравнения Дирака (6.1) с ? = 0;
иными словами, это другой способ “извлечения квадратного корня” из уравнения
p2 ? = p2 ? p2 ? p2 ?,
µ 0 4

который для частицы со спином 1/2 приводит также к уравнению Дирака.
2. До сих пор мы рассматривали уравнения типа Дирака, на решениях которых
реализуются представления группы P (1, 4), принадлежащие классам I и II (P 2 =
? 2 > 0 и P 2 = 0). Рассмотрим теперь кратко уравнения Дирака в пятимерном
подходе, на решениях которых реализуются представления класса III (P 2 = ?? 2 <
0).
Уравнения Дирака в этом классе выглядят так:
??± (t, x, x4 )
= ?(S0k pk ± iS05 ?)?± (t, x, x4 ), (6.18)
i
?t
т.е. уравнения (6.18) получаются из уравнений (6.1) и (6.1 ) заменой ? > i?.
Непосредственной проверкой можно убедиться, что уравнения (6.18) C-инвари-
антны, но P (3) -, T p -, T ? -неинвариантны. Этот результат также следует из схемы
зацеплений (4.11), если учесть, что на множествах {?+ } и {?? } реализуются
конечномерные неунитарные представления
1 3 1 3
, l1 = , ? ? D? l0 = ? , l1 = , ?
D + l0 = (6.19)
2 2 2 2
и
1 3 1 3
D+ l0 = ? , l1 = , ? ? D? l0 = , l1 = , ? (6.20)
2 2 2 2
группы P (1, 4).
В третьем классе аналогично, как и в первом классе, простейшим P -, T -, C-
инвариантным уравнением является также восьмикомпонентное уравнение
??(t, x, x4 )
= H(?)?(t, x, x4 ), (6.21)
i
?t
где

H(?) = ? S0k pk + iS05 ? . (6.22)

Если для уравнения (6.21) буквально повторить все те рассуждения, которые были
приведены для уравнения (6.9), то мы придем к уравнению типа (6.15)

pµ ?(t, x, x4 ) = ? Sµ? p? + i? S5µ ?(t, x, x4 ). (6.23)
194 В.И. Фущич

На решениях уравнения (6.23) {?} реализуется унитарное представление груп-
пы P (1, 4) только в том случае, если на {?} реализуется унитарное, а значит
бесконечномерное, представление группы O(1, 3) (см. раздел 4). Это означает, что
уравнение (6.23) будет иметь в этом случае бесконечное число компонент.
7. Канонические преобразования уравнения типа Дирака
1. Рассмотрим в этом разделе канонические преобразования только над четыре-
хкомпонентным уравнением Дирака.
Унитарные, а значит канонические, преобразования Фолди–Воутхойзена–Тани
(FW) и Мендловича–Чини–Тушека (М) можно естественно и просто обобщить и
на уравнения Дирака, которые инвариантны относительно группы P (1, n), если
воспользоваться записью его в форме (6.1). Действительно, унитарные операторы
типа FW и М имеют соответственно вид
iSn+1k pk p
U F W = exp arctg (7.1)
,
?
p

?iSn+1k pk ?
U M = exp arctg (7.2)
,
p p

где p = p2 , Sn+1k — матрицы, которые вместе с матрицами Skl , S0µ , Sn+10
k
реализуют неприводимое представление алгебры O(1, n + 1).
Если сделать преобразование (7.1) над уравнением (6.1), то мы придем к урав-
нению типа (2.17), т.е.
??(t, x, x4 )
= HF W ?(t, x, x4 ) = ? p2 + p2 + ? 2 ?(t, x, x4 ), (7.3)
i 4
?t
где
?0
1
? = U F W ?, (7.4)
?= ,
0 ??
1
? — двухрядная единичная матрица. Генераторы группы P (1, 4) на {?} имеют
1
вид (2.6), где ? > ?.
С помощью преобразования U M можно найти представление группы P (1, 4),
которое пригодно для перехода к пределу, когда ? > 0. Для наших целей, одна-
ко, это преобразование неудобно с точки зрения обобщения его на уравнения,
описывающие частицы с произвольным спином и изоспином. Поэтому, далее, мы
рассмотрим следующие унитарные преобразования:
? p4
|p4 | = 0, (7.5)
U = exp i S54 e4 , e4 = ,
|p4 |
2

p2
S5a pa b
arctg (7.6)
U = exp i , a, b = 1, 2, 3.
|p4 |
p2b

В том частном случае, когда
i i
S54 = ? ?4 , S5a = ? ?4 ,
2 2
Представления полной неоднородной группы де Ситтера 195

преобразования (7.5) и (7.6) имеют вид

1
U = v (1 + ?4 e4 ), (7.7)
2

1
(E2 + |p4 | + ?a pa ), p2 + p2 . (7.8)
U= E2 = a 4
2E2 (E2 + |p4 |)

Если осуществить последовательно преобразование (7.7) и (7.8) над уравнением
Дирака (6.1), то мы придем к уравнению

