<< Предыдущая

стр. 6
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

роговi” (точки розгалуження), коли три параметри Фейнмана дорiвнюють нулю;
в) “трикутнi” (точки розгалуження), коли два параметри Фейнмана дорiвнюють
нулю; с) “квадратнi” (точки розгалуження), коли один параметр Фейнмана дорiв-
нює нулю; d) “власнi” (полюси), коли жодний з параметрiв Фейнмана не дорiвнює
нулю.
Аналiтичнi властивостi амплiтуд народження i метод Чу–Лоу 27

p1 p 3
2. У випадку народження зв’язок мiж z = cos ? = i t буде задаватись
|p1 ||p3 |
таким спiввiдношенням:
t ? 2m2 + 2p10 p30
z= ,
(p2 ? m2 ) (p2 ? m2 )
10 30
(5)
s12 + m ? µ s12 ? s45 + m
2 2 2
v v
p10 = , p30 = .
2 s12 2 s12
Рiвняння елiпса екстраполяцiї в площинi z має вигляд

0 ? ? ? 2?,
z = ch (? + i?), ? = arcch zµ , (6)

µ2 ? 2m2 + 2p10 p30
(7)
zµ = .
(p2 ? m2 ) (p2 ? m2 )
10 30

Оскiльки мiж z i t iснує лiнiйний зв’язок, то елiпс (6) при перетвореннi (5)
переходить також в елiпс в площинi t. Точки перетину цього елiпса з дiйсною
вiссю в площинi t такi:
m2 ? µ2
Re tb = 4m ? µ ? 1 + (s12 ? s45 + m2 ).
2 2 2
Re ta = µ , (8)
s12
Величина малої пiвосi елiпса екстраполяцiї

(p2 ? m2 ) (p2 ? m2 ) zµ ? 1 .
2
Im tc = 2 (9)
10 30

Для того, щоб екстраполяцiю Чу i Лоу [1] можна було обгрунтувати (якщо
обмежитись однополюсною дiаграмою [6] та дiаграмами рисунка), необхiдно, щоб
коренi рiвнянь (4) знаходилися за межами елiпса (6) при умовi, що

s12 > (m + 2µ)2 , s45 > 4µ2 , s34 > (m + µ)2 , (10)
t25 < 0.

Виписати обмеження, що накладаються на коефiцiєнти рiвнянь (4), при яких
коренi цих рiвнянь (вiдносно t) будуть знаходитися за межами елiпса (6), якщо
конкретно не заданi значення s12 , s45 , s34 та t25 дуже громiздка задача. Тому ми
випишемо цi обмеження лише для рiвняння D7i = 0, вважаючи, що дiаграма 7 не
має “квадратних” i “власних” особливостей.
“Пороговi” особливостi знаходитимуться за межами елiпса екстраполяцiї, якщо

t25 ? s34 ? (m ± µ)2 + 2m2 + µ2 < Re tb ,
(11)
s45 ? s12 ? (m ± µ)2 + 2m2 + µ2 < Re tb .

“Трикутнi” особливостi будуть в тих точках, для яких

A1 t2 + Bi t + Ci = 0,
1 1
A2 t2 t2 + Bi t14 + Ci = 0,
2 2
i 14 14
i
(12)
A3 t2 + Bi t23 + Ci = 0,
3 3
i = 1, 2, 3.
i 23

Явнi вирази для A, B i C наведенi в додатку.
28 В.I. Фущич

Випишемо умови того, що “трикутнi” особливостi не будуть знаходитись в
областi, обмеженiй (6):

2m2 + µ2 + t25 ? s34 ? Re tk > Re ta ,
Re tk > Re ta , 14
(13.1)
2m + µ + s45 ? s12 ? Re t23 > Re ta ,
2 2 k


або

2m2 + µ2 + t25 ? s34 ? Re tk < Re tb ,
Re tk < Re tb , 14
(13.2)
2m + µ + s45 ? s12 ? Re t23 < Re tb ,
2 2 k


