<< Предыдущая

стр. 71
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

S·p ?Aa ?Aa
Ea = ? ?
s
B1 = i?2 k , ,
m ?xa ?t
2 (S · ?) ? 2 S · H
[S · ?, ? 2 ]? S·E
1
2
= ??1 k ? i?1 k ? i?1 k
s
(22)
B2 ,
4m2 m2 2m2
3
S·? [S · ?, S · H]+ k 2 [(S · ?)2 , eA0 ]
2
= ? ik 3 ?2
s
+ ik 3
B3 ?2 + ?2 .
m3 m3
3 m
After this diagonalization one obtains

S·H
?2
?1
?
s
+ eA0 + k 2 ?3
V (?)H (?)V (?) = ?3 m +
2m m
k2 k2 k2 ?Eb
? 2 S · (? ? E ? E ? ?) + s(s + 1) div E + Qab + (23)
6m2 12m2
4m ?xa
k3 1 k3 ?Ha 1
S · (? ? H ? H ? ?) ?
+ Qab +o ,
m2 3 m2 m3
?xb
where Qab is the tensor of the quadrupole interaction

Qab = 3[Sa , Sb ]+ ? 2?ab s(s + 1). (24)

It is readily seen from (23) that ?k 2 can be interpreted as the dipole magnetic
moment of the particle. If s = 1 , ?k 2 = 1 (it corresponds to the “normal” dipole
2
moment), the first seven constituents of the approximate Hamiltonian coincide on
the set ?+ = 1 (1 + ?3 )? with the Foldy–Wouthuysen Hamiltonian, which had been
2
obtained from the relativistic Dirac equation. The last two terms in (23) may be
interpreted as the magnetic spin-orbit and the magnetic quadrupole interactions of
the particle with the field.
In conclusion we note that we have not required the invariance with respect to the
time reflection for eq. (6). This invariance has been ensured if one doubles (brings to
4(2s + 1)) the number of the components of the wave function and assumes that the
particle energy can take both positive and negative values. An analogous situation
takes place in the relativistic theory [7].
As in the relativistic theory, it is possible to construct for the particle with spin s
the nonrelativistic wave equations with another (different from 2(2s + 1) or 4(2s + 1))
314 W.I. Fushchych, A.G. Nikitin

number of components. For instance, the spin-one and spin-zero particles may bo
described by the Galilean-invariant equations

2 (? · p)
p2 2
(?µ p ? m)? = ?0
µ
(25)
+ ?0 ?,
2m m
where ?µ are the 10?10- or 5?5-dimensional Kemmer–Duffin–Peteu matrices. These
equations will be considered in another work.
Note. The equations obtained in [1] and in the present paper may be considered as
those with the broken Lorentz symmetry. Actually, equations (12) from [1] and (11)
from the present work have the form of the Dirac equation with the additional term
which is noninvariant under the Poincar? group, but is Galilean invariant. The second-
e
order equations with this broken symmetry have the form

(pµ pµ ? m2 )? = B?, (26)

where B = p4 /4m2 for the equations of ref. [1] and B = m(1 + 2?3 ) + p2 ?3 + p4 /4m2
for the equations from the present paper (if m0 = m, ? = 1).

1. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Salogub V.A., Lett. Nuovo Cimento, 1975, 14, № 13, 483–488.
2. Levi-Leblond J.-M., Comm. Math. Phys., 1967, 6, 286.
3. Bargman V., Ann. Math., 1954, 59, 1;
Hamermesh M., Am. of Phys., 1960, 9, 518.
4. Fushchych W.I., Grishchenko A.L., Nikitin A.G., Teor. Mat. Fiz., 1971, 8, № 2, 192–205 (in
Russian); Theor. Math. Phys, 1971, 8, 766 (in English).
5. Guertin R.F., Ann. of Phys., 1974, 88, 504; 1975, 91, 386.
6. Foldy L.L., Wouthuysen S.A., Phys. Rev., 1950, 68, 29.
7. Fushchych W.I., Lett. Nuovo Cimento, 1973, 6, № 4, 133–137.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 1, 315–320.

