<< Предыдущая

стр. 53
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

также (3.6), (3.10), (3.11), получаем формулу
f±s f±(s?1) + g±s g±(s?1) = m2 ? p2 . (3.12)
Записывая уравнение (3.9) для s3 = s ? 1, s ? 2, s ? 3 и т.д. и используя при
этом формулы типа (3.12) для s3 = s, s ? 1, s ? 2 и т.д. по индукции получаем
следующую рекуррентную формулу:
fs3 fs3 ?1 + gs3 gs3 ?1 = m2 ? p2 , ?s + 1 ? s3 ? s. (3.13)
Из (3.13) совместно с (3.6) следует, что для каждого конкретного s3 имеют место
формулы
m2 ? p 2 m2 ? p 2
2mp 2mp
gs3 ?1 ? 2 fs3 ?1 ,
fs3 = fs3 ?1 + 2 gs3 ?1 , gs3 =
E2 E2
E E (3.14)
?s + 1 ? s3 ? s;

m2 ? p 2 m2 ? p 2
2mp 2mp
fs3 ?1 ? 2 gs3 ?1 , gs3 =
fs3 = gs3 ?1 + 2 fs3 ?1 ,
E2 E2
E E (3.15)
?s + 1 ? s3 ? s;

Итак, рекуррентные формулы (3.14), (3.15) совместно с условиями (3.3)–(3.5)
дают возможность найти все коэффициентные функции fs3 , gs3 оператора Hs
в (3.2), если известна хотя бы одна функция из набора fs3 , ?s ? s3 ? s (или
gs3 ). Следовательно, система соотношений (2.4)–(2.6) будет удовлетворяться, если
Hs имеет вид (3.2), а fs3 , gs3 удовлетворяют условиям (3.14), (3.15), (3.3)–(3.5).
Этим самым описаны все возможные операторные функции Hs , при которых
уравнение (1.1) будет инвариантно относительно полной группы Пуанкаре P (1, 3).
Замечание 1. Формулы (3.13)–(3.15) справедливы и в том случае, когда m = 0.
Замечание 2. Класс операторов Hs с функциями fs3 , gs3 , удовлетворяющими
условиям (3.5), описывает частицы с нулевой массой (m = 0) полуцелым спи-
ном s, поскольку условия (3.6) и (3.13) удовлетворяются только в этом случае.
При этом формулы (3.14) и (3.15) совпадают и определяют fs3 , gs3 с точностью до
произвольной функции.
О релятивистских уравнениях движения без “лишних” компонент 239

Замечание 3. Класс операторов Hs с функциями fs3 , gs3 , удовлетворяющими
(3.3), описывает частицы с целым спином, так как условия (3.6) и (3.13) совместны
только для целых s. При этом формулы (3.14), (3.15) определяют Hs с точностью
до произвольной функции.
Замечание 4. Класс операторов Hs с функциями fs3 , gs3 , удовлетворяющими
условиям (3.4), описывает частицы как целого, так и полуцелого спина. В этом
случае коэффициентные функции fs3 , gs3 определяются по формулам (3.14) и
(3.15) однозначно как для целых, так и полуцелых спинов, поскольку

f0 = ±E для целых (3.16)
g0 = 0, s,

g1/2 = ±p, f1/2 = ±m для полуцелых (3.17)
s.

Последнее соотношение вытекает из условий (3.6) и (3.13).
Все сказанное в замечаниях 2, 3, 4 получено на основе исследования совме-
стности условий (3.3)–(3.6) и (3.13) для s3 = 0, 1/2.
Оператор (3.2) полезно записать в виде такого рекуррентного соотношения:

(3.18)
Hs = Hs?1 = D(s),

где

D(s) = ?1 (gs ?s + g?s ??s ) + ?3 (fs ?s + f?s ??s ).

