<< Предыдущая

стр. 50
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

ящее время такой оператор часто используется для получения спектра масс эле-
ментарных частиц в теоретико-групповом подходе [7].
Замечание 2. Уравнения вида
W 2 ?(t, x) = m2 s(s + 1)?(t, x), (1.15)
P 2 ?(t, x) = m2 ?(t, x) (1.16)
инварианты, как это следует из теоремы [8], относительно группы O(1, 4).
2. В случае, когда P 2 = ?? 2 (? — действительный параметр), группа P (1, 3)
имеет как унитарные, так и неунитарные представления [3], причем все унитарные
представления (по спиновым индексам) бесконечномерны, а значит, и уравнения
движения, на множестве решений которых реализуется представление P (1, 3), бу-
дут бесконечнокомпонентны. Как показано в [9], для представлений класса III
(P 2 < 0) каноническое уравнение “движения” имеет вид
? ?(t, x)
?i = P3 ?(t, x),
?x3

p2 ? p2 ? p2 + ? 2 , (1.17)
P3 = ?0 E3 , E3 = 0 1 2

? ?
1 0
p0 = ?i
?0 = , ,
??
0 1 ?t

здесь ?(t, x) — функция, преобразующаяся по неприводимому представлению пол-
ной группы P (1, 3), ? — единичный оператор.
1
На множестве {?} генераторы группы P (1, 3) имеют вид [9]
P 0 = p0 , Pa = p a , P3 = P3 = ?0 E3 a = 1, 2,
Jab = xa pb ? xb pa + Sab , b = 1, 2,
1 S pb + iSa3 p0
J3a = x3 pa ? [xa , P3 ]+ + ab ,
2 E3 + ?
(1.18)
J0a = x0 pa ? xa p0 ? iS3a , x0 = t,
1 iS pa
J30 = x3 p0 ? [x0 , P3 ]+ ? ?0 3a ,
2 E3 + ?
Sab 0 S3a 0
Sab = , S3a = ,
0 Sab 0 S3a
где операторы Sab , iS3a реализуют неприводимое представление алгебры O(1, 2).
Условие типа (1.5) в этом случае имеет вид
?
, E ? = 0. (1.19)
P3 + i
?x3
224 В.И. Фущич

Если теперь повторить те же рассуждения, что и при доказательстве теоремы 1,
то придем к такому утверждению.
Теорема 2. Уравнение (1.17) инвариантно относительно группы O(2, 3)
Замечание 3. Теоремы 1 и 2 очевидным образом обобщаются и на уравнения,
инвариантные относительно группы P (n, l) — вращений и трансляций в (n + l)-
мерном пространстве Минковского.
3. В этом пункте покажем, что уравнение (1.1), помимо инвариантности отно-
сительно групп P (1, 3) и O(1, 4), инвариантно относительно преобразований (по
спиновым индексам, которые не связаны с пространственно-временными преобра-
зованиями)
(1.20)
A? = ? ,
где A — произвольная матрица размерности 2(2s + 1) ? 2(2s + 1), принадлежащая
матричной алгебре O(4).
Прежде всего отметим, что, как следует из представления Фолди–Широкова
(1.3), на решениях уравнения (1.1) реализуется прямая сумма двух неприводимых
представлений алгебры O(3)
D(s) ? D(s). (1.21)
Это означает, что на множестве {?} можно реализовать прямую сумму двух не-
приводимых представлений алгебры O(4)
D(s, 0) ? D(0, s). (1.22)
На множестве {?} базисные элементы алгебры O(4) имеют вид
Sab 0 ?abc Sbc 0
(1.23)
Sab = , S4a =
??abc Sbc
0 Sab 0
(a, b, c = 1, 2, 3), причем

[Skl , Srn ]? = i(gkn Slr ? grk Sln + glr Skn ? gln Skr , k, r, n, l = 1, 2, 3, 4.(1.24)

