<< Предыдущая

стр. 55
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

m pl pSp Slr pr Slr pr
? ?2 Bs ?
B0 + ?2 (?1)s
?kn = Skn +
E E(E + m) E E
s?1
p pl
?i?2 Skn ? Sp (?1)s3 Cs3 ,
E p s3 >0

k, n, l — цикл (1, 2, 3), s — целое.
?
Операторы Xk , Xk , ?kn , ? для спина s = 1/2 совпадают с операторами, полу-
?
ченными в [6].
Дополнение
В дополнении мы приводим без доказательства все те формулы, которые были
использованы нами для получения результатов, приведенных в основном тексте.
s?1 s
Skr pr Snl pk
? 2 s3 ds3 s3 ?s3 , (Д.1)
[xk , ?s3 ]? = as3 s3 ?s3 + i
p2 p p
s3 =?s+1 s3 =?s
О релятивистских уравнениях движения без “лишних” компонент 247

s s?1
iSlr pr pl
ds3 s3 ? s3 ? Skn ? (Д.2)
[Skn , ?s3 ]? = s as3 s3 ?s3 ,
p3
p
s3 =?s s3 =?s+1


где as3 s3 = 0, если s3 = s3 , s3 ? 1, s3 + 1,

as3 s3 = ?1, ?s + 1 ? s3 ? s ? 1,
as3 ?1s3 = as3 +1s3 = 1/2,
s3 = s3 ? 1, s3 + 1, ?s + 1 ? s3 ? s ? 1,
если (Д.3)
ds3 s3 = 0,
ds3 +1s3 = ?ds3 ?1s3 = 1/2, ?ds?1s = ?d?s?s = d?s+1?s = dss = 1.

Skr pr Snl pk
±i ? i 2 s3 ?s3 = 0, s3 = ±s,
k, n, l — цикл(1,2,3), (Д.4)
2
p p p

[Snl , ?s3 ]? = ?[xk pl ? xl pk , ?s3 ]? , [Skr pr , ?s3 ]? = ?p2 [xk , ?s3 ]? ,
s
Skr pr Sk = ?Sk Skr pr = ipSp = ip s3 ?s3 ,
s3 =?s

s(s + 1) ? s2 ?s3 , Sk Sk = S s = s(s + 1).
Skr pr Skr pr = p2 3
s3 =?s



1. Weaver D.L., Наmmеr C.L., Good R.H., Phys. Rev. B, 1964, 135, 241.
2. Mathews P.M., Phys. Rev., 1966, 143, 987.
3. Williams S.A., Draayer J.P., Weber T.A., Phys. Rev., 1966, 152, 1207.
4. Широков Ю.М., ДАН СССР, 1954, 94, 857; 1955, 99, 737.
5. Foldу L.L., Phys. Rev., 1956, 102, 568.
6. Foldу L.L., Wouthuysen S.A., Phys. Rev., 1950, 78, 29.
7. Jоrdan T.F., Mukunda N., Phys., Rev., 1963, 132, 1842.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 1, 248–262.

Об уравнениях движения, инвариантных
относительно группы P (1, n). II
Л.П. СОКУР, В.И. ФУЩИЧ
Equations are deduced which generalize Dirac equation and are invariant relative tо
the rotations and translations in the (n + 1)-dimensional Minkowski space. The group-
theoretical analysis of the equations obtained is carried out. P -, T - and C-properties of
the equations are studied.

Выведены уравнения, являющиеся обобщением уравнения Дирака, которые инвари-
антны относительно вращений и трансляций в (n + 1)-мерном пространстве Мин-
ковского. Проведен теоретико-групповой анализ выведенных уравнений. Изучены
P -, T -, C-свойства этих уравнений.

1. Введение
Настоящая работа является продолжением и обобщением некоторых результа-
тов, приведенных в [1] для групп P (1, 3) и P (1, 4).
В [1] было отмечено, что уравнение Дирака с ненулевой массой (? = m)
(?µ pµ ? ?)?(t, x) = 0 (µ = 0, 1, 2, 3),
(1.1)
? ?
pk = ?i
p0 = i , (k = 1, 2, 3)
?t ?xk
эквивалентно четырем уравнениям вида1
1
(Sµ? p? + ?Sµn+1 )?(t, x),
pµ ?(t, x) =
id (1.2)
x = (x1 , x2 , x3 ), n = 3, d = 1/2,
где матрицы
i i i
(?µ ?? ? ?? ?µ ), S4µ = ? ?µ (1.3)
Sµ? = Sµ4 = ?µ ,
4 2 2
удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры Ли группы SO(1, 4)
[SAB , SCD ]? = i(gAD SBC + gBC SAD ? gAC SBD ? gBD SAC )
(1.4)
(A, B, . . . = 0, 1, . . . , 4).
Уравнение Дирака в форме (1.2) имеет по сравнению с формой (1.1) ряд преиму-
ществ. Во-первых, все матрицы Sµ? , Sµ4 , входящие в это уравнение, удовлетворя-
ют не алгебре Клиффорда, как это имеет место в случае уравнения (1.1), а алгебре
Ли группы SO(1, 4). Это обстоятельство позволит показать, что уравнение (1.2) с
матрицами Sµ? , Sµ4 (соответствующей размерности) из алгебры SO(1, 4) при не-
котором выборе значения параметра d описывает свободное движение частицы и
Теоретическая и математическая физика, 1971, 6, № 3, С. 348–363.
1 Всеобозначения, приведенные без объяснений, те же, что и в [1].
Об уравнениях движения, инвариантных относительно группы P (1, n). II 249

