<< Предыдущая

стр. 69
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

v v
e 2bs sin ?s 2ebs sin ?s 2
S · div H+ (17)
?S(? ? H ? H ? ?) + Qab ?a Hb ?
3 2 s3
24s 24m
e sin2 ?s e sin2 ?s e sin2 ?s 2
S(? ? E ? E ? ?) ? Qab ?a Eb ? S · div E,
+
8m2 s2 12s2 12m2 s2
where Qab is the tensor of the quadrupole coupling [7]
e
[3{Sa , Sb } ? ?ab s(s + 1)].
Qab =
2m2
To elucidate the physical meaning of the constituents which are included in (17) we
consider in detail the case s = 1 . Substituting into (17) the spin matrices from the
2
representation D 1 and using (15), we obtain
2
1
H 2 = HF–W ? H , (18)

where
eS(? ? E ? E ? ?)
?2 e(SH) e
H ?
F–W
div E(19)
= ?1 m+ + + e? +
4m2 8m2
2m m
is the Hamiltonian which has been previously obtained by Foldy and Wouthuysen [1]
by the diagonalization of the Dirac Hamiltonian, and
eS(? ? E ? E ? ?)
e(SH)
H = ?1 cos 2?s + cos 2?s +
4m2
m
v (20)
e e 2 sin ?s sin 2?s
S(? ? H ? H ? ?).
+ 2 cos 2?s div E +
2m2
8m
On the equations of motion for particles with arbitrary spin 305

It follows from (18), (20) that the parameter cos 2?s plays the role of the anomalous
magnetic moment of a particle. Choosing in (18), (20) cos 2?s = 0 one obtains the
operator which differs from the Foldy–Wouthuysen Hamiltonian by the existence of
the additional constituent eS(? ? H ? H ? ?)/2m2 , which describes the magnetic
spin-orbit coupling of the particle with the external field. The analogous situation
takes place for the spins.
The Hamiltonian (17) for s = 1, 3 includes the constituents which correspond to
v 2
the electrical quadrupole ( 2bs sin ?s /24s3 ) ? Qab ?a Hb and the magnetic quadrupole
(?(1 ? cos2 ?s )/24s2 ) ? Qab ?a Eb couplings.
Equation (1) with the Hamiltonians (15) can be solved exactly for many important
classes of external fields. Thus the energy spectrum of the particle with spin s = 1 2
in the homogeneous external magnetic field, has the form
2 2
? 2 + p2 eH
E =± m +? + ?
3
2 2
p2 + +
3
2m 2m
?1/2
2 1/2 (21)
2
p2
eH ?+ ?
??3 m2 cos2 2? ? p2 cos 2? + ? 2 + 3
,
3
m 2m

? 2 = (2n + 1)eH.
Thus, within the framework of the nonrelativistic quantum mechanics, when one
uses the equation in the form (1), the successive description of the particle with the
spin s ? 3 movement in the external electromagnetic fields is obtained which includes
2
the dipole, quadrupole and the spin-orbit couplings of the particle with the field.

1. Foldy L.L., Wouthuysen S.A., Phys. Rev., 1950, 68, 29.

2. Bargman V., Ann. Math., 1954, 59, 1;
Hammermesh M., Ann. of Phys., 1960, 9, 518.

3. Galindo A., Sancher del Rio C., Amer. J. Phys., 1961, 29, 582;
Eberlein W., Amer. Math. Monthly, 1962, 69, 587.

4. Levi-Leblong J.M., Comm. Math. Phys., 1967, 6, 286.

5. Harley W.J., Phys. Rev. D, 1974, 7, 1185.

6. Fushchych W.I., Grishchenko A.L., Nikitin A.G., Teor. Mat. Fiz., 1971, 8, 192 (in Russian); Theor.
Math. Phys., 1971, 8, 766.

7. James K.R., Proc. Phys. Soc., 1968, 1, 334.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 1, 306–309.

О дополнительной инвариантности
уравнения Клейна–Гордона–Фока
В.И. ФУЩИЧ

Хорошо известно, что уравнение Клейна–Гордона–Фока (КГФ)

L = p2 ? p 2 ? m 2 ,
L?(x0 , x) = 0, 0 a
(1)
? ?
x0 ? t, pa = ?i
p0 = i , , a = 1, 2, 3,
?x0 ?xa
инвариантно относительно группы Пуанкаре. В терминах алгебры Ли это означает,
что удовлетворяются следующие условия:

[L, Qi ]?(t, x) ? (LQi ? Qi L)? = 0; (2)
i = 1, 2, . . . , 10,

где Qi — базисные элементы алгебры Пуанкаре P (1, 3) имеющие такую явную
структуру:

Jµ? = xµ p? ? x? pµ , (3)
P µ = pµ , µ, ? = 0, 1, 2, 3.

