<< Предыдущая

стр. 54
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

1
I? (Bs ± Cs ) ?(t, x) = 0, 0 ? s3 ? s ? 1, (4.14)
Bs3 ?(t, x) = 0,
2
или
1 Hs
I? I± 0 ? s3 ? s ? 1. (4.15)
Bs ?(t, x) = 0, Bs3 ?(t, x) = 0,
2 p
Учитывая (3.1), а также коммутационные соотношения (2.2), приходим к сле-
дующему результату:
О релятивистских уравнениях движения без “лишних” компонент 243

1) условия (4.13) T (1) -, CP (k) -инвариантны (k = 1, 2, 3), но C-, T (2) -неинвари-
антны;
2) условия (4.14) C-, T (1) -, T (2) -инвариантны, но P (k) -неинвариантны;
3) условия (4.15) T (1) -, P (k) -инвариантны, но C-, T (2) -неинвариантны.
Таким образом, уравнение (1.1) с оператором Hs вида (4.9)–(4.12) и одним
из дополнительных условий (4.13)–(4.15) инвариантно относительно собственной
группы Пуанкаре P (1, 3), но только частично инвариантно относительно P (k) -,
T (i) -, C-преобразований. В формулах (4.13)–(4,15) нужно брать один знак + или ?.
Для спина s = 1/2 уравнение (1.1) с дополнительным условием (4.13) эквива-
лентно хорошо известному двухкомпонентному уравнению Вейля для нейтрино.
Для спина s = 1 уравнение (1.1) с дополнительным условием (4.15) эквивален-
тно уравнениям Максвелла в вакууме.
5. Переход к каноническому представлению
Генераторы Pµ , Jµ? группы P (1, 3) в каноническом представлении Фолди–
Широкова имеют вид
P0 = H c = ?3 E,
c c
P k = pk , k = 1, 2, 3,
(5.1)
1 Skr pr
Jkl = xk pl ? xl pk + Skl , J0k = tpk ? [xk , H c ]+ ? ?3
c c
.
2 E+m
В этом представлении уравнение типа (1.1), инвариантное относительно полной
группы Пуанкаре P (1, 3), имеет вид
??(t, x)
= H c ?(t, x), (5.2)
i
?t
где ?(t, x) — 2(2s + 1)-компонентная волновая функция. Поскольку на множе-
стве решений {?(t, x)} уравнения (5.2) реализуется неприводимое представление
группы P (1, 3), то очевидно, что между волновыми функциями ? и ? должна
существовать связь
?(t, x) = U ?(t, x),
где U — некоторый унитарный оператор, который будет определен ниже.
Из сказанного ясно, что задача, которая была нами решена в разделе 3, экви-
валентна задаче нахождения (описания) всех тех унитарных операторов U , для
которых алгебра (5.1) переходит в алгебру (2.1). Для спина s = 1/2, 1 такие опе-
раторы были найдены в [6, 7].
В этом разделе описан класс операторов U для произвольного спина и найдены
?
выражения для операторов координаты Xk , k = 1, 2, 3, скорости Xk , k = 1, 2, 3,
спина ?kl и знака энергии ?.
?
1. Оператор U будем искать в виде
s
(5.3)
Us = (as3 + i?2 bs3 )?s3 ,
s3 =?s

где as3 (p), bs3 (p) — действительные функции от p. Из условия унитарности

Us Us = I следует, что
?s ? s3 ? s.
a23 + b23 = 1, (5.4)
s s
244 В.И. Фущич, А.Л. Грищенко, А.Г. Никитин

Генераторы (5.1) связаны с генераторами (2.1) соотношениями
†c †
c c
Hs = Us H c Us , (5.5)
Jkl = Us Jkl Us = Jkl , Pk = P k ,
†c †
c
или (5.6)
J0k = Us J0k Us J0k = Us J0k Us .

Из (5.5), используя явные выражения для H c и Hs (см. (3.2), (5.1)), получаем
fs3 = E a23 ? b23 , (5.7)
s s

?s ? s3 ? s. (5.8)
gs3 = 2Eas3 bs3 ,
c
Используя явный вид операторов J0k , J0k (см. (2.1), (5.1)) и соотношение (5.6),
получаем
Skr pr

[Us , xk ]? Us , H c (5.9)
= 2?3 .
+ E+m
С другой стороны, учитывая (5.3), (5.4), находим
s

[Us , xk ]? Us , H c + (5.10)
= 2?3 E as3 as3 + bs3 bs3 [?s3 , xk ]? ?s3 .
s3 ,s3 =?s

Из (5.9) и (5.10) с учетом формул (Д.1), (Д.2) следуют такие соотношения:
s
E?m
(5.11)
(as3 as + bs3 bs )ds3 s = ,
E
s3 =?s

