<< Предыдущая

стр. 5
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

саме, коли s12 ? 10m2 .
t? t+ tk tk tk
s12 s34 s45 t25 11 21 31

4, 08 3, 94 ?7, 395
?0, 2 ?2, 610 ?0, 0454
9,2 5 0,2
4, 55 8, 01 ?5, 212
4, 06 4, 06 ?8, 158
?0, 2 ?2, 730 ?0, 0140
9,4 5 0,3
4, 62 8, 04 ?5, 304
4, 10 4, 08 ?8, 695
?0, 3 ?2, 715 ?0, 030
9,6 5 0,4
4, 91 7, 74 ?5, 520
4, 09 4, 21 ?9, 828
?0, 3 ?2, 696 ?0, 052
10 5 0,5
4, 95 7, 90 ?6, 131

В таблицi наведенi значення tk , tk , tk (в одиницях мас нуклона) при s12 ? 10,
11 21 31
а всi iншi iнварiанти фiксованi у фiзичнiй областi, тобто виконуються умови
s34 > (M + µ)2 , s45 > 4µ2 , (9)
t25 < 0.
Верхнi цифри у стовпцях 7–9 таблицi вiдповiдають значенням tk , tk i tk iз
11 21 31
знаком плюс перед коренем в (7), а нижнi — iз знаком мiнус перед коренем в (7).
Таким чином, крива залежностi експериментально вимiрюваного перерiзу ? + d
p1 p3
??
> d + ? + ? вiд cos ? = (cos ? — лiнiйна функцiя t) повинна зростати, якщо
|?1 ||?3 |
pp
? > 180? (або 0? ) i iншi iнварiанти такi: s12 ? 10, s45 ? 0, 4, s34 ? 5, t25 ? ?0, 2.
Додаток
Наведемо явнi вирази D1i , D2i , D3i :
2m2 ? t 2m2 ? t25 2m2 ? µ2 M 2 ? 2m2
2m2
2m2 ? t 2m2 ? µ2 2m2 ? s45 M 2 ? 2m2
2m2
2m2 ? t25 2m2 ? µ2 2m2 ? µ2 s34 ? 2m2
2m2 (Д1)
D11 = ,
2m2 ? µ2 2m2 ? s45 2m2 ? µ2 s12 ? 2m2
2m2
M 2 ? µ2 M 2 ? 2m2 s34 ? 2m2 s12 ? 2m2 2m2
Про полюси амплiтуди народження для процесу ? + d > d + ? + ? 23

= D11 (t25 > t21 , s34 > s35 ),
D12
= D11 (s12 > t15 , s45 > t24 ),
D13
= D11 (t25 > t24 , s12 > t14 , s45 > t25 , s34 > s35 ),
D14
= D11 (t25 > s45 , s12 > t15 , s45 > t25 , s34 > t23 ),
D15
= D11 (t25 > t45 , s12 > t14 , s45 > t25 , s34 > t23 ),
D16

2m2 ? t24 2m2 ? µ2 t15 ? 2m2 M 2 ? 2m2
2m2
2m2 ? t24 2m2 ? µ2 M 2 ? 2m2 s35 ? 2m2
2m2
2m2 ? µ2 2m2 ? µ2 s34 ? 2m2 s12 ? 2m2
2m2 , (Д2)
D21 =
t15 ? 2m2 M 2 ? 2m2 s34 ? 2m2 2m2 ? µ2
2m2
M 2 ? 2m2 s35 ? 2m2 s12 ? 2m2 2m2 ? µ2 2m2

= D21 (t24 > t25 , t15 > t14 , s34 > s35 , s35 > s34 ),
D22
= D21 (s34 > t23 , s12 > t14 ),
D23
= D21 (t24 > t25 , t15 > t14 , s34 > t23 , s12 > s15 , s35 > s34 ),
D24
= D21 (t24 > s45 , t15 > s12 , s12 > t15 , s35 > t23 ),
D25
= D21 (t24 > s45 , t15 > s12 , s34 > s35 , s12 > t14 , s35 > t23 ),
D26

t23 ? 2m2 2m2 ? µ2 t15 ? 2m2 M 2 ? 2m2
2m2
t23 ? 2m2 M 2 ? 2m2 2m2 ? µ2 2m2 ? s45
2m2
2m2 ? µ2 M 2 ? 2m2 s34 ? 2m2 s12 ? 2m2
2m2 , (Д3)
D31 =
t15 ? 2m2 2m2 ? µ2 s34 ? 2m2 2m2 ? µ2
2m2
M 2 ? 2m2 2m2 ? s45 s12 ? 2m2 2m2 ? µ2 2m2

> t14 , s34 > s35 ),
D32 = D31 (t15
> s34 , t15 > s12 , s34 > s35 , s12 > t14 , s45 > t25 ),
D33 = D31 (t23
> s34 , s34 > t23 , s12 > t14 , s45 > t25 ),
D34 = D31 (t23
> s35 , t15 > t14 , s34 > t23 , s12 > t15 , s45 > t24 ),
D35 = D31 (t23
> s35 , t15 > s12 , s12 > t15 , s45 > t24 ),
D36 = D31 (t23

