<< Предыдущая

стр. 57
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

µ0 m14 ,
m15 ? |m14 |.
µ0
?µ0

Неравенства (3.23а) и (3.23б) показывают, что размерности множеств L{?0 + } и
?
L{?0 ? } совпадают с размерностями неприводимых представлений группы SO(4).
?
Путем несложных вычислений (точно так же, как и в случае группы P (1, 3))
убеждаемся, что
а) на множествах L{?0 + } и L{?0 ? } реализуются представления D(µ1 , µ2 ) и
? ?
D(µ1 , ?µ2 ) группы SO(4);
б) если ?0 ? L{?0 + }, а ?0 ? L{?0 ? }, то
?
+ ? ?


??0 = ±?0 . (3.24)
?± ±


В силу P (1, 4)-инвариантности уравнений (3.18) получаем окончательно, что на
множестве решений этих уравнений реализуется прямая сумма

D+ (?; µ1 , µ2 ) ? D? (?; µ1 , ?µ2 ) (3.25)

неприводимых представлений группы P (1, 4).
Для завершения доказательства утверждения 2 достаточно лишь указать (см.,
например, [1]), что числа (µ1 , µ2 ) и числа (s, ? ), характеризующие неприводимое
представление группы SO(4), связаны между собой соотношениями (3.19).
Замечание 1. Если в уравнениях (3.18) выбрать d = ?µ0 , то на множестве реше-
ний таких уравнений реализуется следующая прямая сумма неприводимых пред-
ставлений группы P (1, 4):

D? (?; s, ? ) ? D? (?; ?, s).

Замечание 2. Уравнения (3.18) будут P -, T -, C-инвариантными, как это будет
показано в разделе 4, если матрицы SAB имеют вид
(1)
SAB 0
(3.26)
SAB = ,
(2)
0 SAB

(1) (2)
где матрицы SAB и SAB реализуют неприводимые представления D(µ0 , µ1 , µ2 )
и D(µ0 , µ1 , ?µ2 ) алгебры SO(2, 4). В этом случае на решениях уравнения (3.18)
реализуется представление

D+ (?; s, ? ) ? D? (?; ?, s) ? D+ (?; ?, s) ? D+ (?; s, ? ). (3.27)

Анализ уравнений (2.10) для произвольной группы P (1, n) может быть прове-
ден точно так же, как и для групп P (1, 3) и P (1, 4), т.е. можно показать, что если
Об уравнениях движения, инвариантных относительно группы P (1, n). II 257

матрицы SAB реализуют неприводимое представление алгебры SO(2, n), зада-
ваемое числами (µ0 , µ1 , . . . , µl ), и d = µ0 , то на множестве решений уравнений
(2.10) реализуется представление
D+ (?; µ1 , . . . , µl?1 , µl ) ? D? (?; µ1 , . . . , µl?1 , µl ) (3.28)
при n = 2l + 1;
или
D+ (?; µ1 , . . . , µl?1 , µl ) ? D? (?; µ1 , . . . , µl?1 , ?µl ) (3.29)
при n = 2l.
Мы не приводим здесь доказательства этого утверждения лишь потому, что
формулы для операторов SAB слишком громоздки.
В заключение этого раздела сделаем несколько замечаний об уравнениях, на
решениях которых реализуется представление класса III группы P (1, n). Если в
уравнениях (2.10) провести замену ? > i?, то такие уравнения остаются инвари-
антными относительно группы P (1, n), причем
Pµ P µ ?(t, x) = ?? 2 ?(t, x). (3.30)
Операторы SAB , как и раньше, реализуют некоторое конечномерное или бе-
сконечномерное представление алгебры SO(2, n) (в зависимости от выбора пара-
метра d). Вводя в M базис Г–Ц, мы можем снова определить операторы SAB
формулами Г–Ц, как и в случае класса I (соответствие между операторами ?ij
и SAB удобно выбрать несколько иным). Однако теперь в зависимости от выбора
параметра d операторы SAB будут определены в той или иной области Граева.
Можно так выбрать параметр d и представление для матриц SAB , что уравнения
(2.10) (c? > i?) сужают пространство L{?? (t, x)} к двум подпространствам, в
которых реализуются неприводимые унитарные представления класса III группы
P (1, n). Детальный анализ уравнений (2.10) для этого класса будет проведен в
другой работе.
4. P -, T -, C-свойства уравнении (2.10)
В этом разделе изучим свойства уравнений (2.10) относительно пространствен-
(1)
но-временных отражений. Через Pk обозначим оператор пространственной ин-
версии xk -й компоненты вектора x, определяемый соотношениями
(1) (1)
Pk ?(t, x1 , . . . , xk , . . . , xn ) = rk ?(t, x1 , . . . , ?xk , . . . , xn ), (4.1)
(1) (1)
Pk , pµ = Pk , Jµ? = 0, (µ, ? = k),
? ?
(4.2)
2
(1) (1) (1)
? 1.
Pk , pk = Pk , Jkµ = 0, Pk
+ +

(1)
Кроме оператора Pk , можно ввести другой оператор пространственной инверсии
(2)
Pk , определяемый соотношениями

Pk ?(t, x1 , . . . , xk , . . . , xn ) = rk ?? (t, x1 , . . . , ?xk , . . . , xn ),
(2) (2)
(4.3)
(2) (2)
Pk , pµ = Pk , Jµ? = 0, (µ, ? = k),
+ +
(4.4)
2
(2) (2) (2)
? 1.
Pk , pk = Pk , Jkµ = 0, Pk
? ?
258 Л.П. Сокур, В.И. Фущич

При инверсии времени (t > ?t) волновая функция ?(t, x) также может пре-
образовываться двумя неэквивалентными способами:
(1)
T (1) ?(t, x) = r0 ?(?t, x), (4.5)

T (1) , p0 = T (1) , J0k = 0,
+ +
(4.6)
(1) 2
? 1;
(1) (1)
T , pk =T , Jkl = 0, T
? ?