s
m?E
(5.12)
(as3 a?s + bs3 b?s )ds3 ?s = ,
E
s3 =?s

s
m?E
?s + 1 ? s3 ? s. (5.13)
(as3 as3 + bs3 bs3 )ds3 s3 = ,
E
s3 =?s

Используя численные значения коэффициентов ds3 s3 (см. (Д.3)), приводим соотно-
шения (5.11), (5.12) к виду
(5.14)
a±s a±(s?1) + b±s b±(s?1) = m/E.
Записывая (5.13) для s3 = s ? 1, s ? 2, s ? 3, и т.д. и используя при этом формулы
типа (5.14) для s3 = s, s ? 1, s ? 2, и т.д., мы по индукции доказываем следующие
соотношения (см. доказательство формулы (3.13)):
?s + 1 ? s3 ? s. (5.15)
as3 as3 ?1 + bs3 bs3 ?1 = m/E,
Из совместности соотношений (5.4) и (5.15) следуют такие рекуррентные формулы:
m p m p
bs3 ?1 ? as3 ?1 , ?s + 1 ? s3 ? s; (5.16)
as3 = as3 ?1 + bs3 ?1 , bs3 =
E E E E
m p m p
as3 ?1 ? bs3 ?1 , ?s + 1 ? s3 ? s. (5.17)
as3 = bs3 = bs3 ?1 + as3 ?1 ,
E E E E
О релятивистских уравнениях движения без “лишних” компонент 245

Формулы (5.4), (5.16), (5.17) определяют все возможные функции as3 , bs3 , если
известна хотя бы одна функция из набора as3 , ?s ? s3 ? s (или bs3 ). Выбирать
эту функцию as3 (или bs3 ), например, для s3 = 0, 1/2, необходимо так, чтобы
выполнялись соотношения (3.3)–(3.6), (5.7), (5.8), (5.16), (5.17).
Таким образом, формулы (5.4), (5.7), (5.8), (5.16), (5.17) совместно с условиями
(3.3)–(3.5), взятыми для какого-либо одного |s3 |, дают решение нашей задачи,
т.е. с помощью этих формул описаны все унитарные операторы Us (см. (5.3)),
переводящие алгебру (5.1) в (2.1).
Выбирая, например, исходные функции as3 , bs3 в виде

E+m p
b1/2 = ?b?1/2 =
a1/2 = a?1/2 = ,
2E(E + m) 2E(E + m)

для полуцелых s, и a0 = 1, b0 = 0 для целых s, по формулам (5.16), (5.17) находим
такие операторы Us :

E + ? 3 Hs
для полуцелых s, (5.18)
Us =
2E(E + m)

N N
m?E p
для целых s, (5.19)
Us = 1 + B2n+1 + i?2 C2n+1
E E
n=0 n=0


где число N определено в (4.5).
Оператор (5.18) переводит H c в оператор (4.1). Оператор (5.19) переводит H c
в оператор (4.4). Для s = 1/2 оператор (5.18) совпадает с оператором Фолди–
Воутхойзена.
Ради полноты изложения отметим, что если задан оператор Hs в представле-
нии (2.1) (а значит, заданы все fs3 , gs3 ), то коэффициентные функции as3 , bs3
определяются через fs3 , gs3 с помощью формул (5.8) и (5.20), т.е.

E ? fs3
E + fs3
as3 = ± ?s ? s3 ? s. (5.20)
, bs3 = ,
2E 2E

Формулы (5.20) являются решениями системы (5.4) и (5.7).
Для того чтобы унитарный оператор Us (см. (5.3) ) с коэффициентными фун-
кциями (5.20), удовлетворяющими (5.7), (5.8), переводил алгебру (2.1) в (5.1),
необходимо еще, чтобы as3 , bs3 удовлетворяли (5.15) (а следовательно, и (5.16),
(5.17)).
?
2. Операторы координаты Xk , скорости Xk , спина ?kl , знака энергии ? в пред-
?
ставлении (2.1) имеют следующий вид:
?
? Sp s?1 s
Skr pr kr r
+ ?2 ?i 2 as3 bs3 ? as3 bs3 as3 s3 +
Xk = xk + ? s3
?
E(E + m) p s3 =?s
s3 =?s+1
246 В.И. Фущич, А.Л. Грищенко, А.Г. Никитин
?
?
s
Snl pk
? 2 s3 as3 bs3 ? as3 bs3 ds3 s3 ?s3 ?
+
?
p p
s3 ,s3 =?s
s
pk ?bs3 ?as3
??2 ? k, n, l — цыкл (1,2,3);
as3 bs ? s3 ,
?p 3
p ?p
s3 =?s
s s
ppl Sp ? Skn p2 Slr pr
ds3 s3 as3 bs3 ? bs3 as3 ?
?kn = Skn + + ?2 ? s3
E(E + m) p s3 =?s
s3 =?s

s?1 s
pl
?i?2 s ? Skn as3 s3 as3 bs3 ? as3 bs3 ,
? s3
p3 s3 =?s
s3 =?s+1

p k Hs Hs
?
Xk = , ?=
? ,
E2 E

где as3 s3 , ds3 s3 даны в (Д.3), а as3 , bs3 определяются вышеописанным методом.
Для операторов Us в (5.18), (5.19) операторы Xk , ?kn имеют вид

Skr pr E ? impk
Skr pr
? (?3 Hs ? m),
Xk = xk +
p2 E 2
E(E + m)
m ppl Sp 1 pl
Skn ? Sp (?3 Hs ? m),
?kn = Skn + +
E E(E + m) E p

k, n, l — цикл (1, 2, 3), s — полуцелое;
s?1
Skr pr Skr pr Snl
(?1)s3 Cs3 ? ?2 B0 ?
Xk = xk + + i?2
E(E + m) pE E
s3 >0
N
mpk Skr pr
??2 2 C2n+1 + i?2 (?1)s Bs ,
Ep Ep
n=0

<< Предыдущая

стр. 54
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>