<< Предыдущая

стр. 51
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Skl = U ?1 Skl U = Skl + (S5k pl ? S5l pk ) 1 ?
?
,
E E
(3.8)
iH
S05 = U ?1 S05 U =
?
2E
коммутируют с оператором H.
Таким образом, уравнение (3.3), а значит, и уравнение (3.1), как для нену-
левой, так и для нулевой массы инвариантно относительно алгебры O(4). Этот
результат является частным случаем более общего утверждения, доказанного в
п. 3, раздела 1.
Следует отметить, что поскольку с ?0 коммутируют только матрицы Skl и S05
(матрицы ?0 Srn , Srl Skn — линейные комбинации Skl и S05 ), то алгебра Ли, по-
рожденная ими, является максимальной алгеброй, относительно которой уравне-
ние (3.5) инвариантно.
Дополнительная симметрия уравнения Дирака методами, отличными от наших,
исследовалась в работах [10].
Ради полноты изложения приведем явный вид оператора координаты в пред-
ставлении ?
1 S5k pk Sab pb + Sa4 p4
Xa = U ?1 xa U = xa +
?
(3.9)
Sa5 + pa + .
E2
E E

2. Двухкомпонентное уравнение Вейля
??(t, x)
(3.10)
i = ?b pb ?(t, x),
?t
как известно, эквивалентно уравнению Дирака для нулевой массы с дополнитель-
ным условием, т.е. эквивалентно системе уравнений
??(t, x)
(3.11)
i = ?0 ?a pa ?(t, x), a = 1, 2, 3,
?t
(1 ? i?4 )?(t, x) = 0. (3.12)

Непосредственной проверкой можно убедиться, что дополнительное условие
?
(3.12) неинвариантно относительно операторов Skl , т.е.
?
[?4 , Skl ]? = 0.
Итак, система уравнений (3.11), (3.12) не обладает дополнительной симметрией
относительно группы O(4).
Если над уравнением (3.10) совершить преобразование типа Фолди–Воутхой-
зена [11], то оно примет канонический вид
??(t, x)
p2 + p2 + p2 . (3.13)
i = ?3 E?(t, x), E= 1 2 3
?t
Уравнение (3.13) уже явно инвариантно относительно преобразования
? > ?3 ?, (3.14)
О дополнительной инвариантности релятивистских уравнений движения 229

следовательно, уравнение Вейля (3.10) дополнительно инвариантно относительно
группы O(2).
3. Из предыдущего пункта ясно, что дополнительная инвариантность уравне-
ний движений зависит от компонентности волновой функции. Ниже будет уста-
новлена зависимость дополнительной симметрии уравнений от размерности про-
странства Минковского, в котором они заданы.
Рассмотрим в пятимерном пространстве Минковского два неэквивалентных
уравнения типа Дирака, инвариантных относительно неоднородной группы де Сит-
тера P (1, 4):
??± (t, x, x4 )
= (?0 ?k pk + ?0 ?)?± (t, x, x4 ),
i
?t
(3.15)
?
pk = ?i , k = 1, 2, 3, 4,
?xk
где ?± — четырехкомпонентный спинор, ? — постоянная величина. Проводя для
уравнений (3.15) такой же анализ, как и для (3.3) (с некоторыми очевидными
изменениями), можно показать, что уравнение (3.15) для функции ?= (или ?? )
дополнительно инвариантно относительно группы O(4).
Итак, четырехкомпонентное уравнение Дирака в пятимерном подходе, помимо
инвариантности относительно групп P (1, 4) и O(1, 5), инвариантно относительно
матричной группы O(4). Из этого результата, в частности, следует, что спиновый и
изоспиновый моменты в пятимерной схеме квантовой механики сохраняются. Это
и следовало ожидать, поскольку малой группой группы P (1, 4) является группа
O(4), которая локально изоморфна группе SU (2) ? SU (2).
Особенностью уравнения (3.15) для функции ?+ (или ?? ) является то, что
оно в отличие от обычного уравнения Дирака неинвариантно относительно C-
преобразований (более детально см. [9]). В пятимерном подходе простейшим спи-
норным P -, T -, C-инвариантным уравнением является восьмикомпонентное урав-
нение [9]
??(t, x, x4 ) ?0 ?k 0 ?0 0
? ?(t, x, x4 ),
i = pk +
??0
0 ?0 ?k 0
?t
(3.16)
?+
?? ,
??
являющееся объединением двух уравнений (3.15).
Для этого уравнения справедливо следующее утверждение: уравнение (3.16)
инвариантно относительно матричной алгебры O(6). Чтобы доказать это утвер-
ждение, следует представить уравнение (3.16) в форме
??(t, x, x4 )
= (?0 ?k pk + ?0 ?)?(t, x, x4 ), (3.17)
i
?t
где восьмирядные матрицы ?0 , ?k и ?5 , ?6 — базисные элементы восьмимерной
алгебры Клиффорда, а потом повторить рассуждения, приведенные в пункте 1.
Из приведенного анализа уравнений (3.3), (3.10), (3.15), (3.16) вытекает, что
дополнительная инвариантность уравнений движений, инвариантных относитель-
но неоднородных групп типа P (1, n), зависит как от размерности пространства
Минковского, так и от компонентности волновых функций.
230 В.И. Фущич

