<< Предыдущая

стр. 58
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

и доказано утверждение 3.
(1)
Таким образом, уравнения (2.10) в случае группы P (1, n = 2l) Pn -неинвари-
антны. Очевидно, что уравнения (2.10) будут инвариантны относительно оператора
(1)
Pn , если матрицы SAB являются генераторами приводимого представления груп-
пы SO(2, n) вида
D(µ0 , µ1 , . . . , µl?1 , µl ) ? D(µ0 , µ1 , . . . , µl?1 , ?µl ). (4.23)
В этом случае на решениях уравнений (2.10) реализуется следующая прямая сум-
ма
D+ (?; µ1 , . . . , µl ) ? D? (?; µ1 , . . . , ?µl )?
(4.24)
?D? (?; µ1 , . . . , µl ) ? D? (?; µ1 , . . . , ?µl )
неприводимых представлений группы P (1, n = 2l).
(1) (1)
Матричная часть оператора Pn (матрица rn ) в случае n = 2l не может
быть выражена через матрицы SAB , поскольку такая матрица должна переве-
сти вектор из пространства, где задано представление D(µ0 , . . . , µl ) в вектор,
принадлежащий пространству, где реализуется представление D(µ0 , . . . , ?µl ). Та-
кую матрицу можно найти среди матриц, порождающих представление группы
SO(2, n + 1) ? SO(2, n). Это утверждение очевидно, поскольку всегда найдется
такое представление группы SO(2, n + 1), которое раскладывается в прямую сум-
му, содержащую представление (4.23) группы SO(2, n).
2. Перейдем теперь к изучению свойств уравнений (2.10) относительно опера-
(2)
ций T (1) , Pk , T (2) . Свойства этих уравнений относительно оператора T (1) легко
устанавливаются, если заметить, что уравнения (2.10) инвариантны относительно
(1)
T (1) Pk -операции. Из этого замечания следует, что
а) в случае n = 2l + 1 уравнения (2.10) T (1) -инвариантны, если SAB — генера-
(1)
торы неприводимого представления группы SO(2, n). Матрица r0 имеет вид
n
(1)
(4.25)
r0 = ?k ;
k=1

б) в случае n = 2l уравнения (2.10) T (1) -инвариантны, если SAB — генераторы
прямой суммы (4.23) представлений группы SO(2, n).
3. Свойства уравнений (2.10) относительно оператора T (2) могут быть изучены
(1)
точно так же, как и свойства их относительно операторов Pk и T (1) . При этом
следует только учесть, что всегда можно выбрать матрицы
(4.26)
S0 n+1 , S1 n+1 , S3 n+1 , ...
действительными, а матрицы
(4.27)
S2 n+1 , S4 n+1 , S6 n+1 , ...
чисто мнимыми.
Об уравнениях движения, инвариантных относительно группы P (1, n). II 261

(2)
Чтобы уравнения (2.10) были T (2) -инвариантны, матрица r0 должна удовле-
творять соотношениям

(2)
r0 , S0 n+1 = 0,
?
(2)
r0 , S? n+1 =0 (? = 2, 4, 6, . . .), (4.28)
?
(2)
r0 , S? n+1 =0 (? = 1, 3, 5, . . .).
+


Проведя анализ соотношений (4.28), приходим к следующему результату: если
матрицы SAB реализуют неприводимое представление алгебры SO(2, n), то
уравнения (2.10) T (2) -инвариантны за исключением случая группы P (1, n =
(2)
4l + 2); матрица r0 имеет вид

(2)
для группы P (1, n = 4l + 3);
r0 = ??
?
(2)
для группы P (1, n = 4l + 1);
r0 = ?0 ?? (4.29)
?
(2)
для группы P (1, n = 4l).
r0 = ??
?


В случае группы P (1, n = 4l + 2) уравнения (2.10) инвариантны относительно
(1)
оператора Pk T (2) . Это означает, что свойства этих уравнении относительно опе-
(1)
раторов Pk и T (2) совпадают, т.е. уравнения (2.10) инвариантны относительно
T (2) , если матрицы SAB – генераторы представления (4.23).
(2)
Свойства уравнений (2.10) относительно операторов Pk и C легко устанавли-
ваются, поскольку

(2) (1)
? Pk T (1) T (2) , (4.30)
Pk


C ? T (1) T (2) . (4.31)


В таблице (где “нет” означает отсутствие R-инвариантности уравнений (2.10),
“да” означает, что уравнения (2.10) R-инвариантны) сведены все свойства уравне-
ний (2.10) относительно операторов P , T , C.
В том частном случае, когда уравнения (2.10) сводятся к уравнению Дирака,
приведенные в таблице результаты совпадают с результатами, установленными
одним из авторов [6] для уравнения Дирака, инвариантного относительно группы
P (1, n). Следует отметить, что R-свойства уравнений (2.10), когда ? = 0, могут
быть изучены так же, как и в случае ? = 0. Мы здесь не приводим анализ этого
случая, скажем только, что R-свойства такого уравнения совпадают со свойствами
уравнений Дирака для ? = 0 [6].
262 Л.П. Сокур, В.И. Фущич

n = 2l n = 2l + 1
Эквивалентные
Операции l = 2r l = 2r + 1 l = 2r l = 2r + 1
операции
(1) (2)
нет нет да да
Pk CPk
(2) (1)
да нет да да
Pk Pk C
T (1) нет нет да да
T (2) T (1) C да нет да да
(1) (2)
T (1) T (2) ? Pk Pk нет да да да
C
(1) (1) (2)
T (2) Pk да да да да
T Pk
(1) (1)
T (2) Pk T (1) Pk C нет да да да
(1) (2)
да нет да да
CPk Pk
CT (1) T (2) да нет да да
CT (2) T (1) нет нет да да
(1) (2) (1)
T (1) Pk ? T (2) Pk
CT (1) Pk нет да да да
(1) (1) (2)
T (1) Pk ? T (2) Pk
CT (2) Pk да да да да