Поскольку матрицы Sab , S4a коммутируют с гамильтонианом H? , уравнение
(1.1) инвариантно относительно группы O(4). Таким образом, приходим к следую-
щему утверждению.
Теорема 3. Уравнение (1.1) инвариантно относительно группы O(4).
Следует подчеркнуть, что из инвариантности уравнения (1.1) относительно
группы O(4) вытекает, что, помимо орбитального момента M = x ? p спино-
вого момента S, должен сохраняться еще один момент S . Компоненты векторов
S и S определяются через Skl соотношениями
1 1
(Sbc ? S4a ), (1.25)
Sa = (Sbc + S4a ), Sa =
2 2
a, b, c — цикл (1, 2, 3).
Возникновение еще одного момента S носит, по-видимому, чисто математиче-
ский характер, связанный с P -, T -, C-инвариантностью уравнения (1.1). Как будет
видно ниже, для уравнения Вейля дополнительный момент S не возникает, в то
О дополнительной инвариантности релятивистских уравнений движения 225

время как для уравнения Дирака с нулевой массой (без дополнительного условия)
он появляется. Не возникает дополнительный момент (по отношению к спину и
изоспину) и для четырехкомпонентного уравнения Дирака в пятимерном подходе,
которое, как известно [9], C-неинвариантно.
2. Дополнительная инвариантность уравнений
для частицы с нулевой массой (P 2 = 0, W 2 = 0)
Рассмотрим два типа уравнений, описывающих свободное движение частицы
с нулевой массой, с “непрерывным” и дискретным спином. В этом случае удобно
исходить из следующих уравнений:

W? W ? ?(t, x) = ?2 ?(t, x), P? P ? ?(t, x) = 0, (2.1)

где ?2 — параметр, характеризующий неприводимое представление группы P (1, 3),
который (подобно массе для представлений классов I, III, когда P 2 = 0) может
принимать как положительные, так и отрицательные значения. Если ?2 = 0, то
уравнения (2.1) описывают свободное движение частицы с нулевой массой и дис-
кретным спином (нейтрино, фотон и т.д.). Можно, конечно, исходить и из дру-
гих уравнений движения, но поскольку любые другие уравнения, на решениях
которых реализуется неприводимое представление P (1, 3), унитарно эквивален-
тны системе (2.1), то достаточно установить дополнительную инвариантность для
уравнений (2.1).
Для уравнений (2.1) имеет место теорема.
Теорема 4. Уравнения (2.1) для ?2 > 0 инвариантны относительно однородной
группы де Ситтера O(1, 4).
Доказательство. В том случае, когда P 2 = 0, оператор Rµ удовлетворяет таким
коммутационным соотношениям (см. соотношения (1.7)–(1.11)):

(2.2)
[Rµ , R? ]? = 0,

[Rµ , J?? ]? = i(gµ? R? ? gµ? R? ), (2.3)

(2.4)
[Rµ , P? ]? = iP? Pµ ,

[R2 , Pµ ]? = [R2 , J?? ]? = [R2 , R? ]? = 0. (2.5)

Из соотношений (2.2) и (2.3) видно, что операторы Rµ и J?? — базисные элементы
алгебры типа Пуанкаре R(1, 3). Оператор W 2 в этом случае совпадает с операто-
ром R2 , который, подобно оператору P 2 в алгебре P (1, 3), является оператором
Казимира алгебры R(1, 3). Вектор типа Паули–Любанского алгебры R(1, 3) имеет
вид
1
V? = ????? R? J ?? . (2.6)
2
Оператор V 2 = V? V ? — второй оператор Казимира алгебры R(1, 3). Рассматри-
вая операторы
v
R
Jµ4 = Fµ / R2 , (2.7)
226 В.И. Фущич

