<< Предыдущая

стр. 7
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

µ2 (2m2 ? µ2 )(m2 + µ2 ) µ2 (2m2 ? µ2 )2
C1 = (m2 ? µ2 )2 + µ4 ?
3
+ ,
m2 m2

(t15 ? m2 )(s45 ? µ2 )(m2 + µ2 ) m2
C2 = (m2 ? µ2 )2 +
3
+ 2 (s45 ? µ2 )2 + (t15 ? m2 )2 ,
µ2 µ

(t15 ? m2 )(s45 ? m2 )
B2 = ?2(m2 + µ2 ) ?
3 3 2 3 2
B3 = B3 (t25 > s45 ), C3 = C3 (t25 > s45 ).
,
µ2

Примiтка при коректурi. Пiсля того, як робота була здана до друку, ми, використовуючи рiвня-
ння Ландау i теореми Гурвiца про коренi многочленiв, знайшли достатi умови, при яких особливостi
довiльної дiаграми лежать за межами елiпса екстраполяцiї.


1. Chew G., Low F., Phys. Rev., 1959, 113, 1640.
2. Ascoli R., Minguzzi A., Phys. Rev., 1960, 118, 1935.
3. Wu T.T., Phys. Rev., 1961, 123, 673.
4. Ландау Л.Д., ЖЭТФ, 1959, 37, 62.
5. Cook L., Tarski J., J. Math. Phys., 1962, 3, 1.
6. Фущич В.И., Укр. мат. журн., 1963, 15, № 2, 227.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 1, 31–45.


Аналитические свойства амплитуды
рассеяния, соответствущей одному классу
диаграмм Фейнмана
В.И. КОЛОМЫЦЕВ, В.И. ФУЩИЧ


На протяжении последних лет изучению аналитических свойств амплитуды рассе-
яния в теории возмущений посвящалось большое количество работ, основной це-
лью которых было получение обычных дисперсионных соотношений и спектраль-
ных представлений. Основным методом в ряде работ является метод мажориро-
вания диаграмм Фейнмана, позволяющий сравнивать области аналитичности для
различных диаграмм. С помощью этого метода изучение аналитических свойств
вкладов от всех диаграмм рассматриваемого процесса в амплитуду рассеяния сво-
дится к изучению аналитических свойств вкладов от сравнительно небольшого
числа диаграмм. На этом пути получено доказательство аналитичности амплиту-
ды рассеяния в достаточно широкой комплексной области изменения инвариан-
тных переменных, позволившей установить справедливость обычных дисперсион-
ных соотношений, но, к сожалению, недостаточной для доказательства двойных
спектральных представлений Мандельстама [1] (см. работу [2], в которой имеется
подробный обзор работ этого и других направлений).
Темой настоящей работы является изучение аналитических свойств амплитуд
Фейнмана, соответствующих одному классу диаграмм, описанному в работе [3].
Исходным является ?-представление амплитуды рассеяния, в котором уже выпол-
нено интегрирование по одному параметру с помощью ?-функции.
Возвращение к рассмотренному ранее классу диаграмм вызвано тем, что мы
надеемся на примере этих диаграмм исследовать влияние свойств спектральных
кривых на аналитические свойства самих амплитуд. Так, в конце настоящей рабо-
ты показано отсутствие комплексных особенностей у диаграммы шестого порядка
при определенных (не являющихся необходимыми) ограничениях на массы частиц.
Однако в этом случае приходится исключать более чем один параметр из уравне-
ний Ландау. На наш взгляд, используемый в статье метод является дальнейшим
развитием метода Тарского [4], интенсивно использующего уравнения Ландау.
Ниже в п.1 будет доказана теорема об отсутствии комплексных особенностей у
фейнмановских амплитуд рассеяния определенного вида, а в п.2 — описан класс
диаграмм, вклады от которых в амплитуду рассеяния удовлетворяют условиям
теоремы п.1 (см. рис. 2).
1. Рассмотрим фейнмановскую амплитуду
n n
d?i ? 1 ? ?i {C(?)}p
i=1 i=1
(1.1)
F (s, t) = ,
{D(?; s, t)}r
Укр. мат. журнал, 1964, 16, № 5, С. 610–623.
32 В.И. Коломыцев, В.И. Фущич