Стрiлки означають вiдповiдну замiну.
Зазначимо, що всi детермiнанти симетричнi i, крiм того, змiнна t входить у
детермiнанти D11 , D21 , D31 (враховуючи спiввiдношення (2)) у лiвий верхнiй кут.
Саме це i дає можливiсть досить просто знайти коренi рiвняння (6) при i = 1,
якщо використати таку детермiнантну тотожнiсть [6] (див. додаток):
2
1,2
D11 D11 = A11 A22 ? A12 (Д4)
,
11 11 11

де
D11 = a11 (2m2 ? t)2 + b11 (2m2 ? t) + c11 ,
1,2
D11 — детермiнант, який одержується з (Д1), якщо викреслити в цьому детер-
мiнантi першi два рядки i першi два стовпцi; (?1)i+j Aij — детермiнант, який
11
одержується з (Д1), якщо в ньому викреслити i-й рядок та j-й стовпчик.
24 В.I. Фущич

З (Д4) випливає, що
1,2
a11 = ?D11 , b11 = ?2A12 b2 ? 4a11 c11 = 4A11 A22 . (Д5)
(t = 2m2 ),
11 11 11 11

Аналогiчнi спiввiдношення можна записати для D21 та D31 .
Використовуючи спiввiдношення (Д4), (Д5), можна одержати такi вирази для
1,2 1,2 1,2
A11 , . . . , A22 та D11 , D21 , D31 :
11
31

A11 = s45 (s34 ? 4m2 )[4m2 (s12 ? s34 ) + s34 s45 ];
11
A22 = (s12 ? 4m2 )t25 [s12 t25 ? 4m2 (s12 ? s34 )];
11
(Д6)
A12 = 2m2 (s12 ? s34 )[2m2 (s34 ? 4m2 ) ? (s12 ? 4m2 )(2m2 ? t25 )]+
11
+ s45 [t25 (s12 ? 4m2 )(s34 ? 4m2 ) + 2m2 (s34 ? 4m2 )(s34 + t25 ? s12 )];

A11 = (s34 ? 4m2 )(s35 ? 4m2 )[2m2 (s34 ? 2s12 + 2s35 ? 4m2 )+
21
+ (s34 ? 4m2 )(s35 ? 2m2 )];
A22 = (s12 ? 4m2 )(t15 ? 4m2 )[2m2 (s12 ? 2s34 + 2t15 ? 4m2 )+
21
+ (t15 ? 2m2 )(s12 ? 2m2 )]; (Д7)
A12 = (4m2 ? t15 )[(s12 ? 2m2 )(s34 ? 4m2 )(4m2 ? s35 )+
21
+ 2m2 (s12 ? 4m2 )(s12 ? s34 ? s35 + 4m2 )] + 2m2 (s34 ? s12 )?
? [2m2 (s12 ? 4m2 ) ? (s35 ? 2m2 )(s34 ? 4m2 )];

A11 = s45 (s34 ? 4m2 )[(s45 ? 2m2 )(s34 ? 4m2 )+
31
+ 2m2 (2s12 + 2s45 ? s34 ? 4m2 )];
A22 = A22 ;
31 21
(Д8)
A31 = (4m2 ? t15 )[s45 (s34 ? 4m2 )(s12 ? 2m2 ) + 2m2 (s12 ? 4m2 )?
12

? (s12 + s45 ? s34 )] ? 2m2 (s12 ? s34 )(2m2 (s12 ? 4m2 )+
+ (s34 ? 4m2 )(s45 ? 2m2 )];
1,2 1,2 1,2
D11 = D21 = D31 = ?2m2 (s12 ? s34 )2 .

При обчисленнi tk , tk , tk ми прийняли, що
11 21 31

2m2 + µ ? 2m2 .
а
M = 2m, =


1. Landau L.D., Nucl. Phys., 1959, 13, 181.
2. Cutkasky L.F., J. Math. Phys., 1960, 1, 429.
3. Eden R.J., Proceedings of the I960 Annual International Conference on High-Energy Physics at
Rochester, P. 219.
4. Chew G.F., Low F.E., Phys. Rev., 1959, 113, 1640.
5. Cook L.F., Tarski J., J. Math. Phys., 1962, 3, 1.
6. Tarski J., J. Math Phys., 1960, 1, 149.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 1, 25–30.

Аналiтичнi властивостi амплiтуд
народження i метод Чу–Лоу
В.I. ФУЩИЧ
The author investigated the analytical properties of the contribution to the production
amplitude from the diagrams of fig. 1 for the processes ? + N > N + 2? (taking into
account all possible permutations of external lines). The conditions are presented under
which the contribution to the production amplitude from these diagrams are analytical
in the region bounded by an extrapolation ellipse. The “threshold” and “triangular”
properties of the type 7 diagram are discussed in detail.