або

|Im tk | > Im tc , |Im tk | > Im tc , |Im tk | > Im tc , (13.3)
14 23

де tk , tk , tk — коренi рiвнянь (12).
14 23
Таким чином, внесок в амплiтуду народження вiд усiх дiаграм типу 7 не буде
мати “порогових” i “трикутних” особливостей всерединi елiпса (6), якщо мають
мiсце спiввiдношення (11) i (13).
Для одержання умов того, що “квадратнi” та “власнi” особливостi не знаходя-
ться всерединi елiпса екстраполяцiї, потрiбно обчислити детермiнанти четвертого
i п’ятого порядку (див. додаток (Д.1)) i провести аналогiчнi мiркування, як i у
випадку “порогових” i “трикутних” особливостей.
Додаток
Наведемо вирази для D1i , . . . , D7i :

2µ2 4µ2 ?µ2 5µ2 ? t 2µ2 ? t25
4µ2 8µ2 s12 ? m2 ? µ2 8µ2 ? s45 4µ2
?µ2 s12 ? m2 ? µ2 2m2 ?4µ2 s34 ? m2 ? µ2
D11 = ,
5µ2 8µ2 ?4µ2 8µ2 4µ2
?t ? s45
2µ2 ? t25 4µ2 s34 ? m2 ? µ2 4µ2 2µ2

8µ2 4µ2 ?4µ2 5µ2 ? t 8µ2 ? t25
4µ2 2µ2 s12 ? m2 ? µ2 2µ2 ? s45 4µ2
?4µ2 s12 ? m2 ? µ2 2m2 ?µ2 s34 ? m2 ? 4µ2
D21 = ,
5µ2 ? t 2µ2 ? s45 ?µ2 2µ2 4µ2
8µ2 ? t25 4µ2 s34 ? m2 ? 4µ2 4µ2 8µ2

2m2 2m2 ? µ2 t23 ? m2 ? µ2 t15 ? m2 ? 4µ2 ?µ2
2m2 ? µ2 2m2 ?µ2 s34 ? m2 ? 4µ2 s12 ? m2 ? µ2
t23 ? m2 ? µ2 ?µ2 2µ2 4µ2 2µ2 ? s45
D31 = ,
m2 4µ2 m2 4µ2 4µ2 8µ2 4µ2
t15 ? ? s34 ? ?
?µ2 m2 ? µ2 2µ2 ? s45 4µ2 2µ2
s12 ?

2m2 2m2 ? µ2 t23 ? m2 ? µ2 t15 ? m2 ? µ2 ?4µ2
2m2 ? µ2 2m2 ?4µ2 s34 ? m2 ? µ2 s12 ? m2 ? 4µ2
t23 ? m2 ? 4µ2 ?4µ2 8µ2 4µ2 8µ2 ? s45
D41 = ,
m2 µ2 m2 µ2 4µ2 2µ2 4µ2
t15 ? ? s34 ? ?
?4µ2 s12 ? m2 ? 4µ2 8µ2 ? s45 4µ2 8µ2
Аналiтичнi властивостi амплiтуд народження i метод Чу–Лоу 29

2m2 2m2 ? µ2 2m2 ? t24 t15 ? m2 ? µ2 ?4µ2
2m2 ? µ2 2m2 2m2 ? µ2 s34 ? m2 ? µ2 s12 ? m2 ? 4µ2
2m2 ? t24 2m2 ? µ2 2m2 ?µ2 s35 ? m2 ? 4µ2
D51 = ,
m2 µ2 m2 µ2 ?µ2 2µ2 4µ2
t15 ? ? s34 ? ?
?4µ2 s12 ? m2 ? µ2 s35 ? m2 ? µ2 4µ2 8µ2

2m2 2m2 ? µ2 2m2 ? t24 t15 ? m2 ? 4µ2 ?µ2
2m2 ? µ2 2m2 2m2 ? µ2 s34 ? m2 ? 4µ2 s12 ? m2 ? µ2
2m2 ? t24 2m2 ? µ2 2m2 ?4µ2 s35 ? m2 ? µ2
D61 = ,
t15 ? m2 ? 4µ2 s34 ? m2 ? µ2 ?4µ2 8µ2 4µ2
?µ2 s12 ? m2 ? µ2 s35 ? m2 ? µ2 4µ2 2µ2

2m2 2m2 ? µ2 2m2 ? t25 2m2 ? t ?µ2
2m2 ? µ2 2m2 2m2 ? µ2 2m2 ? s45 s12 ? m2 ? µ2
2m2 ? t25 2m2 ? µ2 2m2 2m2 ? µ2 2µ2 ? s45
D71 = .
2m2 2m2 2m2 µ2 2m2 µ2
?t ? s45 ?
?µ2 m2 µ2 s34 ? m2 ? µ2 ?µ2 2µ2
s12 ? ?