О группах инвариантности некоторых
уравнений релятивистской квантовой
механики
В.И. ФУЩИЧ, Ю.Н. СЕГЕДА

В данной заметке находим группы инвариантности уравнений
??(?, x) 1
= 2?(?, x), (1)
i
?? l
??(?, x) ?
= ?µ pµ ?(?, x), (2)
i pµ = i , µ = 0, 1, 2, 3,
?xµ
??
?2
где 2 = ? ?2 — оператор Даламбера, x — точка в пространстве Минковского,
?x20
l — постоянная величина.
Четырехрядные матрицы ?µ удовлетворяют соотношениям
g00 = ?gkk = 1,
?µ ?? + ?? ?µ = 2gµ? , k = 1, 2, 3; gµ? = 0, µ = ?.(3)
В уравнении (2) по повторяющимся индексам µ, подразумевается суммирование от
0 до 3. ?(?, x) — скалярная функция, ?(?, x) — четырехрядная матрица-столбец
? ?
?1 (?, x)
? ? (?, x) ?
?(?, x) = ? 2 ? (4)
? ?3 (?, x) ? .
?4 (?, x)
Переменная ? — собственное время частицы.
Обозначим через QA базисные векторы алгебры Ли некоторой группы G. Для
того чтобы уравнения (1) и (2) были инвариантными относительно группы G,
должны выполняться, по определению, следующие коммутационные соотношения:
? 1
? 2, QA ?(?, x) = 0, (5)
i
?? l
?
? ?µ pµ , QA ?(?, x) = 0. (6)
i
??
Мы иногда будем употреблять термин “алгебра инвариантности” вместо “группа
инвариантности”.
1. Найдем максимальную группу инвариантности уравнения (1) в классе диф-
ференциальных операторов первого порядка
4
j
(7)
QA = fA (?, x)Dj + fA (?, x),
j=0

УМЖ, 1976, 28, № 6, С. 844–849.
316 В.И. Фущич, Ю.Н. Сегеда

где
? ? ?
Dk = ?i (8)
D0 = i , , D4 = i , k = 1, 2, 3,
?x0 ?xk ??
{A} — некоторое множество индексов.
j
Наша задача состоит в том, чтобы найти функции fA (?, x), fA (?, x), при кото-
рых условия (5) выполняются. Условия (5) можно записать в виде
? 1 ? 1
? 2, QA = i?(?, x) i ?2, (9)
i
?? l ?? l
где ?(?, x) — некоторая дважды непрерывно дифференцируемая функция, подле-
жащая определению. Подставляя (7) в (8), получаем довольно громоздкую систему
j
дифференциальных уравнений для функций ?(?, x), fA (?, x), fA (?, x). Решая эту
систему уравнений, получим набор 17 операторов {QA }, удовлетворяющих усло-
вию (9). Эти операторы имеют следующий явный вид:
? ? ? l
A = ?i ? 2 + s2 ,
+ ? t + ? xk + 2?
?? ?t ?xk 4
? ? ? ? ?
D = i 2? + t + xk +2 , R=i , P0 = i ,
?? ?t ?xk ?? ?t (10)
? l
Pk = ?i Gµ = ? pµ ? xµ , Jµ? = xµ p? ? x? pµ ,
,
?xk 2
x0 ? t, s2 = t2 ? x2 = xµ xµ , µ, ? = 0, 1, 2, 3.
k

