<< Предыдущая

стр. 56
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?=
m03
m02
252 Л.П. Сокур, В.И. Фущич

(по сравнению с [5] в (3.4) сделаны некоторые удобные для нас переобозначения).
Все числа µ = (µ0 , µ1 ) и m = (m02 , m03 , m04 , m14 ) одновременно целые или
полуцелые и удовлетворяют неравенствам
µ0 ? m04 ? µ1 ? |m14 | ? 0, m04 ? m03 ? |m14 |, m03 ? |m02 |. (3.5)
В базисе Г–Ц матрицы ?ij (а значит, и матрицы SAB ) известны и задаются фор-
мулами [5]
(3.6)
?12 ?? = m02 ?? ,
1 1/2
?23 ?? = ± [(m03 ? m02 )(m03 + m02 + 1)] ??(m02 >m02 +1) ?
2i (3.7)
1/2
? [(m03 ? m02 + 1)(m03 + m02 )] ??(m02 >m02 ?1) ,

(m03 + m02 + 1)(m03 ? m02 + 1)(m04 + m03 + 2
?34 ?? = ± ?
(2m03 + 1)(2m03 + 3)
1/2
(m04 ? m03 )(m03 ? m14 + 1)(m03 + m04 + 1)
? ??(m03 >m03 +1) ?
(m03 + 1)2
(3.8)
(m03 + m02 )(m03 ? m02 )(m04 + m03 + 1)(m04 ? m03 + 1)
? ?
(2m03 ? 1)(2m03 ? 1)
1/2
(m03 ? m14 )(m03 + m14 ) m02 (m04 + 1)
? ??(m03 >m03 ?1) + m14 ?? .
m2 m03 (m03 + 1)
03

(m03 ? m04 ? 1)(m03 + m04 + 2)(µ1 ? m04 ? 1)
1
?45 ?? = ± ?
2i (m04 + m14 + 1)(m04 + m14 + 2)
1/2
(µ1 + m04 + 2)(µ0 ? m04 )(µ0 + m04 + 3)
? ??(m04 >m04 +1) +
(m14 ? m04 ? 2)(m14 ? m04 ? 1)
(m03 ? m14 )(m14 + m03 + 1)(µ1 ? m14 )
?
+
(m04 + m14 + 1)(m04 + m14 + 2)
1/2
(µ1 + m14 + 1)(µ0 ? m14 + 1)(µ0 + m14 + 2)
? ??(m14 >m14 +1) ? (3.9)
(m04 ? m14 )(m04 + m14 + 1)
(m03 ? m04 )(m03 + m04 + 1)(µ1 ? m04 )(µ1 + m04 + 1)
? ?
(m04 + m14 )(m04 + m14 + 1)(m14 ? m04 ? 1)
1/2
(µ0 ? m04 + 1)(µ0 + m04 + 2)
? ??(m04 >m04 ?1) ?
(m14 ? m04 )
(m03 ? m14 + 1)(m14 + m03 )(µ1 ? m14 + 1)(µ1 + m14 )
? ?
(m04 + m14 )(m04 + m14 + 1)(m04 ? m14 + 1)
1/2
(µ0 ? m14 + 2)(µ0 + m14 + 1)
? ??(m14 >m14 ?1) ,
(m04 ? m14 + 2)

где стрелки > обозначают соответствующую замену в схемах ? (3.4).
Об уравнениях движения, инвариантных относительно группы P (1, n). II 253

Остальные генераторы ?ij могут быть получены из коммутационных соотно-
шений алгебры SO(5).
Перейдем теперь к доказательству утверждения 1.
Доказательство. Сначала докажем, что в “системе покоя” (p0 = 0, pk = 0) на
множестве решений L{?0 } уравнений (3.1) (с d = µ0 ) реализуется прямая сумма
?

