<< Предыдущая

стр. 52
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

использованы такие два уравнения:
?? (12)
(1 + h?)X = (1 + ?5 )X = 0
О P T C-неинвариантных лагранжианах 233

или
??
(1 ? h?)X = (1 ? ?5 )X = 0,

?0 ?k pk
(1 + ?)X =
? 1+ X=0
p2l

или
?0 ?k pk
(1 ? ?)X = 1? (13)
? X = 0.
p2l

Ив приведенного вытекает такой результат: для частицы (и античастицы) ну-
левой массы и произвольного спина существуют три существенно различных
(относительно P -, T -, C-преобразований) двухкомпонентных уравнения.

1. Граверт Г., Людерс Г., Рольник Г., УФН, 1960, 71, № 2, 289.
2. Широков Ю.М., ЖЭТФ, 1957, 33, 1196.
3. Roman P., Theory of Elementary Particles, Amsterdam, 1961.
4. Fushchych W.I., Nucl. Phys. B, 1970, 21, 321.
5. Fushchych W.I., Grishchenko A.L., Lettere Nuovo Cim., 1970, 4, 927.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 1, 234–247.


О релятивистских уравнениях движения
без “лишних” компонент
В.И. ФУЩИЧ, А.Л. ГРИЩЕНКО, А.Г. НИКИТИН

On the basis of a definite representation (2.1) for the generators of the proper Poincar?e
group all the operator functions H (up to unitary equivalence) which the equation (1.1)
is invariant under the total Poincar? group (including space-time reflections) are descri-
e
bed. For the case of arbitrary spin, the unitary operator connecting the representation
(2.1) with the canonical Foldy–Shirokov representation is found. The explicit forms of
the coordinate, velocity and spin operators are obtained in the representation (2.1) for
arbitrary spin s.

Исходя из определенного представления для генераторов собственной группы Пу-
анкаре (2.1) описаны все (с точностью до унитарной эквивалентности) операторные
функции H, при которых уравнение (1.1) инвариантно относительно полной группы
Пуанкаре (включающей пространственно-временные отражения). Найден унитарный
оператор для произвольного спина, связывающий представление (2.1) с канониче-
ским представлением Фолди–Широкова. Получены явные виды операторов коорди-
наты, скорости и спина в представлении (2.1) для произвольного спина s.


1. Введение
За последнее время появился ряд работ, посвященных задаче нахождения реля-
тивистски-инвариантных уравнений, описывающих свободное движение частицы
(и античастицы) с произвольным спином s, волновые функции которых имеют
только 2(2s+1) компонент. Такая задача может быть сведена к задаче об описании
всех тех операторных функций H (гамильтонианов частиц с произвольным спином
s), зависящих от операторов импульса и спина частиц, для которых уравнение
типа Шредингера

??(t, x
(1.1)
i = H?(t, x)
?t
инвариантно относительно полной группы Пуанкаре P (1, 3) (включающей про-
странственно-временные отражения). Другими словами, это означает, что опера-
тор H в (1.1) должен быть таким, чтобы на множестве решений {?(t, x)} уравне-
ния (1.1) реализовалось неприводимое представление группы P (1, 3).
Вышеприведенная задача решена в [1] и [2, 3] исходя из специфического пред-
ставления для генераторов собственной группы Пуанкаре P (1, 3). Особенностью
этого представления является то, что оно связано с каноническим представлением
Фолди–Широкова не унитарным (за исключением случая s = 1/2), а изометри-
ческим оператором. Это обстоятельство может привести к трудностям, связанным
с физической интерпретацией динамических переменных, найденных в [1–5], при
введении взаимодействия в уравнение движения вида (1.1).
Теоретическая и математическая физика, 1971, 8, № 2, С. 192–205.
О релятивистских уравнениях движения без “лишних” компонент 235