у которой знаменатель
D(?; s, t) = f (?)s + g(?)t ? K(?; m2 , Mj )
2
(1.2)
i

f (?) = ?n f1 (?n?2 ) ? 0, (1.3)

g(?) = ?n?1 g1 (?n?3 ) ? 0, (1.4)

удовлетворяет условиям
?K(?; m2 , Mj ) = ?n ?n?1 k1 (?n?3 )Mj + ?n k2 (?n?3 , m2 , Mj )+
2 2 2
i i
(1.5)
+?n?1 k3 (?n?2 , m2 , Mj ) + k4 (?n?2 , m2 , Mj )
2 2
i i

и при m2 и Mj , удовлетворяющих некоторым условиям, массовый коэффициент
2
i
n
K(?) неотрицателен при всех ?i > 0 и ?i = 1. Кроме того, будем предполагать,
i=1
что k1 (?n?3 ) ? 0 при всех ?.
Покажем, что при Mj ? 0 функция F (s, t) не имеет комплексных особенностей
2

по обеим переменным s и t. С этой целью выполним интегрирование по ?n с
помощью ?-функции и в получившемся выражении
n?1
d?i {C(?)}p
i=1
(1.6)
F (s, t) = ,
{cn?1 ?n?1 + 2bn?1 ?n?1 + an?1 }r
2

здесь
cn?1 = ?k1 (?n?3 )Mj ,
2
(1.6а)

n?2
2bn?1 = ?f1 (?n?2 )s + g1 (?n?3 )t + 1? k1 (?n?3 )Mj ?
2
?i
(1.6б)
i=1

?k2 (?n?3 , m2 , Mj ) + k3 (?n?2 , m2 , Mj ) = ?f1 s + g1 t + b,
2 2
i i

n?2 n?2
1? 1? k2 (?n?3 , m2 , Mj )+
2
an?1 = ?i f1 (?n?2 )s + ?i i
i=1 i=1
(1.6в)
n?2
+k4 (?n?2 m2 , Mj ) ? 1?
2
?i f1 s + a,
i
i=1

будем менять контур интегрирования по параметру ?n?1 при аналитическом про-
должении функции F (s, t) с вещественной области s1 = Re s ? s0 , t1 = Re t ? t0
на комплексные значения этих переменных.
Более точно исследуем аналитические свойства подынтегральной функции
n?2
1? ?i
i
1
(1.7)
?(?; s, t) = d?n?1
{cn?1 ?n?1 + 2bn?1 ?n?1 + ?n?1 }r
2
0
Аналитические свойства амплитуды рассеяния 33

при фиксированных значениях остальных параметров из области интегрирования.
Все возможные особые точки функции ?(?; s, t) в пространстве переменных s =
s1 + is2 и t = t1 + it2 лежат на поверхности типа Ландау, получаемой путем
исключения параметра ?n?1 из системы уравнений
D(?; s, t) = 0,
(1.8)
?D
= 2cn?1 ?n?1 + 2bn?1 = 0,
??n?1
т.e. на поверхности
?n?1 = (2bn?1 )2 ? 4cn?1 an?1 = 0. (1.9)
Значения s и t, удовлетворяющие уравнению (1.9), соответствуют совпадающим
особым точкам в плоскости ?n?1 . К ним необходимо добавить еще особые то-
чки функции ?(?; s, t), соответствующие концам промежутков интегрирования по
?n?1 . Эти особые точки определяются из уравнений
(1.10а)
an?1 (s) = 0,
n?2 n?2
1? 1? (1.10б)
an?1 (t) = an?1 (s) + ?i cn?1 ?i + 2bn?1 ,
i=1 i=1