D(µ1 ) ? D(µ1 ) (3.10)
двух неприводимых представлений группы SO(3).
В этой системе при d = µ0 уравнения (3.1) сводятся к двум независимым
уравнениям3
?
p0 ?0 = S04 ?0 ,
µ0
(3.11)
1
?? =0 00
S04 p ? ,
µ0
где ?0 — волновая функция частицы в системе покоя.
Уравнения (3.11) эквивалентны двум матричным условиям
S04 ?0 = µ0 ?0 , (3.12а)

S04 ?0 = ?µ0 ?0 , (3.12б)

Условия (3.12а) и (3.12б) сужают множество L{?0 }, на котором реализуется
?
неприводимое представление группы SO(2, 3), к двум непересекающимся подмно-
жествам, которые мы обозначим как L{?0 + } и L{?0 ? }, соответственно, где ?0 +
? ? ?
и ?0 ? — базисные элементы этих подмножеств.
?
Чтобы описать эти подмножества, воспользуемся соответствием (3.3) и пере-
пишем (3.12) так:
?12 ?0 + = µ0 ?0 + , (3.13а)
? ?

?12 ?0 ? = ?µ0 ?0 ? (3.13б)
? ?

(условия (3.13) для удобства записаны как условия для базисных элементов).
Используя явный вид (3.6) генератора ?12 и неравенства (3.5), приходим к
заключению, что базисные элементы ?0 + ? {?0 } и ?0 ? ? {?0 } удовлетворяют
? ?
? ?
условиям (3.13а) и (3.13б) лишь в том случае, если их индексы имеют вид
µ0 µ1
µ0 m14
µ1 ? |m14 |;
?+ = (3.14а)
,
µ0
µ0

µ0 µ1
µ0 m14
?? = µ1 ? |m14 |. (3.14б)
,
µ0
?µ0
волновой функции ? от переменных t, x не будем далее указывать, поскольку в этом
3 Зависимость

разделе нас интересует только матричная структура уравнений (2.10).
254 Л.П. Сокур, В.И. Фущич

Другими словами, условия сужения (3.13) эквивалентны условиям
(3.15а)
m02 = m03 = m04 = µ0
и
?m02 = m03 = m04 = µ0 , (3.15б)
которые сужают множество индексов {?} к двум подмножествам
{? ? } ? {?}; {? + } ? {? ? } = {0}.
{? + } ? {?} и
Из неравенств (3.14а) и (3.14б) следует, что размерности пространств L{?0 + } и
?
L{?? ? } совпадают с размерностью неприводимых представлений группы SO(3).
0

Тот факт, что на этих множествах реализуются неприводимые представления груп-
пы SO(3), следует из явных выражений для операторов ?ij и ?ij , которые дей-
ствуют в пространствах L{?0 + } и L{?0 ? }, соответственно, и которые получаются
? ?
из выражений (3.8) и (3.9) с учетом условий (3.15а) и (3.15б) (операторы ?23 и ?12
исключаем из рассмотрения, поскольку область значений оператора ?23 не прина-
длежит пространствам L{?0 + } и L{?0 ? }, а оператор ?12 является константой в
? ?
этих пространствах). Операторы ?ij имеют вид

?34 ?0 + = m14 ?0 + ,
? ?
1 1/2
?45 ?0 + = ± [(µ1 ? m14 )(µ1 + m14 + 1)] ?0 + (m14 >m14 +1) ? (3.16)
? ?
2i
1/2
? [(µ1 ? m14 + 1)(µ1 + m14 )] ?0 + (m14 >m14 ?1) .
?