Операторы (10) образуют алгебру Ли и удовлетворяют коммутационным соотно-
шениям:
[A, D] = ?2iA, [D, R] = ?2iR, [R, Gµ ] = iPµ , [A, R] = iD,
[D, Pµ ] = ?iPµ , [R, Jµ? ] = 0, [A, Pµ ] = iGµ , [D, Gµ ] = iGµ ,
l
[Pµ , G? ] = ?i gµ? , [A, Gµ ] = 0, [D, Jµ? ] = 0, [A, Jµ? ] = 0,
(11)
2
[Jµ? , P? ] = i(g?? Pµ ? gµ? P? ),
[R, Pµ ] = 0, [Gµ , G? ] = 0,
[Jµ? , G? ] = i(g?? Gµ ? gµ? G? ),
[Jµ? , J?? ] = i(gµ? J?? ? gµ? J?? + g?? Jµ? ? g?? Jµ? ).
Эта алгебра Ли порождает соответствующую 17-параметрическую группу Ли,
которую по аналогии с группой инвариантности нерелятивистского уравнения
Шредингера [1–3] назовем релятивистской группой Шредингера.
Таким образом, окончательно имеем следующий результат.
Теорема 1. Уравнение (1) инвариантно относительно релятивистской группы
Шредингера, алгебра Ли которой задается коммутационными соотношения-
ми (11).
Замечание 1. Можно непосредственной проверкой убедиться, что если к операто-
рам Jµ? присоединить оператор
1 2p
Jµ4 = ? pµ ? (xµ p + pxµ ), p = (p? p? )1/2 ,
pµ = p µ ,
2 l
О группах инвариантности некоторых уравнений 317

то совокупность операторов {Jµ? , Jµ4 } удовлетворяет коммутационным соотноше-
ниям алгебры Ли группы SO(1, 4):

[Jµ? , J?? ] = i(gµ? J?? ? gµ? J?? + g?? Jµ? ? g?? Jµ? ),
[Jµ? , J?4 ] = i(g?? Jµ4 ? gµ? J?4 ), [Jµ4 , J?4 ] = iJµ? .

Замечание 2. В работе [4] была предложена релятивистская группа Галилея G5 ,
являющаяся естественным обобщением группы Галилея G4 . Группа G5 является
подгруппой релятивистской группы Шредингера.
2. В этом пункте найдем группы симметрии уравнения (2) — уравнения типа
Дирака с собственным временем.
Теорема 2. Уравнение (2) инвариантно относительно группы вращений и сдви-
гов в пятимерном пространстве Минковского.
Доказательство. Непосредственной подстановкой можно убедиться, что совоку-
пность операторов
? ? ?
Pk = ?i P4 = ?i
P0 = i , , ,
?t ?xk ??
i
Jµ? = xµ p? ? x? pµ + Sµ? , (12)
Sµ? = [?µ , ?? ],
4
1 ? ? ?
I
M = ?µ pµ ,
J4µ = ? pµ + (xµ M + M xµ ),
2
удовлетворяет условиям (6), а их коммутационные соотношения имеют следующий
вид:
[Jµ? , J?? ] = i(gµ? J?? ? gµ? J?? + g?? Jµ? ? g?? Jµ? ),
(13)
[Jµ? , P? ] = i(g?? Pµ ? gµ? P? ),

где ?, µ, ?, ?, ? = 0, 1, 2, 3, 4; g00 = ?g11 = · · · = ?g44 = 1. Из (13) видно, что сово-
купность операторов Jµ? , P? , µ, ?, ? = 0, 1, . . . , 4, является базисными элементами
алгебры Ли группы вращений и сдвигов в 5-мерном пространстве Минковского —
группы P (1, 4). Более подробно об этой группе и ее применениях в физике см. [5].
На множестве решений уравнения (2) операторы (12) можно представить в
виде
? ? ?
Pk = ?i P4 = ?i
P0 = i , , ,
?t ?xk ??
(12 )
i
= ? pµ ? xµ p4 + ?µ ,
II II
Jµ? = Jµ? , J4µ µ, ? = 0, 1, 2, 3.
2
3. До сих пор мы находили алгебры Ли групп инвариантности дифференциаль-
ных уравнений (1) и (2) в классе дифференциальных операторов первого порядка.
В [6] показано, что, например, уравнения Максвелла и Дирака допускают алге-
бру инвариантности, базисные элементы которой являются существенно интегро-
дифференциальными операторами. Это означает, что если расширить класс иско-
мых дифференциальных операторов QA до интегро-дифференциальных операто-

<< Предыдущая

стр. 71
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>