каждое из которых в силу условий (1.3) и (1.4) зависит только от одной перемен-
ной. В силу условия отрицательности массового коэффициента K(?) эти особые
точки лежат на вещественных осях и поэтому ими в дальнейшем интересоваться
не будем.
Исследуем следующий вопрос: какие точки поверхности (1.9) являются дей-
ствительно особыми точками функции, т. e. соответствующие им сингулярности
“зажимают” контур интегрирования в плоскости ?n?1 с разных сторон, и какие
точки не являются особыми, т.e. соответствующие им сингулярности “подходят”
к контуру с одной стороны. Обсуждение этого вопроса свяжем с тем замечанием,
что поскольку функции f1 (?n?2 ) и g1 (?n?2 ) положительны, то точки поверхно-
сти (1.9) с s2 и t2 имеющие одинаковый знак, не являются в действительности
особыми, так как мнимая часть знаменателя
Im D(?; s, t) = f s2 + gt2
не обращается в нуль при таких значениях s2 и t2 .
С этой целью рассмотрим различные области Gk в плоскости вещественных
значений s1 и t1 , показанные на рис. 1. Предварительно разделим вещественную
и мнимую части функции ?n?1 в уравнении (1.9), которое теперь будет эквива-
лентно системе
Re ?n?1 = (?f1 s1 + g1 t1 + b)2 ? (?f1 s2 + g1 t2 )2 ?
(1.11а)
n?2
?4cn?1 1? ?i s1 + a = 0,
i=1

n?2
Im ?n?1 = (g1 t2 ? f1 s2 )(b ? f1 s1 + g1 t1 ) ? 2f1 1? ?i cn?1 s2 = 0.(1.11б)
i=1
34 В.И. Коломыцев, В.И. Фущич




1. Рассмотрим теперь область G1 : [an?1 (s1 ) ? 0 ? an?1 (t) ? 0]. В этой области
в силу неравенства cn?1 ? 0 вещественная часть знаменателя

Re D(?; s1 , t1 ) = f (?)s1 + g(?)t1 ? K(?; m2 , Mj )
2
i

не обращается в нуль ни при каких ? из области интегрирования. Следовательно,
функция ?(?; s, t) является аналитической при комплексных значениях s и t с
вещественными частями, принадлежащими области G1 и произвольными мнимыми
частями.
2. В области G2 : [an?1 (t1 ) > 0 ? 2bn?1 ? 0 ? an?1 (s1 ) < 0] особые точки,
лежащие на поверхности ?n?1 (s, t) = 0, имеют мнимые части одинакового знака,
что легко увидеть, используя уравнение (1.11б) для определения отношения
n?2
f1 ?f1 s1 + g1 t1 + b + 2 1 ? ?i cn?1
f1 · 2bn?1
t2 i=1
(1.11в)
= = .
g1 {?f1 s1 + g1 t1 + b} g1 · 2bn?1
s2

Следовательно, комплексные точки s и t с вещественными частями, принадле-
жащими области G2 , являются регулярными точками функции ?(?; s, t).
3. Область G3 : [an?1 (t1 ) < 0 ? 2bn?1 (s1 , t1 ) > 0 ? an?1 (s1 ) > 0] рассматривается
аналогично области G2 , а значит, комплексные точки с вещественными частями,
принадлежащими области G3 , являются регулярными точками функции ?(?; s, t).
Прежде чем переходить к дальнейшему обсуждению, остановимся на некото-
рых важных свойствах пересечения поверхности ?n?1 (s, t) с плоскостью (s1 , t1 ),
Аналитические свойства амплитуды рассеяния 35

т.е. на свойствах вещественной спектральной кривой:
n?2
= (?f1 s1 + g1 t1 + b) ? 4cn?1 1?
2
?n?1 (s, t) ?i s1 + a = 0.(1.12)
s2 = 0
t2 = 0 i=1

Уравнение (1.12) представляет параболу в плоскости (s1 , t1 ), заключенную ме-
жду прямыми an?1 (s1 ) = 0 и an?1 (t1 ) = 0, расположенную в области G : [an?1 (s1 )
? 0 ? an?1 (t1 ) ? 0] и касающуюся этих прямых в точках их пересечения с пря-
мыми
(1.13а)
2bn?1 (s1 , t1 ) = 0
и
n?2
2bn?1 (s1 t1 ) = 2bn?1 (s1 , t1 ) + 2 1 ? (1.13б)
?i cn?1 = 0.
i=1

В справедливости этих утверждений можно легко убедиться, рассматривая
эквивалентные записи уравнения кривой

<< Предыдущая

стр. 7
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>