<< Предыдущая стр. 49(из 122 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>
Between the operators P2 , P3 and P , T , C it is easy to establish the following
relations:
± ? ± ±
P (k) P2 = P2 P (k) , T (1) P2 = P2 T (1) ,
(4.7)
± ± ± ±
T (2) P2 = P2 T (2) , CP2 = P2 C,

± ± ± ±
P (k) P3 = P3 P (k) , T (1) P3 = P3 T (1) ,
(4.8)
± ? ± ?
T (2) P3 = P3 T (2) , CP3 = P3 C.

From (4.7), (4.8) it follows that the condition (4.5) is T (1) -, T (2) - and C-invariant,
but P (k) - and CP (k) -noninvariant, and the condition (4.6) is P (k) - and T (1) -invariant,
but T (2) - and C-noninvariant. It means that the representation (2.7) is realized on the
± ±
set P2 {?}, and the representation (2.8) is realized on the set P3 .
Thus we came to the following result:
1) Eq. (2.9) with subsidiary condition (4.5) is T (1) -, T (2) - and C-invariant, but
P (k) -, CP (k) -, P (k) T (1) C- and P (k) T (2) C-noninvariant;
2) Eq. (2.9) with subsidiary condition (4.6) is P (k) -, T (1) - and P (k) T (2) C-invariant,
but T (2) -, C-, P (k) T (1) C- and P (k) C-noninvariant.
On two-component equations for zero mass particles 219

Eq. (2.9) with subsidiary conditions (4.1), (4.5), (4.6) can be written in the form
of three equations
?
?µ pµ + ?k Pk Pk ?(t, x) = 0,
+
(4.9)
k = 1, 2, 3,
where ?k , k = 1, 2, 3 are the arbitrary constant numbers. For eqs. (4.9) the conditions
(4.1), (4.5), (4.6) are satisfied automatically.
Appendix
In this appendix we present the main formulas according to which the operators
r, r(k) , ? (k) in representations {?} and {?} were calculated (see (3.5)–(3.25)).
To make it complete we give a definition to the combined parity
CP ?(t, x) = ??? (t, ?x), CP (k) ?(t, x) = ?(k) ?? (t, ?xk ), (D.1)

P ?(t, x) = r?(t, ?x), P ? P (1) P (2) P (3) . (D.2)

From (3.1)–(3.4) and from the definitions (D.1), (D.2), (1.3.2)–(1.3.5) we obtain
such relations
rH(?p) ? H(p)r = 0,
[r, pk ]+ = 0,
(D.3)
rJkl (?x) ? Jkl (x)r = 0, rJ0k (?x) + J0k (x)r = 0,

r(k) H(?pk ) ? H(?pk )r(k) = 0,
[r(k) , pn ]± = 0,
r(p)r(?p) = 1,
(D.4)
r(k) Jnl (?xk ) ± Jnl (xk )r(k) = 0, r(k) J0n (?xk ) ± J0n (xk )r(k) = 0,

where “+” is taken if k = n or k = l;
? (1) H? ? H? (1) = 0, ? (1) p? + pk ? (1) = 0,
r(k) (pk )r(k) (?pk ) = 1, k
(D.5)
? ?
? (1) J0k (?t0 ) ? J0k (t0 )? (1) = 0,
? (1) Jkl + Jkl ? (1) = 0,

? (2) pk ? pk ? (2) = 0, ? (2) H + H? (2) = 0,
(D.6)
? (2) Jkl ? Jkl ? (2) = 0, ? (2) J0k (?t0 ) + J0k (t0 )? (2) = 0,

? (3) p? + pk ? (3) = 0, ? (3) H + H? (3) = 0,
k
(D.7)
? ?
? (3) Jkl + Jkl ? (3) = 0, ? (3) J0k + J0k ? (3) = 0,

?H? (?p) + H(p)? = 0,
[?, pn ]? = 0,
(D.8)
? ?
??? (?p) = 1,
?J0n (?x) ? J0n (x)? = 0,
?Jnl (?x) + Jnl (x)? = 0,

