<< Предыдущая

стр. 72
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

ров, сможем обнаружить совершенно новые симметрии уравнений движения. В
318 В.И. Фущич, Ю.Н. Сегеда

этом пункте найдем несколько алгебр инвариантности для уравнения (2) в классе
интегро-дифференциальных операторов.
Теорема 3. Если на множестве решений уравнений (1) и (2) p2 > 0, то эти
µ
уравнения инвариантны относительно групп SO(1, 4) и SO(1, 5) соответст-
венно.
Доказательство проведем только для уравнения (2). Воспользуемся приемом,
предложенным в [7]. Рассмотрим оператор
1?
(P Jµ? + Jµ? P ? ) (14)
Rµ = (µ, ? = 0, 1, 2, 3, 4).
2
Оператор Rµ удовлетворяет следующим коммутационным соотношениям:

[Jµ? , R? ] = i(g?? Rµ ? gµ? R? ),
[Rµ , R? ] = iJµ? (P? P ? ),
(15)
[Jµ? , J?? ] = i(gµ? J?? ? gµ? J?? + g?? Jµ? ? g?? Jµ? ).

Введем интегральный оператор

Jµ5 = v (16)
.
P? P ?
Оператор Jµ5 удовлетворяет соотношениям

(17)
[Jµ5 , J?5 ] = iJµ? .

Из (15)–(17) следует, что операторы Jµ? , Jµ5 удовлетворяют коммутационным со-
отношениям алгебры Ли группы SO(1, 5) группы вращений в (1 + 5)-мерном про-
странстве Минковского. Теорема доказана.
Совершенно аналогично доказывается следующая теорема.
Теорема 4. Если на множестве решений уравнений (1) и (2) p2 < 0, то
µ
эти уравнения инвариантны относительно групп SO(2, 3) и SO(2, 4) соответ-
ственно.
Все найденные выше типы инвариантности уравнений связаны с преобразова-
нием пространственно-временных координат. Оказывается, что система уравнений
(2) обладает еще одним типом симметрии, обусловленным преобразованием только
компонент волновой функции ?(?, x). Базисные элементы алгебры инвариантно-
сти QA в этом случае также являются интегро-дифференциальными операторами.

Теорема 5. Уравнение (2) инвариантно относительно группы SO(1, 3), причем
базисные элементы алгебры Ли задаются формулами
µ?
(p) = S µ? + ? µ? (p), (18)
S

гдe
iµ?
S µ? = ??, µ = ? = 0, 1, 2, 3;
2
(19)
i 1 ?
? µ? (p) = ? (? µ p? ? ? ? pµ ) 2 (i?5 m ? M ).
2 p
О группах инвариантности некоторых уравнений 319

Доказательство. Для доказательства теоремы перейдем от дифференциального
уравнения (2) к эквивалентному ему интегро-дифференциальному уравнению [6–
8]. Этот переход осуществляется с помощью оператора
?
1 M
W=v ?
m = [M 2 ]1/2 ,
1 + i?5 ,
m
2
(20)
?
1 M
W=v 1 ? i?5 , ?5 = ?0 ?1 ?2 ?3 .
m
2
Оператор W использовался в работах [9, 10] для совершенно других целей.
После преобразования (20) уравнение (2) принимает вид
??
(21)
i = i?5 m?, ? = W ?.
??
Условие инвариантности (6) принимает вид
?
Q? = W QA W ?1 .
? i?5 m, Q? ? = 0, (22)
i A A
??
Из (22) видно, что все те четырехрядные матрицы, которые коммутируют c матри-
цей ?5 , образуют алгебру инвариантности уравнения (21). Базисными элементами
этой алгебры являются матрицы
i
(23)
Sµ? = [?µ , ?? ].
4
Если теперь над матрицами (23) сделать обратное преобразование W ?1 , то по-
лучим интегральные операторы (19), образующие алгебру Ли группы SO(1, 3).
Теорема доказана.
В связи с приведенными выше результатами интересно исследовать группы
симметрии уравнений типа (1) и (2) с потенциалом V (xµ xµ ). Приведем без дока-
зательства следующее утверждение.
Теорема 6. Уравнение
??
= H?(?, x),
i
??
где
1
V (x) = (x? x? )?1/2 ,
H = ? p? p? + V (x),
l
инвариантно относительно группы SO(1, 4), если H < 0, и группы SO(2, 3),
если H > 0.
Замечание 3. Если на решения уравнения (2) наложить релятивистски-инвари-
антное условие
??(?, x)
= ??(?, x), (24)
i
??
? — фиксированная масса частицы, то система уравнений (2), (24) совпадет с
обычным уравнением Дирака. Важно при этом подчеркнуть, что алгеброй инвари-
антности системы (2), (24) также будет алгебра Ли группы SO(1, 3), базисными
320 В.И. Фущич, Ю.Н. Сегеда

элементами которой будут уже не интегральные, а дифференциальные операторы,
так как в (19), согласно (24), следует положить p2 = ? 2 и m = ?.