Это соотношение дает возможность по гамильтониану для спина s ? 1 найти
гамильтониан для спина s (и наоборот). Конечно, оператор Hs?1 должен быть
определен в том же самом пространстве (размерности 2(2s + 1) по спиновым инде-
ксам), что и оператор Hs , хотя на самом деле он задан в пространстве размерности
2(2s ? 1). Оператор Hs?1 в пространстве размерности 2(2s + 1) имеет тот же вид,
что и в пространстве размерности 2(2s ? 1), за исключением того, что матрицы Sk
имеют уже размерность 2(2s + 1) ? 2(2s + 1). Из (3.18) видно, что гамильтониан
для сколь угодно высокого спина полностью определяется гамильтонианом для
нижайших спинов s = 1/2, s = 1.
Формула (3.18) может оказаться полезной при введении взаимодействия в урав-
нение (1.1) для s > 1/2.
4. Примеры операторов Hs
В этом разделе по вышеизложенной методике будут найдены наиболее про-
стые операторы Hs (m = 0), коэффициентные функции которых удовлетворяют
условиям (3.4). Кроме того, для m = 0 будут найдены все возможные (в рамках
представления (2.1)) операторы Hs , удовлетворяющие соотношениям (2.4)–(2.6).
1. Рекуррентные формулы (3.14), (3.15) равноправны, поэтому их можно упо-
треблять в любом порядке, причем различный порядок чередования этих формул
дает различные виды операторов Hs . Это обстоятельство приводит к тому, что
число возможных операторов Hs с увеличением спина s возрастает.
Прежде чем переходить к конкретным вычислениям операторов Hs , отметим,
что формулы (3.14) и (3.15) справедливы как для s3 ? 0, так и для s3 < 0.
Однако для конкретных вычислений удобно использовать их только для s3 > 0.
Коэффициентные функции fs3 , gs3 , для s3 < 0 находятся тогда по (3.4).
240 В.И. Фущич, А.Л. Грищенко, А.Г. Никитин

Согласно сказанному в разделе 3 для определения функций fs3 , gs3 по фор-
мулам (3.14), (3.15) достаточно знать какую-либо одну функцию из набора fs3 ,
?s ? s3 ? s (или gs3 ).
Рассмотрим случай полуцелого спина, когда (см. (3.17))
f1/2 = m, g1/2 = p.
Для нахождения функций f1/2 , g1/2 можно, вообще говоря, воспользоваться как
формулой (3.14), так и (3.15). Воспользовавшись ради конкретности формулой
(3.14), получаем f3/2 = m, g3/2 = ?p. Согласно условию (3.4) имеем f?3/2 = m,
g?3/2 = p.
Для нахождения f5/2 , g5/2 можно также воспользоваться как формулой (3.14),
так и (3.15). Используя формулу (3.15), находим f5/2 = m, g5/2 = p. Согласно
условию (3.4) имеем f?5/2 = m, g?5/2 = ?p.
Продолжая этот процесс вычисления функций fs3 , gs3 для s3 = 7/2, s3 = 9/2,
s3 = 11/2 и т.д., т.е. поочередно используя формулы (3.14) для s3 = 7/2, (3.15)
для s3 = 9/2, (3.14) для s3 = 11/2 и т.д., получаем
s
1
(?1)s3 ? 2 Cs3 . (4.1)
Hs = ? 3 m + ? 1 p
s3 ?1/2

Если исходные функции имеют вид f1/2 = m, g1/2 = ?p (см. (3.17)), то для
вычисления f3/2 , g3/2 применим (3.15), а для f5/2 , g5/2 применим (3.14), для f7/2 ,
g7/2 снова применим (3.15) и т.д. (чередуя формулы (3.14) и (3.15) для s3 = 9/2,
s3 = 11/2 и т.д.). Эти вычисления приводят к
s
1
(?1)s3 ? 2 Cs3 .
Hs = ? 3 m ? ? 1 p (4.2)
s3 ?1/2

Если исходные функции имеют вид f1/2 = ?m, g1/2 = ±p (см. (3.17)), то
аналогичные вычисления приводят к таким операторам:
s
1
(?1)s3 ? 2 Cs3 .
Hs = ??3 m ± ?1 p (4.3)
s3 ?1/2

Подобным же способом вычисляются коэффициентные функции fs3 , gs3 для
целых спинов. Если f0 = E, g0 = 0 (см. (3.16)), то гамильтониан Hs имеет вид
N N
2p2 2mp
E? (4.4)
Hs = ?3 B2n+1 + ?1 C2n+1 ,
E E n=0
n=0

где B2n+1 , C2n+1 — операторы, определенные в разделе 3,
?
? s ? 1 , если s нечетное,
?
2 (4.5)
N=
? s ? 1, если s четное.
?
2
Если взять f0 = ?E, g0 = 0, то точно таким же способом получим оператор Hs
отличающийся от (4.4) только знаком.
О релятивистских уравнениях движения без “лишних” компонент 241

Замечание 1. Оператор Hs в (4.1) для s = 1/2 совпадает с гамильтонианом
Дирака. Оператор Hs в (4.4) для s = 1 совпадает с гамильтонианом Йордана–
Мукунды [7], полученным совершенно другим методом.
Замечание 2. Операторы Hs , имеющие вид (4.1)–(4.4), получены при определен-
ном правиле использования (чередования) формул (3.14), (3.15). Если эти формулы
использовать в ином порядке, то мы будем получать более сложные выражения
для операторов Hs , которые трудно записать в компактном виде для произвольного
спина s. Например, если пользоваться формулой (3.15) для вычислений функций
fs3 , gs3 , но не использовать при этом (3.14), то для s = 3/2 при тех же f1/2 , g1/2
(см. (3.17)) получаем