Отсюда мы видим, что в L{?0 + } реализуется неприводимое представление D(µ1 )
?
алгебры SO(3).
Аналогично показывается, что то же самое представление алгебры SO(3) реа-
лизуется и в L{?0 ? }. Для этого нужно заметить лишь, что отображение ?0 ? >
? ?
?0 ? = ?0 ? (m14 >?m14 ) является внутренним для пространства L{?0 ? }. При таком
? ? ?
отображении операторы ?ij представляются в виде (3.16).
Итак, мы показали, что на множестве решений уравнений (3.11) действительно
реализуется прямая сумма (3.10).
Для завершения доказательства осталось показать, что на ?0 ? L{?0 + } и
+ ?
?? ? L{?? ? } оператор знака энергии ? = P0 /|P0 | имеет собственные значения
0 0
?
(+1) и (?1). В силу (3.11) имеем
p0 ?0 = ??0 , p0 ?0 = ???0 , (3.17)
? ?
+ +

откуда и следует, что
??0 = ±?0 .
?± ±

При переходе от системы покоя к произвольной системе отсчета множества
L{?0 + } и L{?0 ? } перейдут в некоторые другие множества L{?? + } и L{?? ? },
? ?
на которых также реализуется прямая сумма (3.10). Кроме того, поскольку ? яв-
?
ляется инвариантом группы P (1, 3), то собственные значения этого инварианта не
изменяются. Таким образом, мы доказали утверждение 1.
Об уравнениях движения, инвариантных относительно группы P (1, n). II 255

2. Уравнения (2.10), инвариантные относительно группы P (1, 4), имеют вид
1
(Sµ? p? + i?Sµ5 ) ?(t, x),
pµ ?(t, x) = x = (x1 , . . . , x4 ),
id
(3.18)
1
??(t, x) = Sµ5 pµ ?(t, x), (µ = 0, 1, . . . , 4).
d
Для уравнений (3.18) справедливо следующее
Утверждение 2. Если матрицы SAB (A, B = 0, 1, . . . , 4) в уравнениях (3.18) реа-
лизуют неприводимое конечномерное представление алгебры SO(2, 4), задава-
емое числами (µ0 , µ1 , µ2 ), и d = µ0 , то на его решениях реализуется прямая
сумма
1 1
D+ (?; s, ? ) ? D? (?; ?, s), s? ?? (µ1 ? µ2 ), (3.19)
(µ1 + µ2 ),
2 2
неприводимых представлений группы P (1, 4).
Доказательство. Способ доказательства утверждения 2 тот же самый, что и
утверждения 1, поэтому мы здесь отметим лишь те новые элементы, которые во-
зникают в этом случае.
Соответствие между базисными элементами ?ij (i, j = 1, 2, . . . , 6) алгебры
SO(6) и базисными элементами SAB алгебры SO(2, 4) задается соотношениями
1 1
?12 = S05 , ?1 k+2 = S0k , ?2 k+2 = S5k , ?k+2 l+2 = Skl ,
i i (3.20)
(k, l = 1, 2, 3, 4).
Схемы Г–Ц в этом случае имеют вид
µ0 µ1 µ2
µ0 ? m05 ? µ1 ? m15 ? |µ2 | ? 0,
m05 m15
m05 ? m04 ? m15 ? |m14 |,
(3.21)
m04 m14
?= ,
m04 ? m03 ? |m14 |,
m03
m03 ? |m02 |.
m02
Операторы ?12 , ?23 , ?34 , ?45 задаются формулами (3.6)–(3.9), где числа µ0 и
µ1 заменены числами m05 и m15 . Явный вид формулы ?56 мы не будем выписывать
из-за ее громоздкости (она может быть получена по общей формуле [5]).
Повторяя рассуждения п. 1, приходим к следующим условиям сужения:
?12 ?0 + = µ0 ?0 + , (3.22а)
? ?

?12 ?0 ? = ?µ0 ?0 ? . (3.22б)
? ?

Из (3.22а) и (3.22б) с учетом неравенств (3.21) и явного вида операторa ?12
получаем, что индексы ? + и ? ? представляются схемами
µ0 µ1 µ2
µ0 m15
µ1 ? m15 ? |µ2 |,
?+ = (3.23а)
µ0 m14 ,
m15 ? |m14 |
µ0
µ0
256 Л.П. Сокур, В.И. Фущич

и
µ0 µ1 µ2
µ0 m15
µ1 ? m15 ? |µ2 |,
?? = (3.23б)

<< Предыдущая

стр. 56
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>