?? (t, x, x4 )
= H ? (t, x, x4 ), (7.9)
i
?t
где

H = ?(E2 S05 + ?e4 S40 ), U ?U U . (7.10)
? = U ?,

Генераторы группы P (1, 4) на множестве {? } имеют вид

P0 = U P0 U ?1 = H ,
Jab = Jab = xa pb ? xb pa + Sab ,
Sab pb
Ja4 = xa p4 ? x4 pa + e4 ,
E2 + |p4 |
1 Sab pb (7.11)
J0a = x0 pa ? (xa H + H xa ) ? ?0 ?
E2 + |p4 |
2
?a i?b pb pa Sab pb
??e4 ?0 ?4 + 2 (E + |p |) + 2E (E + |p |) ,
2E2 2E2 2 4 2 2 4
1 i?
= x0 p4 ? (x4 H + H x4 ) +
J04 ?0 ?4 ?b pb .
2 2E2

Положив в формулах (7.11) ? = 0, приходим к представлению (3.2) для генера-
торов группы P (1, 4) в классе II.
При преобразованиях (7.5), (7.6) пространственные координаты переходят в

S5a S5b pb pa Sab pb
xa = U xa U ?1 = xa + ?2 + ,
E2 (E2 + |p4 |) E2 (E2 + |p4 |)
E2
(7.12)
S5b pb
?1
= x4 ? e4
x4 = U x4 U 2.
E2

Матрицы Дирака ?µ = U ?µ U ?1 имеют вид

e4 ?4 pa ?4 ?a ?b pb
?a = ??a ?4 e4 + ? e4 ,
E2 (E2 + |p4 |)
E2
(7.13)
|p4 | ?b pb
? ?0 = ??0 ?4 e4 .
?4 = ?4 ,
E2 E2
196 В.И. Фущич

Матрицы Sµ? , Sµ5 после преобразований (7.5) и (7.6) имеют вид
1 1
Sab = Sab ? (S5b pa ? S5a pb ) ? (Sad pd pb ? Sbd pd pa ),
E2 (E2 + |p4 |)
E2
1 e4 pa pb Sb5
Sa4 = p4 Sa5 + e4 Sba pb + ,
E2 + |p4 |
E4
pa S54 pa pb Sb4
? (7.13 )
Sa5 = e4 Sa4 + ,
E2 (E2 + |p4 |)
E2
1 S50 S0b pb pa
{|p4 |S54 ? pb Sb4 } , S0a = S0a ? pa ?
S54 = ,
E2 (E2 + |p4 |)
E2 E2
p4 e4
S05 ? S05 = ?e4 S04 .
S04 = S0b pb ,
E2 E2
Непосредственной проверкой можно убедиться, что преобразования (7.12),
(7.13) и (7.13 ) являются каноническими, т.е.
[xk , xl ]? = [xk , xl ]? = 0, [xk , pl ]? = [xk , pl ]? = i?kl ,
?µ , ?? = 2gµ? , Sµ? , S?? = [Sµ? , S?? ]? .
+ ?

Из приведенного ясно, что преобразование U = U U удобно для осуществле-
ния предельного перехода ? > 0.
2. Далее рассмотрим канонические преобразования над уравнением Дирака
(7.1) в классе III
??(t, x, x4 )
(7.14)
i = (?0 ?k pk + i?0 ?)?(t, x, x4 ).
?t
Запишем это уравнение в виде
(7.15)
p4 ?(t, x, x4 ) = P4 ?(t, x, x4 ),
где
P4 = ??4 ?0 p0 + ?4 ?a pa + i?4 ?.
Уравнение (7.15) после преобразования
1
V = v (1 + i?0 ?4 ) (7.16)
2
переходит в
(7.17)
p4 ? = P 4 ? ,
где
P4 = ??4 ?0 p0 ? i?0 ?a pa + ?0 ?, ? = V ?. (7.18)
Сделаем теперь над уравнением (7.17) преобразование
? ? i?a pa + ?4 p0 + |p4 |
V= |p4 | = p2 ? p2 + ? 2 . (7.19)
,
{2E3 (E3 + ?)}1/2 a
0
Представления полной неоднородной группы де Ситтера 197

Обратный оператор к V имеет вид
? + i?a pa ? ?4 p0 + |p4 |
(V )?1 = (7.20)
.
{2E3 (E3 + ?)}1/2
Уравнение (7.17) после преобразования (7.19) имеет вид

(7.21)
p4 ?(t, x, x4 ) = P4 ?(t, x, x4 ),

где

p2 ? p2 + ? 2 ? |p4 |, ? = V?, V ? V V . (7.22)
P4 = ?0 E3 , E3 = a
0

Генераторы группы P (1, 4) на множестве решений уравнения (7.21) {?} выгля-
дят как
?
P 0 = p0 = i , Pa = p a , P4 = ?0 E3 ,
?t
= xa pb ? xb pa + Sab , J0a = x0 pa ? xa p0 ? iS4a ,

<< Предыдущая

стр. 43
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>