?(n) H? (?pk ) + H(pk )?(n) = 0,
[?(n) , pm ]± = 0,
? ?
?(n) Jml (?xn ) ± Jml (xn )?(n) = 0, ?(n) J0m (?xn ) ± J0m (xn )?(n) = 0, (D.9)
?
?(n) (pn ) ?(n) (?pn ) = 1,

where “?” is taken if k = m or k = l.
With the help of definition (1.3.2)–(1.3.5), (D.1), (D.2) we find tee connection
between the operators r(k) , ? (k) , ? defined on the sets {?} and {?}
? ?
U ?1 (. . . , ?pn ),
r(n) = U r(n)
(D.10)
(n) ? (n) ?
?1
U (. . . , ?pn );
r =U r
220 W.I. Fushchych, A.L. Grishchenko

? ? ? ?
?
U ?1 , = U ?1 ? (1) U ?;
? (1) = U ? (1) ? (1) (D.11)

? ? ? ?
U ?1 , = U ?1 ? (2)
? (2) = U ? (2) ? (2) (D.12)
U;

? ? ? ?
?1 ? ?1
U ?;
(3) (3) (3) (3)
(D.13)
? =U ? U , ? =U ?

?
{?} = U {?} U ?1 (?p), {?} = U ?1 {?} U ? (?p);
? ? ? ?
(D.14)
?
? ?
U ?1 (. . . , ?pn ),
?(n) = U ?(n)
(D.15)
(n) ? (n) ?
?1 ?
U (. . . , ?pn );
? =U ?

{r} = U {r} U ?1 (?p), {r} = U ?1 {r} U (?p),
? ? ? ?
(D.16)

where, for example, {r(n) }? {r(n) }? denotes the operator r(k) , defined on the set
{?} ({?}).
From these relations it is seen that in a general case r, r(k) , ? (k) , ?, ?(k) are the
operator functions dependent on pl and ?µ .

1. Fushchych W.I., Nucl. Phys. B, 1970, 21, 321; Preprint ИТФ-70-29, Kиев, 1970.
2. Широков Ю.М., ДАН СССР, 1954, 694, 857; 1954, 99, 737.
3. Fоldу L.L., Phys. Rev., 1956, 102, 568.
4. Швебер С., Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, ИЛ, 1963.
5. Широков Ю.М., ЖЭТФ, 1957, 33, 1196;
Lomot J.S., Moses Н.Е., J. Math. Phys., 1962, 2, 405.
6. Fronsdal С., Phys. Rev., 1959, 113, 1367.
7. Фущич В.И., Теор. и мат. физика, 1970, 4, 360.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 1, 221–230.

О дополнительной инвариантности
релятивистских уравнений движения
В.И. ФУЩИЧ
The additional (implicit) symmetry of equations invariant under the full Poincar? group
e
is studied. It is shown that relativistic equations are invariant under the homogeneous
de Sitter group O(1, 4) (or O(2, 3)) and the matrix group O(4).

Изучена дополнительная (неявная) симметрия уравнений, инвариантных относитель-
но полной группы Пуанкаре. Показано, что релятивистские уравнения инвариантны
относительно однородной группы де Ситтера O(1, 4) (или O(2, 3)) и матричной груп-
пы O(4).

Хорошо известно, что некоторые уравнения движения как в нерелятивистской, так
и в релятивистской механике обладают дополнительной симметрией (инвариантно-
стью). Так, например, уравнение Шредингера для атома водорода неявно инвари-
антно относительно четырехмерной группы вращений [1]; уравнения Максвелла,
Дирака (для нулевой массы) инвариантны относительно конформной группы [2].
В настоящей работе показано, что релятивистские уравнения, описывающие
свободное движение частиц и (античастиц) с ненулевой и нулевой массами и с
произвольным спином s, инвариантны относительно однородной группы де Ситте-
ра O(1, 4) и матричной группы O(4). Найден явный вид операторов, являющихся
базисными элементами алгебры Ли группы O(4) и коммутирующих с гамильтони-
аном Дирака.
1. Дополнительная инвариантность уравнений
для частицы с ненулевой массой
1. Для установления дополнительной симметрии уравнений, инвариантных от-
носительно группы P (1, 3), удобно исходить из уравнений в канонической форме.
Релятивистское уравнение, описывающее свободное движение частицы и антича-
стицы со спином s и массой m, в каноническом представлении имеет вид [3, 4]
??(t, x)
= H? ?(t, x), H? = ?0 E1 ,
i
?t
(1.1)
10
E1 = p2 + p2 + p2 + m2 ,
?0 = ,
0 ?1 1 2 3