Исследуются аналитические свойства вклада в амплитуду рождения от диаграмм
рисунка для процесса ? + N > N + 2? (с учетом всех возможных перестановок
внешних линий). Выписаны условия, при которых вклад в амплитуду рождения
от этих диаграмм аналитичен в области, ограниченной эллипсом экстраполяции.
Детально рассмотрены “пороговые” и “треугольные” особенности диаграмм типа 7.

В роботi [1] був запропонований метод, за допомогою якого можна знайти, напри-
клад, повний перерiз процесу ? + ? > ? + ? (вiдомо, що безпосередньо вимiряти
перерiз такого процесу в даний час неможливо), знаючи деяку функцiю f [t(z)] вiд
повного перерiзу непружного процесу ? + N > N + ? + ?. Цей метод базується
на екстраполяцiї функцiї f [t(z)], яка задається у фiзичнiй областi z ? [?1, 1], на
точки, якi знаходяться за межами цього вiдрiзка, до точки t(z) = µ2 , де µ — маса
?-мезона. Зрозумiло, що така процедура може бути строго обгрунтована лише в
тому випадку, якщо амплiтуда народження (або деяка її комбiнацiя) аналiтична
в областi, обмеженiй елiпсом з фокусами ±1, i якщо при цьому точка t(z) = µ2
належить цiй областi. Далi цей елiпс називатимемо елiпсом екстраполяцiї.




Український фiзичний журнал, 1964, 9, № 3, С. 277–282.
26 В.I. Фущич

Виходячи з аксiом теорiї поля, не вдається довести аналiтичнiсть амплiтуди
народження [2] у вищезгаданiй областi. Тому цiкаво дослiдити аналiтичнi власти-
востi амплiтуди народження як функцiї t для дiаграм рисунка. Дiаграми цього
типу при деяких обмеженнях на маси [3] мажорують всi iншi дiаграми, якщо
iнварiанти, вiд яких залежить внесок в амплiтуду народження, дiйснi. Природно
вважати, що цi дiаграми дадуть найближчi особливостi не тiльки при дiйсних
t, але й при комплексних. В роботi виписанi умови, при яких внесок в амплiтуду
народження вiд дiаграм рисунка аналiтичний в областi, обмеженiй елiпсом екстра-
поляцiї (враховуються всi дiаграми, якi можна одержати перестановкою зовнiшнiх
лiнiй). Детально розглядаються “пороговi” i “трикутнi” особливостi дiаграми 7.
1. На рисунку зображенi дiаграми процесу народження псевдоскалярного ?-
мезона в реакцiї N + ? > N + 2? (всi iншi дiаграми даного процесу вiдрiзняти-
муться вiд дiаграм, наведених на рисунку, тiльки перестановкою зовнiшнiх лiнiй).
Амплiтуда такого процесу залежить вiд п’яти незалежних iнварiантiв:

s12 = (p1 + p2 )2 , s34 = (p3 + p4 )2 , s45 = (p4 + p5 )2 ,
(1)
t25 = (p2 ? p5 )2 , t13 ? t = (p1 ? p3 )2 ,

де p1 , p3 — iмпульси нуклона, p2 , p4 , p5 — iмпульси мезонiв. Крiм цих iнварiантiв
зручно ввести ще п’ять iнварiантiв: s35 , t15 , t23 , t14 , t24 .
Мiж цими i незалежними iнварiантами можна встановити такi спiввiдношення:

s35 = s12 ? s34 ? s45 + m2 + 2µ2 , t15 = s34 ? s12 ? t25 + m2 + 2µ2 ,
t14 = t25 ? t ? s34 + 2m2 + µ2 , t23 = s45 ? s12 ? t + 2m2 + µ2 , (2)
t24 = t ? t25 ? s45 + 3µ2 .

Як вiдомо, умови Ландау [4] для вищенаведених дiаграм мають вигляд
5
(3)
?i qi = 0,
i=1

де qi — внутрiшнiй iмпульс, який зiставляється внутрiшнiй лiнiї дiаграми, взятий
на масовiй оболонцi qi = m2 (µ2 або 4µ2 ). Використовуючи зв’язок мiж зовнiшнiми
2

та внутрiшнiми iмпульсами дiаграми, одержимо такi рiвняння для знаходження
особливостей внеску в амплiтуду народження вiд дiаграм рисунка, а також вiд
дiаграм з переставленими зовнiшнiми лiнiями:

D1i (s12 , s34 , s45 , t25 , t) = 0, D2i (s12 , . . . , t) = 0,
(4)
D3i (s12 , . . . , t) = 0, D4i (s12 , . . . , t) = 0, D5i (s12 , . . . , t) = 0,
D6i (s12 , . . . , t) = 0, D7i (s12 , . . . , t) = 0, i = 1, . . . , 6.

Явнi вирази для D1i , . . . , D7i наведенi в додатку.
Особливостi дiаграм рисунка, згiдно з даними [5], можна роздiлити на: а) “по-

<< Предыдущая

стр. 5
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>