где
1?
(R Jµ? + Jµ? R? ), (2.8)
Fµ =
2
и буквально повторяя рассуждения, приведенные при доказательстве теоремы 1,
мы завершаем доказательство теоремы 4.
Проводя аналогичные рассуждения для случая ?2 < 0, приходим к утвержде-
нию.
Теорема 5. Уравнения (2.1) для ?2 < 0 инвариантны относительно группы
O(2, 3).
Система уравнений (2.1) в случае ?2 = 0 инвариантна относительно группы
O(2, 4) ? O(1, 4). Этот результат следует из теоремы о конформной инвариан-
тности уравнений, описывающих свободное движение частиц с нулевой массой и
дискретным спином [2].
2. Тот факт, что при P 2 = 0 и W 2 = 0 операторы Rµ , J?? удовлетворяют алгеб-
ре типа Пуанкаре R(1, 3) (см. (2.3), (2.4)), позволяет рассматривать их как опе-
раторы “четырехмерного импульса” в пространстве функций {?R (y0 , y1 , y2 , y3 )},
где
Rµ ?R (y0 , y1 , y2 , y3 ) = rµ ?R (y0 , y1 , y2 , y3 ), (2.9)
? ?
ra = ?i (2.10)
r0 = i , , a = 1, 2, 3.
?y0 ?ya
Каноническое уравнение движения (для ?2 > 0), инвариантное относительно
алгебры R(1, 3), имеет вид
??R (y0 , y)
= ?0 E R ?R (y0 , y), ER = 2 2 2
r1 + r2 + r3 + ?2 , (2.11)
i
?y0
где ?R (y0 , y) — 2(2s + 1)-компонентная волновая функция.
На множестве решений уравнения (2.11) {?R } операторы Казимира алгебры
R(1, 3) кратны единичным операторам, т.е.
V 2 ?R = V ? V? ?R = ?2 s(s + 1)?R .
R2 ?R = R? R? ?R = ?2 ?R , (2.12)
Базисные элементы алгебры R(1, 3) на {?R } имеют вид (1.3), где следует со-
вершить замену
? ? ? ?
Pµ > R µ , > > E1 > E R .
, ,
?t ?y0 ?xa ?ya
Уравнение (2.11), как и (1.1), инвариантно относительно группы де Ситтера O(1, 4)
и матричной группы O(4).
Таким образом, параметры ? и s, характеризующие неприводимые представле-
ния алгебры R(1, 3), в ?R -представлении следует интерпретировать как “массу и
спин” частицы. Это означает, что представлениям группы Пуанкаре, для которых
P 2 = 0 и W 2 = 0, можно придать вполне ясный смысл, если в качестве полного на-
бора коммутирующих операторов выбрать операторы Rµ и одну из компонент Vµ ,
например V3 . Важно отметить, что в пространстве представлений группы P (1, 3),
где операторы Rµ диагональны, операторы Pµ недиагональны.
О дополнительной инвариантности релятивистских уравнений движения 227

3. Об инвариантности уравнения Дирака
1. В этом пункте найдем явный вид операторов, являющихся базисными эле-
ментами алгебры Ли группы O(4), коммутирующих с гамильтонианом Дирака.
Уравнение Дирака
?? (t, x)
(3.1)
i = (?0 ?a pa + ?0 m)? (t, x), a = 1, 2, 3,
?t
после преобразования
1
U1 = v (1 ? ?4 ), (3.2)
2
принимает вид
??(t, x)
= H?(t, x), H = ?0 ?k pk ,
i k = 1, 2, 3, 4,
?t (3.3)
p4 ? m.
? = U1 ? ,
Для наших целей будет удобно исходить из уравнения Дирака в форме (3.3),
что позволит провести одновременно все рассмотрения для m > 0 и m < 0.
Уравнение (3.3) после преобразования
? ?0 H ?0 H
1 1
? p 2 ? E1 (3.4)
U p, s = = exp 1+ , E= k
2 4E 2 E
примет канонический вид
??(t, x)
= H? ?(t, x), H? = ?0 E, (3.5)
i
?t
где ?0 — четырехрядная матрица Дирака (см. (1.1)).
Генераторы группы P (1, 3) на множестве {?} выглядят так2 :

P0 ? H? = ?0 E, Jab = xa pb ? xb pa + Sab ,
Pa = pa ,
(3.6)
1 Sab pb + Sa4 p4
= x0 pa ? [xa , H? ]+ ? ?0
J0a ,
2 E
i i
(?k ?l ? ?l ?k ), S0k = (?0 ?k ? ?k ?0 ),
Skl =
4 4
(3.7)
i i
= ? ?k ,
S5k S05 = ?0 .
2 2
Матрицы Skl — генераторы группы O(4) и, кроме того, коммутируют с га-
мильтонианом H? в представлении ?. Это и означает, что уравнение (3.5) допол-
нительно инвариантно относительно матричной алгебры O(4). С гамильтонианом
H? , очевидно, коммутирует и матрица S05 .
Чтобы непосредственно показать, что уравнение (3.3) инвариантно относитель-
но алгебры O(4), достаточно найти операторы типа Skl , которые коммутировали бы
с оператором H. Эти операторы нетрудно найти, если воспользоваться унитарным
оператором U ?1 , связывающим представления ? и ?.
(3.6) справедливо не только для спина s = 1/2, но и для произвольного спина s.
2 Представление
228 В.И. Фущич

Можно непосредственно проверить, что операторы
1 2iS5r pr

<< Предыдущая

стр. 50
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>