В данной работе дается положительный ответ на следующий вопрос: существу-
ет ли алгебра (группа) инвариантности уравнения КГФ, унитарно неэквивалентная
алгебре (3)?
С помощью замены

p0 ? = ??1 , (4)
? = ?2 , p0 ? = 0,

где ? — постоянная величина, уравнение (1) преобразуем к системе двух уравне-
ний первого порядка относительно временной производной

?1
p0 ?(t, x) = H?(t, x), (5)
?= ,
?2

1
H= (E 2 + ? 2 )?1 ? i?2 (E 2 ? ? 2 ) , E = (p2 + m2 )1/2 , (6)
a
2?
где ?1 , ?2 , ?3 — двумерные матрицы Паули. Операторы (3) после преобразования
(4) принимают вид

{QI } : Pµ = V Pµ V ?1 = pµ ,
I I
Jab = Jab , a, b = 1, 2, 3;
(7)
ipa
J0a = V J0a V ?1 = x0 pa ? xa p0 + ?a , (?0 ? ?3 );
I I I
?a =
2p0

1 p0 p0
?1 + i 1 ? (8)
V= 1+ ?2 .
? ?
2
Доклады Академии наук СССР, 1976, 230, № 3, С. 570–572.
О дополнительной инвариантности уравнения Клейна–Гордона–Фока 307

Теорема. Уравнение (5) инвариантно относительно следующих двух алгебр:
{QII } : Pµ = pµ ,
II II II II
Jab = Jab , J0a = J0a + ?a ,
(9)
p
?a = ?ipa
II
(?0 + ?3 );
2E 2
{QIII } : P0 = H,
III III III
Pa = p a , Jab = Jab ,
(10)
H
1
J0a = x0 pa ? (xa H + Hxa ) + ?a , ?a = ?ipa
III III III
.
2E 2
2
Доказательство. Воспользуемся приемом [1, 2], с помощью которого была обна-
ружена новая симметрия уравнений Максвелла и Дирака. Осуществим над урав-
нением (5) изометрическое интегральное преобразование
1
W = v {(E + ?)(?0 + i?2 ) + (E ? ?)(?3 ? ?1 )} ; (11)
2?
?0 — единичная двумерная матрица. После этого преобразования уравнение (5)
переходит в систему двух не зацепляющихся интегро-дифференциальных уравне-
ний вида
??(t, x) 10
(12)
i = ?3 E?(t, x), ? = W ?, ?3 = ,
0 ?1
?t
где E = (p2 + m2 )1/2 — положительный псевдодифференциальный оператор.
a
Условие инвариантности (2) для уравнения (12) выглядит так
L = p0 ? ?3 E. (2 )
[L , Qi ]? ? = 0,
Непосредственной проверкой легко убедиться, что условие (2 ) удовлетворяется
для таких двух алгебр:
(2) (2)
{Q(2) } : Jµ? = xµ p? ? x? pµ ; (13)
Pµ = pµ ,
(3) (3) (3)
{Q(3) } : P0 = ?3 E, Pa = pa , Jab = Jab ,
(14)
1
(3)
J0a = tpa ? (xa H + H xa ), H = ?3 E.
2
Явная структура операторов (9) и (10) получается из операторов (13) и (14) с
помощью таких преобразований

QII = W ?1 Qi W,
(2)
(15)
i

QIII = W ?1 Qi W,
(3)
(16)
i

где
1
W ?1 = v {(E + ?)(?0 ? i?2 ) + (E ? ?)(?1 ? i?2 )} . (17)
4 ?E
Этим самым и доказана теорема. Конечно, зная явный вид операторов (9) и
(10), в справедливости теоремы можно было убедиться и прямой проверкой усло-
вий (2).
308 В.И. Фущич

Замечание 1. Помимо алгебры (7), (9), (10) уравнение (5) инвариантно, например,
относительно такой совокупности операторов:

P0 = H,
IV IV IV
Pa = p a , Jab = Jab ,
(18)
1 ipa
J0a = tpa ? (xa H + Hxa ) = tpa ? xa H + (?1 ? i?2 ).
IV
2 2?
IV IV
На решениях уравнения (5) операторы P0 , J0a можно представить в виде

ipa
tpa ? xa p0 + (?1 ? i?2 ) ?.
IV IV
P0 ? = p0 ?, J0a ? =
2?
Можно, однако, показать, что операторы (18) унитарно эквивалентны операторам
(10).
Замечание 2. Операторы (9) и (10) реализуют представления алгебры Пуанкаре
P (1, 3) в классе интегро-дифференциальных (нелокальных) операторов. Вся не-
локальность содержится в операторах ?a и ?a , поскольку E ?2 — интегральный
II III

оператор в x-пространстве.

<< Предыдущая

стр. 69
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>