В настоящей работе исходя из определенного представления для генераторов
группы Пуанкаре P (1, 3) (отличного от представления, используемого в [1–3]), ко-
торое связано с каноническим представлением Фолди–Широкова унитарным опе-
ратором для всех спинов s, решена задача (1.1), т.е. описаны все операторы H (с
точностью до унитарной эквивалентности), для которых уравнение (1.1) инвариан-
тно относительно полной группы Пуанкаре P (1, 3).
2. Постановка задачи
Будем исходить из следующего представления для генераторов Pµ , Jµ? группы
P (1, 3):
?
P0 ? H, Pk ? pk = ?i , k = 1, 2, 3,
?xk
Jkl = xk pl ? xl pk + Skl , (2.1)
1
J0k = tpk ? [xk , H]+ , [xk , H]+ ? xk H + Hxk ,
2
где H — неизвестная операторная функция, Skl — матрицы размерности 2(2s +
1)?2(2s+1), реализующие прямую сумму двух неприводимых представлений D(s)
алгебры SO(3). Операторы Pµ , Jµ? эрмитовы относительно скалярного произведе-
ния
d3 x ?† (t, x)?2 (t, x),
(?1 , ?2 ) = 1

† — операция эрмитова сопряжения.
Представление (2.1) отличается от соответствующего представления в [1]. То-
лько в случае, когда s = 1/2, представление (2.1) совпадает с представлением [1].
Такое различие в исходных положениях приводит к результатам, совершенно отли-
чным от результатов работ [1–3].
Операторы пространственного P и временных T (1) , T (2) отражений определим
обычным образом
P ?(t, x) = r?(t, ?x), P 2 ? 1,
2
T (1) ?(t, x) = ? (1) ?? (?t, x), ? 1,
T (1)
2
T (2) ?(t, x) = ? (2) ?? (?t, x), ? 1,
T (2)
где матрицу r, не умаляя общности, можно выбрать так:
1 0 10
r=I? r = ?3 ?
или ,
0 ?1
0 1
1 — (2s + 1) ? (2s + 1)-единичная матрица. Матрицы ? (1) , ? (2) можно выбрать, на-
пример, в виде 2(2s + 1) ? 2(2s + 1)-матриц Паули ?1 и ?2 . Для нас в дальнейшем
явный вид матриц ? (1) и ? (2) несуществен, поэтому мы его не будем детализиро-
вать. Оператор зарядового сопряжения эквивалентен (?) произведению операторов
T (1) и T (2) , поэтому мы его не рассматриваем.
Операторы P , T (1) , T (2) и генераторы Pµ , Jµ? удовлетворяют соотношениям
[P, H]? = 0, [P, Pk ]+ = 0, [P, Jkl ]+ = 0, [P, J0k ]? = 0,
T (1) , H = T (1) , J0k T (1) , Pk = T (1) , Jkl
= 0, = 0, (2.2)
? ? + +
T (2) , H = T (2) , J0k T (2) , Pk = T (2) , Jkl
= 0, = 0.
? ?
+ +
236 В.И. Фущич, А.Л. Грищенко, А.Г. Никитин

На множестве решений {?(t, x)} уравнения (1.1) должно реализоваться не-
приводимое представление группы P (1, 3), которое, как известно, характеризуется
массой m и спином s. Это означает, что
H 2 = p2 + m2 . (2.3)
Условие кратности единичному оператору квадрата вектора Паули–Любанского на
{?(t, x} достигается выбором матриц Skl в виде
sn 0
k, l, n — цыкл (1,2,3),
Skl = = Sn ,
0 sn
где sn — (2s + 1) ? (2s + 1)-мерные матрицы, реализующие неприводимое пред-
ставление алгебры SO(3), удовлетворяющие соотношениям
[sk , sl ]? = i?kln sn .
Поскольку уравнение (1.1) по предположению инвариантно относительно груп-
пы P (1, 3), то оператор H должен быть таким, чтобы удовлетворялись следующие
соотношения [4, 5]:
[H, Pk ]? = [H, Jkl ]? = 0, [H, J0k ]? = ipk , [pn , J0k ]? = i?nk H,
[Jkl , J0n ]? = i?kn J0l ? i?nl J0k , (2.4)
[J0k , J0n ]? = ?iJkn , (2.5)
[P, H]? = [T (1) , H]? = 0, [T (2) , H]+ = 0. (2.6)
Таким образом, задача о нахождении операторной функции H, при которой
уравнение (1.1) будет инвариантно относительно группы P (1, 3), сводится к реше-
нию системы операторных соотношений (2.4)–(2.6) при условии (2.3).
3. Решение системы (2.4)–(2.6)
Для решения соотношений (2.4)–(2.6) используем разложение операторов,
входящих в (2.4)–(2.6), по полной системе операторов ортогонального проектиро-
вания, что позволяет свести нашу задачу к решению функциональных уравнений.
1. Рассмотрим следующую систему операторов проектирования:
s
Sp ? s3
?s ? s3 ? s, (3.1)
? s3 = ,
s3 ? s3
s3 = ?s
s3 = s3