1. Niederer U., The maximal kinematical invariance group of the free Schr?dinger equation, Helv.
o
Phys. Acta, 1972, 45, № 5, 802–810.
2. Andersson R.L., Kumei S., Wulfman C.E., Invariants of the equations of wave mechanics, Rev. Мех.
Phvs., 1972, 21, № 1, 1–35.
3. Boyer С.Р., Kalnins Е.G., Miller W.Jr., Lie theory and separation of variables, J. Math. Phys., 1975,
16, № 3, 499–511.
4. Aghassi J.J., Roman Р., Santilli R.M., New dynamical group for relativistic quantum mechanics,
Phys. Rev. D, 1970, 1, № 10, 2753–2765.
5. Фущич В.И., Представления полной неоднородной группы де Ситтера и уравнения в пятимерном
подходе, ТМФ, 1970, 4, № 3, 361–382.
6. Fushchych W.I., On the additional invariance of the Dirac and Maxwell Equations, Lett. Nuovo
Cim., 1974, 11, № 10, 508–512
7. Фущич В.И., О дополнительной инвариантности релятивистских уравнений движения, ТМФ,
1971, 7, № 1, 3–12.
8. Fushchych W., On the additional invariance of the relativistic equations of motion, Preprint ITP-70-
32, Kiev, 1970, 17 p.
9. Сhakrabarti A., Canonical form of the covariant free-particle equations, J. Math. Phys., 1963, 4,
№ 10, 1215–1222.
10. Johnson J., Chang К.К., Exact diagonalisation of the Dirac hamiltonian in an external field, Phys.
Rev. D, 1974, 10, № 8, 2421–2430.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 1, 321–323.

Максимальна та мiнiмальна групи симетрiї
атома водню
С.А. ВЛАДIМIРОВ, В.I. ФУЩИЧ
Using the representation in which the hydrogen atom Hamiltonian is diagonal, the
maximal and minimal symmetry groups of the Schr?dinger equation are found. The
o
maximal group contains any finite-dimensional Lee group as a subgroup. The minimal
group which determines the spectrum degeneracy, is SU (2) group.

Дослiдження прихованих або додаткових симетрiй рiзних рiвнянь теоретичної фi-
зики привертає увагу багатьох дослiдникiв [1–11]. В [10] показано, що для знахо-
дження групи iнварiантностi того чи iншого рiвняння найбiльш доцiльно розв’язу-
вати цю задачу в такому зображеннi, де оператор рiвняння є дiагональним. Саме
ця iдея i використовується для рiвняння Шредiнгера. В цiй роботi з’ясовується
питання, наскiльки iстотнi теоретико-груповi властивостi сукупностi операторiв,
якi комутують з оператором Гамiльтона системи. Виявилось, що максимальна гру-
па симетрiї занадто широка (вона, наприклад, для атома водню мiстить в собi
будь-яку скiнченну групу Лi), а мiнiмальна група, яка визначає кратнiсть спектра,
є унiверсальною для багатьох систем — це група SU (2).
Показано, що групу D4 для атома водню видiляє умова, щоб вона як група пе-
ретворень у просторi станiв мiстила в собi групу обертань тривимiрного простору,
що дiє також у просторi станiв.
§ 1. Максимальна група симетрiї
Розглянемо питання про симетрiю атома водню
1 1
? ?2 ? (1)
? = E?.
2 r
Нас цiкавлять оператори, якi комутують з гамiльтонiаном H, тому найбiльш зру-
чно перейти до енергетичного зображення. Оскiльки мова iде про атом водню, то
природно за базис вибрати i власнi функцiї рiвняння (1) ?nlm , якi вiдповiдають
зв’язаним станам. Цi функцiї утворюють повну систему в просторi квадратично
iнтегровних функцiй. Надалi будемо вважати, що всi оператори дiють у тому ж
просторi. Тодi оператор Гамiльтона має вигляд
1
En = ?
Hnlmm = En ?n ?l ?m ,
nl nlm
(2)
.
2n2
Лiнiйний оператор V , що комутує з (2), має такi матричнi елементи:

Vnlm m = ?n vlm .
nl n lm
(3)
lm
Тут vlm — довiльнi комплекснi числа, якi при фiксованому n утворюють матрицю
розмiрностi n2 (розмiрнiсть матрицi дорiвнює кратностi власного значення En ). Усi
такi невиродженi матрицi утворюють групу GL(n2 , C). Звiдси випливає, що група
Український фiзичний журнал, 1976, 21, № 9, С. 1460–1462.
322 С.А. Владiмiров, В.I. Фущич

iнварiантностi GL рiвняння (1) мiстить в собi групи GL(n2 , C) при n = 1, 2, . . ., а
отже, i будь-яку скiнченно-вимiрну групу лiнiйних перетворень. Звiдси, згiдно з
[12], випливає, що будь-яка скiнченна група Лi може вiдiгравати роль групи GL
системи (1).
Довiльне перетворення симетрiї квантової системи, як показано в [13], опи-
сується унiтарним чи антиунiтарним оператором. Обмежуючи групу GL умовою
унiтарностi, одержуємо групу симетрiї рiвняння (1):
? U (n2 ), (4)
GS =
n=1,2,...

де U (n2 ) — унiтарна група в n2 -вимiрному комплексному просторi. Рiвняння (1)
iнварiантне вiдносно комплексного спряження ?, яке не входить до GL . Доповнив-
ши групу (4) оператором ?, одержимо максимальну групу симетрiї рiвняння (1):
? U (n2 )] ? G? , G? = {1, ?}.
Gmax = [ (5)
L
n=1,2,...

Аналогiчно для довiльного гамiльтонiана у випадку дискретного спектра маємо
? U (Nn )] ? G? ,
Gmax = [ (6)
S
n=1,2,...

Nn — кратнiсть виродження власного значення En . Для нерелятивiстського атома
водню Nn = n2 , для релятивiстського Nn = 4n ? 2, для довiльного обертально-
iнварiантного рiвняння Nn = 2n ? 1 i т.д.
§ 2. Мiнiмальна група симетрiї
Дослiдимо питання про “зменшення” групи, яка забезпечує наявну кратнiсть
спектра оператора H. Нехай GS — група симетрiї гамiльтонiана H, T? — її зо-
браження у просторi хвильових функцiй, {Tli } — сукупнiсть усiх незвiдних зо-
бражень з розмiрнiстю li групи GS , якi входять в T? . Тодi, згiдно з [13], можна
стверджувати, що H має власнi значення, кратнiсть яких не менша за li . Звiдси
випливає, що групою симетрiї оператора H, яка забезпечує необхiдну кратнiсть
виродження спектра, може бути така група GE , серед незвiдних зображень якої
є зображення розмiрностi li при всiх i. Цi вимоги задовольняє група SU (2), яка
має незвiднi зображення будь-якої цiлої та скiнченної розмiрностi mi = 2si + 1.
Оскiльки li — цiле, рiвняння
(7)
mi = 2si + 1 = l1
завжди розв’язується в цiлих або пiвцiлих si .
Покажемо, що SU (2) є мiнiмальною за розмiрнiстю групою серед груп GE .
Одновимiрна група Лi є абелевою i не може задавати кратнiсть спектра H. Єдина
група Лi з G розмiрнiстю, що дорiвнює двом, розв’язується [14] i, отже, її незвiднi
зображення одновимiрнi. Серед груп Лi з розмiрнiстю, що дорiвнює трьом, нам
пiдходить лише група SU (2), оскiльки iншi групи або розв’язнi, або не мають
унiтарних зображень потрiбної розмiрностi. Для атома водню li = l2 i з (7) маємо
12
(i ? 1), (8)
si = i = 1, 2, . . . ,
2

?Tsi . (9)
T? =
i=1,2,...
Максимальна та мiнiмальна групи симетрiї атома водню 323

Таким чином, для довiльного рiвняння Шредiнгера, зв’язанi стани якого утво-
рюють базис i кратностi рiзних власних значень не збiгаються i скiнченнi, кра-
тнiсть спектра можна пояснити, виходячи з групи SU (2).
§ 3. Група O4
З результатiв § 1 та § 2 випливає, що теоретико-груповi властивостi сукупностi
операторiв, якi комутують з оператором H, дуже слабо пов’язанi з фiзичними
властивостями системи.

<< Предыдущая

стр. 72
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>