где ? — волновая функция частицы, имеющая 2(2s + 1) компонент; 1 — еди-
ничная матрица размерности (2s + 1) ? (2s + 1). На множестве решений {?}
уравнения (1.1) реализуется неприводимое представление полной группы Пуанкаре
P (1, 3) (включающей пространственно-временные отражения). Операторы Казими-
ра группы P (1, 3) на множестве {?} кратны единичному оператору
1
W 2 = W? W ? = m2 s(s + 1), P 2 = P ? P ? = m2 , ????? P ? J ?? , (1.2)
W? =
2
Теоретическая и математическая физика, 1971, 7, № 1, С. 3–12.
222 В.И. Фущич

где P? , J?? — генераторы группы P (1, 3). На множестве {?} эти генераторы имеют
вид [3, 4]
?
P0 = H? = ?0 E1 , Pa = pa = ?i , a = 1, 2, 3
?xa
(1.3)
1 Sab pb
Jab = xa pb ? xb pa + Sab , = x0 pa ? xa , H? ? ?0
J0a ,
+
2 E1 + m
Sab 0
(1.4)
Sab = ,
0 Sab

где Sab — (2s + 1) ? (2s + 1)-матрицы, реализующие неприводимое представление
алгебры O(3)1 .
Инвариантность уравнения (1.1) относительно преобразований из группы
P (1, 3) была доказана в [3, 4]. Этот факт является следствием того, что для прои-
звольного ? ? {?} выполняется условие
?
? H? , E (1.5)
i ? = 0,
?t ?

где E — любой элемент из обертывающей алгебры E(1, 3) группы Пуанкаре P (1, 3)
(относительно обертывающей алгебры E(1, 3) см. [5]).
Теперь докажем следующее утверждение.
Теорема 1. Уравнение (1.1) инвариантно относительно однородной группы де
Ситтера O(1, 4).
Доказательство. Рассмотрим оператор
1?
(P Jµ? + Jµ? P ? ), (1.6)
Rµ =
2
принадлежащий обертывающей алгебре E(1, 3). Оператор Rµ удовлетворяет таким
коммутационным соотношениям (см., например, [5, 6, 7, 8]):
[Rµ , R? ]? = iP 2 Jµ? , (1.7)

[Rµ , J?? ]? = i(gµ? R? ? gµ? R? ), (1.8)

[R? , Pµ ]? = i(g?µ P 2 ? P? Pµ ), (1.9)

R 2 ? R? R ? ,
[Pµ , R2 ]? = 2iP 2 Rµ , (1.10)

[Rµ , R2 ]? = ?iP 2 (R? Jµ? + Jµ? R? ).
[Jµ? , R2 ]? = 0, (1.11)

Оператор
v
Jµ4 = Rµ / P 2 (1.12)
вместе с операторами Jµ? удовлетворяет коммутационным соотношениям алгебры
O(1, 4), поскольку
(1.13)
[Jµ4 , J?4 ]? = iJµ? , µ, ? = 0, 1, 2, 3,
1 Группы и их алгебры обозначаются одинаковыми символами.
О дополнительной инвариантности релятивистских уравнений движения 223

[Jµ? , J?? ]? = i(gµ? J?? ? gµ? J?? + g?? Jµ? ? g?? Jµ? ). (1.14)
v
Так как оператор Jµ4 принадлежит алгебре E(1, 3) ( P 2 на решениях уравне-
ния (1.1) кратен единичному оператору), то тем самым теорема доказана.
Замечание 1. Оператор Rµ впервые рассматривал Ю.М. Широков [6]. В насто-
 << Предыдущая стр. 49(из 122 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>