античастицы с произвольным спином s. Во-вторых, уравнение (1.2) сравнительно
легко обобщается на группы более широкие, чем группа P (1, 3). Действительно,
если в уравнении (1.2) индекс µ пробегает значения 0, 1 . . . , n, x = (x1 , x2 , . . . , xn ),
а матрицы принадлежат алгебре SO(1, n + 1) (или SO(2, n)), то такое уравнение,
как будет показано ниже, инвариантно относительно группы P (1, n) — группы
вращений и трансляций в (1 + n)-мерном пространстве Минковского.
Все неприводимые представления группы P (1, n) (обобщенная группа Пуанка-
ре) могут быть построены и изучены методом Вигнера (см., например, [2, 1]).
Уравнение вида (1.2) в том случае, когда ? = 0, рассматривалось в [3] для
группы P (1, 3) и в [4] для группы P (1, 4).
В данной работе будут выведены уравнения, инвариантные относительно
группы P (1, n). Проведен их теоретико-групповой анализ и изучены свойства
этих уравнений относительно пространственно-временных отражений. Получен-
ные уравнения являются обобщением уравнений (1.2).
2. Вывод уравнений
Пусть на некотором множестве M ? {?(t, x)}, состоящем из функций ?(t, x),
которое всюду плотно в каком-то гильбертовом пространстве, задано следующее
представление алгебры Ли групп P (1, n):
?
t ? x0 ,
P µ = pµ = i , µ = 0, 1, . . . , n, x = (x1 , x2 , . . . , xn ),
?xµ (2.1)
Jµ? = xµ p? ? x? pµ + Sµ? ,
где Sµ? — базисные элементы некоторого приводимого представления2 алгебры
Ли группы SO(1, n). Поскольку на M реализуется не только представление ал-
гебры P (1, n), но и представление матричной алгебры SO(1, n), то в M можно
так выбрать систему базисных векторов {?? (t, x)}, что ?-мультииндексы, нуме-
рующие компоненты волновой функции ?(t, x), являются схемами Гельфанда–
Цетлина (Г–Ц) [5]. Линейную оболочку, порожденную базисными векторами
?? (t, x), обозначим через L{?? (t, x)}.
Рассмотрим систему уравнений
pµ ?(t, x) = (Lµ? p? + ?Lµ )?(t, x), Pµ ? Lµ? p? + ?Lµ , (2.2)
где Lµ? = ?L?µ , Lµ — некоторые матрицы, размерность которых определяет ком-
понентность волновой функции ?(t, x) ? L{?? (t, x)}. Будем требовать, чтобы
всякое решение уравнения (2.2) было решением (1+n)-мерного уравнения Клейна–
Гордона
g µ? pµ p? ?(t, x) = ? 2 ?(t, x). (2.3)
Это требование приводит к уравнению
Lµ pµ ?(t, x) = ??(t, x). (2.4)
Система уравнений (2.2), (2.4) будет инвариантной относительно преобразова-
ний из группы P (1, n), если выполняются следующие коммутационные соотноше-
ния:
[Pµ , J?? ]? = i(gµ? p? ? gµ? p? ), (2.5а)
2 Мы уточним это представление ниже после вывода уравнений движения.
250 Л.П. Сокур, В.И. Фущич

[Lµ , J?? ]? = i(gµ? L? ? gµ? L? ), (2.5б)

(2.5в)
[Pµ , P? ]? = 0.

Из (2.5a), (2.5б) следует, что матрицы Lµ? должны удовлетворять соотношени-
ям

[S?? , Lµ? ]? = i(g?? L?µ + g?µ L?? ? g?µ L?? ? g?? L?µ ). (2.6)

Поскольку матрицы Lµ? антисимметричны и удовлетворяют (2.6), то на ли-
нейной оболочке L{Lµ? }, порождаемой матрицами Lµ? , реализуется представле-
ние группы SO(1, n), которое изоморфно присоединенному представлению. Отсю-
да можно заключить, что с точностью до постоянного множителя матрицы Lµ?
совпадают с матрицами Sµ? , т.е.