D12 = D11 (t25 > t24 , s34 > s45 ), D13 = D11 (s12 > t15 , s45 > t24 ),
D14 = D12 (s12 > t14 , s45 > t25 ), D15 = D13 (t25 > s45 , s34 > t23 ), (Д.1.1)
D16 = D15 (t15 > t14 , t24 > t25 ).

Вирази для D22 , . . . , D26 одержуються D21 точно такою ж замiною (стрiлка означає вiдповiдну
замiну), як i вирази для D12 , . . . , D16 з D11 .

D32 = D31 (t15 > t14 , s34 > s35 ),
D33 = D31 (t23 > s34 , t15 > s12 , s34 > s35 , s12 > t14 , s45 > t25 ),
D34 = D31 (t23 > s34 , s34 > t23 , s12 > t14 , s45 > t25 ), (Д.1.2)
D35 = D31 (t23 > s35 , t15 > t14 , s34 > t23 , s12 > t15 , s45 > t24 ),
D36 = D31 (t23 > s35 , t15 > s12 , s12 > t15 , s45 > t24 ).

Вирази для D42 , . . . , D46 одержуються D41 точно такою ж замiною, як i вирази для D32 , . . ., D36
з D31 .

D52 = D51 (t24 > t25 , t15 > t14 , s34 > s35 , s35 > s34 ),
D53 = D51 (s34 > t23 , s12 > t14 ),
D54 = D51 (t24 > t25 , t15 > t14 , s34 > t23 , s12 > t15 , s35 > s34 ), (Д.1.3)
D55 = D51 (t24 > s45 , t15 > s12 , s12 > t15 , s35 > t23 ),
D56 = D51 (t24 > s45 , t15 > s12 , s34 > s35 , s12 > t14 , s35 > t23 ).

Вирази для D62 , . . . , D66 одержуються з D61 точно такою ж замiною, як i вирази для D52 , . . . , D56
з D51 .

D72 = D71 (t25 > t24 , s34 > s35 ), D73 = D71 (s45 > t24 , s12 > t15 ),
D74 = D71 (t25 > t24 , s45 > t25 , s12 > t14 , s34 > s35 ),
(Д.1.4)
D75 = D71 (t25 > s45 , s12 > t15 , s45 > t24 , s34 > t23 ),
D76 = D71 (t25 > s45 , s45 > t25 , s12 > t14 , s34 > t23 ).

Явнi вирази для A, B i C мають вигляд:

(2m2 ? µ2 )(2m2 ? t25 )
A1 = A2 = A3 = 1, B1 = ?4m2 +
1
,
i i i
m2
30 В.I. Фущич

C1 = (µ2 ? t25 )2 ,
1
B2 = ?4m2 + 3µ2 ? t25 ? s45 ,
1


m2
C2 = 2m2 (t25 + s45 ? 3µ2 ) + m2 µ2 +
1
(t25 + s45 ? 3µ2 )2 ,
µ2

(s45 ? µ2 )(µ2 ? t25 ) m2
B3 = ?4m2 +
1 1
(2µ2 ? s45 ? t25 )2 ,
C3 =
,
µ2 µ2

µ2 (t25 ? µ2 )(s35 ? m2 )
B1 = ?2(m2 + µ2 ) +
2
(2m2 ? µ2 ), B2 = ?2(m2 + µ2 ) ?
2
,
m2 µ2

µ2 µ2
C1 = (m2 ? µ2 )2 + µ4 ?
2
(2m2 ? µ2 )(m2 + µ2 ) + 2 (2m2 ? µ2 )2 ,
m2 m

(t25 ? µ2 )(s35 ? m2 )(m2 + µ2 ) m2
C2 = (m2 ? µ2 )2 +
2
+ 2 (s35 ? m2 )2 + (t25 ? µ2 )2 ,
µ2 µ

µ2 (2m2 ? t25 ) µ2 (2m2 ? µ2 )
B3 = ?2(m2 + µ2 ) +
2
B1 = ?2(m2 + µ2 ) +
3
, ,
m2 m2

µ2 (2m2 ? t25 )(m2 + µ2 ) µ2 (2m2 ? t25 )2
C3 = (m2 ? µ2 )2 + µ4 ?
2
+ ,
m2 m2

<< Предыдущая

стр. 6
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>