где Sp = Sk pk /p, p = |p|. Нетрудно убедиться (более подробно об операторах
проектирования см. [2]), что совокупность операторов ?s3 , действительно явля-
ется совокупностью операторов ортогонального проектирования на подпространс-
тва, являющиеся собственными подпространствами оператора Sp с собственными
значениями s3 (спиральность частицы), т.е.
s
? s3 ? s3 = ? s3 s3 ? s3 , ?s3 = I,
s3 =?s
s
n
(s3 )n ?s3 ,
Sp = n = 0, 1, . . . , 2s.
s3 =?s
О релятивистских уравнениях движения без “лишних” компонент 237

Иногда удобно пользоваться не системой операторов ?s3 , а системой операторов
Bs3 , Cs3 , определенных ниже:

Cs3 = ?s3 ? ??s3 , 1/2 ? s3 ? s,
Bs3 = ?s3 + ??s3 ,
B0 ? ?0 , Bs3 = I.
s3 ?0

2. Условия (2.6) будут удовлетворяться, если H имеет вид
s
(3.2)
Hs = (?1 gs3 (p) + ?3 fs3 (p))?s3 ,
s3 =?s

где неизвестные функции gs3 , fs3 (зависящие только от p) должны иметь следую-
щие свойства:
если r = I, то

0 ? s3 ? s; (3.3)
g?s3 = gs3 , f?s3 = fs3 ,

если r = ?3 , то имеются два случая:

g?s3 = ?gs3 , f0 = ±E, 1/2 ? s3 ? s, (3.4)
f?s3 = fs3 , g0 = 0,

g?s3 = ?gs3 , f?s3 = ?fs3 , 1/2 ? s3 ? s. (3.5)
g0 = f0 = 0,

Следует отметить, что соотношения (2.6) будут удовлетворяться также, если в
(3.2) сделать замены

?3 > ?2 ?1 > ?2
или или ?1 ?3 .

Все операторы Hs , получающиеся при такой замене, унитарно эквивалентны (3.2),
поэтому мы их не будем рассматривать в дальнейшем.
Условие (2.3) накладывает на функции gs3 , fs3 дополнительное ограничение

?s ? s3 ? s.
fs3 + gs3 = E 2 = p2 + m2 ,
2 2
(3.6)

Непосредственной проверкой можно убедиться, что соотношения (2.4) с опера-
тором Hs в форме (3.2) удовлетворяются, если имеет место (3.6). Таким образом,
осталось рассмотреть соотношение (2.5), которое совместно с (3.3)–(3.5) и опре-
деляет окончательную структуру оператора Hs , т.е. явный вид коэффициентных
функций gs3 , fs3 в (3.2).
Соотношения (2.5) с учетом представления (2.1) можно записать в виде
1
[[xk , Hs ]? , [xl , Hs ]? ]? = ?iSn , k, l, n — цыкл (1,2,3). (3.7)
4
Умножая (3.7) на pn , суммируя по n (n = 1, 2, 3) и используя структуру оператора
Jkl , k = l (см. (2.1)), получаем

(3.8)
S[x, Hs ]? Hs = 3ipSp = 3ip s3 ?s3 .
s3 =?s
238 В.И. Фущич, А.Л. Грищенко, А.Г. Никитин

Подставляя (3.2) в (3.8), используя при этом (3.6) и коммутационные соотношения
(Д.1), получаем уравнения для коэффициентных функций
s
?s3 as3 s3 + ds3 s3 s(s + 1) ? (s3 )2 = 2p2 s3 ,
gs3 gs3 + fs3 fs3
(3.9)
s3 =?s

?s + 1 ? s3 ? s ? 1,
s
(gs3 gs + fs3 fs )ds3 s = 2p2 , (3.10)
s3 =?s

s
(gs3 g?s + fs3 f?s )ds3 ?s = ?2p2 . (3.11)
s3 =?s

Учитывая численные значения коэффициентов ds3 s3 , приведенных в дополнении, а

<< Предыдущая

стр. 52
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>