Замечание 4. Если в уравнении (3.15) положить ? = 0, оно будет описывать
частицу и античастицу с переменной массой p2 и фиксированным спином s =
4
1/2 [9]. Уравнение (3.5) (для ? = 0) инвариантно относительно группы O(2, 5),
содержащей в качестве подгруппы конформную группу. Следует отметить, что
обычное уравнение Дирака с фиксированной массой неинвариантно даже относи-
тельно конформной группы.
Автор выражает благодарность А.Л. Грищенко за проверку некоторых формул
настоящей работы.

1. Фок B., Z. Phys., 1936, 98, 145.
2. Lomont J.S., Nuovo Cim., 1957, 6, 204;
Gross L., J. Math. Phys., 1964, 5, 687.
3. Широков Ю.М., ДАН СССР, 1954, 94, 857; 1954, 99, 737; ЖЭТФ, 1957, 33, 1196.
4. Foldу L.L., Phys. Rev., 1956, 102, 568.
5. Rosen J., Roman P., J. Math. Phys., 1966, 7, 2072.
6. Широков Ю.М., ЖЭТФ, 1951, 21, 748.
7. В?hm A., Phys. Rev., 1966, 145, 1212.
o
8. Sankaranarajananan A., Nuovo Cim., 1965, 38, 1441.
9. Фущич В.И., ТМФ, 1970, 4, 360.
10. Pauli W., Nuovo Cim., 1957, 6, 204;
Sen Gupta N.D., Nuovo Cim., 1965, 36, 1181;
Ибрагимов Н.Х., ДАН СССР, 1969, 185, 1226.
11. Fronsdal C., Phys. Rev., 1959, 113, 1367.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 1, 231–233.

О P T C-неинвариантных лагранжианах
В.И. ФУЩИЧ
With the aid of the energy sign and helicity operators the Poincar?-noninvariant
e
Lagrangians and the equations of motion are constructed, which are not invariant under
the P T C-transformation.
С помощью операторов знака энергии и спиральности построены лагранжианы, ин-
вариантные относительно группы Пуанкаре, и уравнения движения, которые неин-
вариантны относительно P T C-преобразования.