и
T (2) ?(t, x) = r0 ?? (?t, x),
(2)
(4.7)

T (2) , p0 = T (2) , J0k = 0,
? ?
(4.8)
(2) 2
? 1.
(2) (2)
T , pk =T , Jkl = 0, T
+ +

Оператор зарядового сопряжения C эквивалентен произведению операторов
(1) (2) (1) (2)
T (1) T (2) . Через R будем обозначать любой из операторов Pk , Pk ,
Pk Pk или
(1) (2)
T ,T .
(1)
Уравнения (2.10) будут R-инвариантны, если существуют такие матрицы rk ,
(2) (1) (2)
rk , r0 , r0 , что соотношения (4.2), (4.4), (4.6) и (4.8) удовлетворяются, если в
них сделать замену
1
pµ > Pµ = (Sµ? p? + i?Sµ n+1 ) . (4.9)
id
(1)
1. Рассмотрим свойства уравнений (2.10) относительно Pk -преобразования.
Соотношения (4.2) при замене (4.9) будут удовлетворяться, если существует такая
(1)
матрица rk , что
(1) (1)
(4.10)
rk , Sµ n+1 =0 (µ = k), rk , Sk n+1 = 0.
? +

Ввиду того, что P -, T -, C-свойства уравнений (2.10) зависят от того, четное или
нечетное число n, то мы далее отдельно рассматриваем случаи групп P (1, n =
2l + 1) и P (1, n = 2l).
(1)
Для того чтобы найти матрицу rk , удовлетворяющую соотношениям (4.10),
введем следующую систему матриц ?µ = (?0 , ?k ):
A = e?i?µ0 ,
?0 = Aei?S0 n+1 , ?k = Ae?Sk n+1 (4.11)
(k = 1, 2, . . . , n),
где матрицы SAB , как и раньше, генераторы неприводимого представления группы
SO(2, n).
Используя известную формулу
?
1
?b B
(4.12)
e Ke = [B, K]n ,
n!
n=0

где [B, K]n = [B, [B, K]n?1 ]? , [B, K]0 = K, можно доказать следующие свойства
матриц ?µ :
(4.13)
[?µ , Sµ n+1 ]? = [?µ , S?? ]? = 0 (?, ? = µ),
Об уравнениях движения, инвариантных относительно группы P (1, n). II 259

(? = µ или (4.14)
[?µ , S?? ]+ = 0 ? = µ),

(4.15)
[?µ , S? n+1 ]+ = 0 (? = µ),

(для попуцелых µ0 ), (4.16)
[?µ , ?? ]+ = 0

(для целых µ0 ), (4.17)
[?µ , ?? ]? = 0

??1 = ?µ .
?2 = 1, (4.18)
µ µ

(1)
Матрица rk со свойствами (4.10) может быть построена из матриц ?µ таким
способом:
(1)
(4.19)
rk = ?0 ?1 . . . ?k?1 ?k+1 . . . ?n .
2 2
(1) (1)
= 1 (или ?1). Это означает, что оператор Pk
Квадрат этой матрицы rk
эквивалентен (с точностью до знака) единичному оператору.
Итак, мы пришли к заключению, что уравнение (2.10), инвариантное отно-
(1)
сительно группы P (1, n = 2l + 1), Pk -инвариантно. Очевидно, что (2.10) будет
также инвариантно относительно преобразования x > ?x. Оператор инверсии
для такого преобразования имеет вид
n
(1)
(1)
P = Pk .
k=1

В дальнейшем мы будем изучать свойства инвариантности уравнений (2.10)
(1) (1)
относительно оператора Pn , поскольку оператор Pk , (k = n) может быть пред-
(1)
ставлен как произведение операторов Pn и ei?Jkn . Относительно последнего опе-
ратора уравнения (2.10), очевидно, инвариантны.
Рассмотрим теперь случай группы P (1, n = 2l). Для этого случая справедливо
следующее
Утверждение 3. Уравнения (2.10), инвариантные относительно P (1, n = 2l), не
(1)
инвариантны относительно оператора Pn .
Для доказательства этого утверждения достаточно показать, что матрицы
?1 ?1
(1) (1) (1) (1)
(4.20)
SAB = Pn SAB Pn = rn SAB rn

реализуют представление алгебры SO(2, n), которое неэквивалентно представле-
нию SO(2, n), задаваемое матрицами SAB . Матрицы SAB с учетом соотношения
(4.20) могут быть выражены через матрицы SAB так:
(4.21)
SAn = SAn , SAB = SAB (A, B, = n).
Если представление SO(2, n = 2l), порождаемое матрицами SAB , задается чи-
слами (µ0 , µ1 , . . . , µl?1 , µl ), то представление SO(2, n = 2l), порождаемое матри-
цами SAB , задается числами (µ0 , µ1 , . . . , µl?1 , ?µl ). Это факт следует из структу-
ры матрицы Sn n+1 . Действительно, в базисе Г–Ц ее можно представить в виде
(см. [5])
Sn n+1 = ±(B ? B ) + D, (4.22)
260 Л.П. Сокур, В.И. Фущич

где B, B — треугольные матрицы с нулями по главной диагонали, D — диаго-
нальная матрица. Замена D > ?D в (4.22) влечет за собой замену µl > ?µl
(справедливо и обратное утверждение). Поскольку представления SO(2, n), зада-
ваемые числами (µ0 , . . . , µl ) и (µ0 , . . . , µl?1 , ?µl ), не эквивалентны, то этим самым

<< Предыдущая

стр. 57
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>