1
(2.7)
Lµ? = Sµ? .
id
Условие (2.5б) будет выполняться, если матрицы Lµ удовлетворяют соотноше-
ниям
1
(2.8)
[Lµ , L? ]? = Lµ? .
d
Учитывая (2.6), (2.7), (2.8) и обозначая матрицу
1
Lµ ? (2.9)
Sµn+1 ,
d
приходим к выводу, что матрицы SAB = (Sµ? , Sµn+1 ) (A, B = 0, 1, . . . , n+1) удовле-
творяют коммутационным соотношениям алгебры Ли SO(2, n), т.е. соотношениям
(1.4) с метрическим тензором

g00 = ?g11 = · · · = ?gnn = gn+1 n+1 = 1.

Итак, уравнения (2.2), (2.4) принимают вид
1
(Sµ? p? + i?Sµ n+1 )?(t, x),
pµ ?(t, x) =
id
(2.10)
1
??(t, x) = Sµn+1 pµ ?(t, x),
d
где ?(t, x) ? L{?? (t, x)} — пространство, в котором реализуется конечномерное
(неунитарное) представление группы SO(2, n), точнее, в L{?? (t, x)} должна реа-
лизоваться такая прямая сумма матричных представлений группы SO(1, n), чтобы
на ней могло быть реализовано некоторое приводимое или неприводимое представ-
ление группы SO(2, n).
Систему уравнений (2.10) можно рассматривать как условия, которые сужа-
ют пространство L{?? (t, x)} к некоторому P (1, n)-инвариантному подпространс-
тву L{?? (t, x)} ? L{?? (t, x)}, где {?? (t, x)} – подсистема базисных векторов в
{?? (t, x)}.
Об уравнениях движения, инвариантных относительно группы P (1, n). II 251

Поскольку на L{?? (t, x)} реализуется неунитарное представление группы
SO(2, n), то это значит, что часть матриц SAB будет эрмитовой, а часть анти-
эрмитовой. Удобно выбрать
S0k = ?S0k , Sk n+1 = ?Sk n+1
+ + + +
Skl = Skl , S0 n+1 = S0 n+1 ,
(2.11)
(k, l = 1, 2, . . . , n).
Из требований эрмитовости гамильтониана H = P0 вытекает, что d = d? .
Таким образом, система уравнений (2.10) инвариантна относительно группы
P (1, n), и на ее решениях инвариант
Pµ P µ ?(t, x) = ? 2 ?(t, x). (2.12)

3. Теоретико-групповой анализ уравнений (2.10)
В этом разделе ради простоты будет проведен теоретико-групповой анализ
уравнений (2.10), инвариантных только относительно групп P (1, 3) и P (1, 4), т.е.
будет показано, что при определенном выборе параметра d и матриц SAB на мно-
жестве решений уравнений (2.10) реализуется прямая сумма двух неприводимых
представлений этих групп. Аналогичное утверждение справедливо и для уравне-
ний, инвариантных относительно произвольной группы P (1, n).
1. Уравнения (2.10), инвариантные относительно группы Пуанкаре, имеют вид
1
(Sµ? p? + i?Sµ4 ) ?(t, x),
pµ ?(t, x) = x = (x1 , x2 , x3 ),
id
(3.1)
1
??(t, x) = Sµ4 pµ ?(t, x), ? = m.
d
Докажем следующее
Утверждение 1. Если матрицы SAB (AB = 0, . . . , 4) в уравнениях (3.1) реали-
зуют неприводимое представление алгебры SO(2, 3), задаваемое числами Г–Ц
(µ0 , µ1 ), и d = µ0 , на множестве решений уравнений (3.1) реализуется прямая
сумма
D+ (?; s = µ1 ) ? D? (?; s = µ1 ) (3.2)
пеприводимых представлений группы P (1, 3).
Прежде чем приступить к доказательству этого утверждения, заметим, что
между конечномерными представлениями алгебр SO(2, 3) и SO(5) существует
взаимно-однозначное соответствие, которое можно задать следующим способом:
1 1
(3.3)
?12 = S04 , ?1 k+2 = S0k , ?k+2 l+2 = Skl , ?2 k+2 = S4k ,
i i
где ?ij (i, j = 1, 2, . . . , 5) — базисные элементы алгебры SO(5), заданные в том же
самом пространстве, что и операторы SAB .
Выберем в L{?? (t, x)} базис Г–Ц. При этом индекс ? задается схемой
µ0 µ1
m04 m14
(3.4)

<< Предыдущая

стр. 55
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>