3m2 ? p2
4p2
H3/2 = ± ?3 m 1 ? ± ?1 p C1/2 + (4.6)
B3/2 C3/2 .
E2 E2

Если s = 2 и f0 = E, то вычисляя f2 , g2 по формулам (3.15), получаем

m2 ? p 2
2p2 8m2 p2 2mp
H2 = ? 3 E ? B1 ? (4.7)
B2 + ?1 C1 + 2 C2 .
E3 E2
E E

Если f0 = ?E, то мы получим H2 , отличающийся от (4.7) только общим
знаком.
Итак, операторы Hs , задаваемые формулами (4.1)–(4.7), удовлетворяют соо-
тношениями (2.4)–(2.6), а уравнения (1.1) с такими Hs описывают частицу (и
античастицу) с целым и полуцелым спином.
Замечание 3. Из приведенного следует, что явный вид операторов Hs для данного
спина s зависит не только от заданных начальных функций (типа f1/2 , g1/2 , f0 ,
g0 ), но и от порядка использования формул (3.14), (3.15). Число возможных (допу-
скаемых соотношениями (2.4)–(2.6)) операторов Hs увеличивается с возрастанием
спина частицы, что связано с увеличением возможностей использования формул
(3.14), (3.15) в различном порядке.
Замечание 4. Несмотря на то, что явные виды гамильтонианов для одного и того
же спина s имеют различную структуру, все они унитарно эквивалентны в случае
свободной теории. При этом следует подчеркнуть, что с физической точки зрения
они неэквивалентны в том смысле, что введение взаимодействия, например, по
правилу pk > pk ? eAk приведет к различным результатам. Вопрос о введении
взаимодействия в уравнение (1.1) с найденными операторами Hs будет рассмотрен
в следующей работе.
2. В том случае, когда масса частицы равна нулю (m = 0), формулы (3.14),
(3.15) совпадают и принимают вид

fs3 = ?fs3 ?1 , gs3 = ?gs3 ?1 , ?s + 1 ? s3 ? s. (4.8)

Если воспользоваться формулами (3.16), (4.8) для m = 0, то для целых спинов
получаем
s s
Hs = ±?3 p (?1) ?s3 = ±?3 p
s3
(?1)s3 Bs3 . (4.9)
s3 ?0
s3 =?s
242 В.И. Фущич, А.Л. Грищенко, А.Г. Никитин

Для полуцелых спинов условия (3.17) для m = 0 и (4.8) приводят к следующе-
му результату:
s s
s3 ? 1 1
(?1)s3 ? 2 Cs3 .
Hs = ±?1 p ?s3 = ±?1 p (4.10)
(?1) 2

s3 ? 1
s3 =?s
2


Оператор (4.10) для m = 1/2 совпадает с гамильтонианом Чини–Тушека в ультра-
релятивистском пределе.
Формулы (4.8) справедливы и в том случае, когда коэффициентные функции
fs3 , gs3 удовлетворяют условиям (3.3), (3.5) (для m = 0).
Если воспользоваться условием (3.3) и замечанием 2 раздела 3, то из (4.8)
получаем
s
(?1)s3 (?3 f0 + ?1 g0 )Bs3 , g0 + f0 = p2 .
2 2
(4.11)
Hs =
s3 ?0

Если воспользоваться условием (3.5) и замеченном 3 раздела 3, то из (4.8)
получаем
s
1
(?1)s3 ? 2 (?3 f1/2 + ?1 g1/2 )Cs3 , f1/2 + g1/2 = p2 .
2 2
(4.12)
Hs =
s3 ? 1
2


Отметим, что операторы Hs в (4.11), (4.12) определены с точностью до прои-
звольной функции f0 (или g0 ) для целого спина s и f1/2 (или g1/2 для полуцело-
го s, поскольку требуется лишь выполнение условия

fs3 + gs3 = p2 ,
2 2
s3 = 0, 1/2.

Волновая функция в уравнении (1.1) имеет 2(2s + 1) компонент. Известно, что
волновая функция частицы (античастицы) с нулевой массой должна иметь только
две компоненты, соответствующих значению проекции спина s3 = s и s3 = ?s.
Это означает, что на волновую функцию, удовлетворяющую уравнению (1.1) с опе-
раторами Hs вида (4.9)–(4.12), следует наложить дополнительные релятивистски-
инвариантные условия, выделяющие только две физически реализуемые компо-
ненты. Эти условия имеют вид:
1 Hs
I? Bs ± 0 ? s3 ? s ? 1, (4.13)
Cs ?(t, x) = 0, Bs3 ?(t, x) = 0,
2 p
или

<< Предыдущая

стр. 53
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>