В настоящей заметке приведены несколько примеров пуанкаре-инвариантных ла-
гранжианов, которые неинвариантны относительно P T C ? ?-преобразования. По-
строение примеров ?-неинвариантных лагранжианов основано на простом замеча-
нии, что при P T C-преобразовании частицы переходят в античастицы с обратной
спиральностью. Поэтому, если уравнения движения фиксируют знак спирально-
сти, то они будут P T C-инвариантны. Эта инвариантность не противоречит теоре-
ме Паули–Людерса [1], так как построенные лагранжианы нелокальны.
В релятивистской квантовой механике можно ввести два неэквивалентных опе-
ратора пространственно-временного отражения
x ? (t, x),
?1 ?(x) = ?1 ?(?x),
(1)
?
?2 ?(x) = ?2 ?(?x),
где ?1 , ?2 — некоторые матрицы, размерность которых зависит от числа компонент
волновой функции ?; ? — операция комплексного сопряжения. Так как в тео-
рии поля на вектора состояний налагается требование положительности энергии,
поэтому далее будем рассматривать только оператор ?2 .
Генераторы группы Пуанкаре P (1, 3) при пространственно-временном отраже-
нии преобразуется следующим образом:
?2 P0 ??1 = P0 , ?2 Pk ??1 = Pk ,
2 2
(2)
?2 Jkl ??1 = ?Jkl , ?2 J0k ??1 = ?J0k ,
2 2

Хорошо известно [2], что, кроме двух основных инвариантов P 2 = Pµ P µ и W 2 ,
собственная группа P (1, 3) имеет два дополнительных инварианта
P0
P 2 ? 0), (3)
?=
? (для
|P0 |
J12 P3 + J23 P1 + J31 P2
? P 2 = 0, P0 = 0). (4)
h= (для
|P0 |

Учитывая (2), легко установить такие соотношения:
?2 ???1 = ?, ?2 h??1 = ?h.
? ? (5)
?2 ? 2

Теоретическая и математическая физика, 1971, 9, № 1, С. 91–93.
232 В.И. Фущич

Рассмотрим теперь простейшие квадратичные формы, в которые входят опера-
торы (3) и (4),

?(1 ? ?)? или (6)
? ?(1 + ?)?,
?

? ?
X(1 ? h)X или (7)
X(1 + h)X,

где ? и X — волновые функции, описывающие частицы с ненулевой и нулевой
??
массой. Очевидно, что формы (6) и (7) пуанкаре-инвариантны, так как ? и h —
инварианты группы P (1, 3). Форма (6) инвариантна относительно ?2 -отражения,
а форма (7) неинвариантна относительно ?2 -отражения.
В квантовой теории поля функции ?(x) и X(x) являются ферми-операторами,
которые при отражении преобразуются по правилам (см., например, [3])

?(x) > ?2 ?(x)??1 = ?i?5 ?0 ?(?x),
?2
2

?(x) > ?2 ???1 = ?i??0 ?5 .
?2
2

Из сказанного ясно, что лагранжианы, точнее некоторые инвариантные формы из
операторов поля вида

L± = g1 ?(1 ± ?)?X(1 ± h)X + g2 ?(1 ± ?)?X(1 ± h)X + э.с.,
? ? (8)
? ?
2


L± = g3 ??µ (1 ± ?)?X?µ (1 ± h)X + э.с.,
? (9)
?
2

где ?, ? — фермионные поля (спин 1/2) с ненулевой массой, X, X — ферми-
онные поля с нулевой массой, g1 , g2 , g3 — постоянные величины, неинвариантны
относительно ?2 -преобразования.
Таким образом, используя интегральные операторы (3) и (4), можно построить
пуанкаре-инвариантные формы, которые неинвариантны относительно P T C-пре-
образования.
??
Операторы ? и h могут быть использованы для нахождения релятивистских
уравнений, неинвариантных относительно P T C-преобразования [4, 5]. Так, напри-
мер, уравнение Дирака для частицы с нулевой массой совместно с релятивистски
инвариантным дополнительным условием

?0 ?k pk
? (10)
(1 + h)X = 1 + ?5 X=0
p2l

или

?0 ?k pk
?
(1 ? h)X = 1 ? ?5 (11)
X=0
p2l

неинвариантно ни относительно ?1 -преобразования, ни относительно ?2 -преобра-
зования.
Очевидно, что в качестве двух других дополнительных условий могут быть

<< Предыдущая

стр. 51
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>