1. Фущич В.И., ТМФ, 1970, 4, 360; Preprint ITF–70–4, Kiev, 1970.
2. Novozhilov Yu.M., Terentjev I.A., J. Math. Phys., 1968, 9, 1517.
3. Степановский Ю.П., Укр. физ. ж., 1964, 9, 1165.
4. Вakri M.M., J. Math. Phys., 1969, 10, 289.
5. Гельфанд И.М., Цетлин М.Л., ДАН СССР, 1960, 71, 1017.
6. Fushchych W.I., Preprint ITF–69–17, Kiev, 1969.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 1, 263–264.

On the three types of relativistic equations
for particles with nonzero mass
W.I. FUSHCHYCH

In previous papers [1, 2] we have shown that there exist three types of the relativistic
equations for the massless particles. Here we show that for the free particles and
antiparticles with the mass m > 0 and the arbitrary spin s ? 1 there also exist three
2
types of nonequivalent equations.
For the sake of brevity we shall only dwell upon the equations of motion for the
particles with spin s = 1 . From the text it would be clear that all results of the paper
2
can be formulated for arbitrary spin. Let us consider the eight-component equation of
the Dirac type [3]
(?µ pµ ? ?4 m)?(t, x) = 0, µ = 0, 1, 2, 3,
(1)
? ?
pa = ?i
p0 = i , , a = 1, 2, 3,
?t ?xa
where the 8 ? 8 matrices ?µ , ?4 , ?5 , ?6 obey the Clifford algebra; ? is a eight-
component wave function.
On the solutions of eq. (1) the generators of the Poincar? group P1,3 have the form
e
P0 ? H = ?0 ?a pa + ?0 ?4 m ? ?2iS0k pk , p4 ? m, k = 1, 2, 3, 4,
Jab = xa pb ? xb pa + Sab ,
Pa = pa , (2)
1 i
J0a = x0 pa ? (x0 H + Hxa ), (?µ ?? ? ?? ?µ ).
Sµ? =
2 4
Using the generators (2) it can be shown that on the set of solutions eq. (1) a direct
sum of four irreducible representations of the group P1,3 :
1
? ?
Ds,0 ? D0,s ? D0,s ? Ds,0 ,
+ +
(3)
s= ,
2
± ±
is realized. Here Ds,0 and D0,s denote the irreducible representations of the group
P1,3 . The symbols Ds,0 and D0,s denote the irreducible representations of the group
O4 . Elsewhere [3] we have shown that eq. (1) was invariant under the group O6 , and
a usual Dirac equation was invariant under the group O4 .
From (3) it follows that we can obtain three types of nonequivalent four-component
equations from eq. (1). It is evident that these three types of equations are equivalent
to one eq. (1) with three subsidiary conditions. These relativistic invariant subsidiary
condition have the form
1 i
? ±
P1 = (1 ± 2S56 ),
+
P1 ? = 0 or P1 ? = 0, (4)
S56 = ?5 ?6 ,
2 2
H
1
? ±
(1 ± 2?S56 ),
+
P2 ? = 0 or (5)
P2 ? = 0, P2 = ? ?=
? ,
2 E
Lettere al Nuovo Cimento, 1972, 4, № 9, P. 344–346.
264 W.I. Fushchych

1
? ±
(1 ± ?),
+
p 2 + m2 .
P3 ? = 0 or (6)
P3 ? = 0, P3 = ? E= a
2
±
As the projective operators Pa commute with the generators (2), it means that
subsidiary conditions (4), (6) are invariant under the Poincar? group. The conditions
e
(5), (6) are nonlocal in configuration space since ? is the integrodifferential operator.
?
The eq. (1) together with the subsiduary condition (4) is equivalent to the usual
Dirac equation. In this case the wave function is transformed under the representation
? ? ?
Ds,0 ? D0,s Ds,0 ? D0,s
+ + +
if P1 ? = 0 or if P1 ? = 0. (7)
Equation (1) together with (4) is equivalent to the four-component equation which
coincide on the form with the Dirac equation, however, the wave function in this
equation is transformed under the representation
? ? ?
Ds,0 ? Ds,0 D0,s ? D0,s
+ + +
if P2 ? = 0 or if P2 ? = 0. (8)
It is clear that the representations (8) are not equivalent to (7).
Equation (1) with subsidiary condition (6) is equivalent to the four-component
equation of the form
??(4) (t, x)
= E?(4) (t, x), (9)
i
?t
where the wave function ?(4) is transformed under the representation
? ? ?
Ds,0 ? D0,s Ds,0 ? D0,s
+ + +
if P3 ? = 0 or if P3 ? = 0. (10)
It should be emphasized that only in the last equation of motion the Hamiltonian
+
is the positive operator. If we compare the particle with the representation Ds,0 and
+
the antiparticle with the representation D0,s , then the eq. (9) describes free motion of

<< Предыдущая

стр. 58
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>