<< Предыдущая

стр. 73
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

З’ясуємо умови, якi видiляють групу O4 з усiх iнших груп симетрiї рiвняння
Шредiнгера для атома водню. Зафiксуємо зображення групи обертань фiзичного
простору в просторi станiв атома водню. Тодi пiдпростiр власних функцiй ?nlm , якi
вiдносяться до власного значення En , утворює звiдне зображення Tn групи SO3 .
Розкладаючи Tn на незвiднi компоненти, бачимо, що до нього входять по одно-
му разу незвiднi зображення групи SO3 з вагою 0, 1, 2, . . . , n ? 1.
Простим пiдрахунком можна показати, що серед класичних груп малих роз-
мiрностей лише O4 має при довiльному n незвiднi зображення розмiрностi n2 , якi,
будучи розкладеними по пiдгрупi SO3 , мiстять у собi вагу 0, 1, 2, . . . , n ? 1. Таким
чином, можна сказати, що використання групи O4 у випадку атома водню тiсно
пов’язане з тим, як дiє група обертань тривимiрного фiзичного простору в просторi
станiв квантової системи.

1. Fok V.A., Zs. Phys., 1936, 98, 145.
2. Добронравов Ю.А., Вестник ЛГУ, 1957, № 10, 5.
3. Аллилуев С.П., ЖЭТФ, 1958, 33, 200.
4. НiII F.M., Jauch J.M., Phys. Rev., 1950, 57, 641.
5. Демков Ю.М., Вестник ЛГУ, 1953, № 11.
6. Переломов А.М., Попов В.С., ДАН СССР, 1968, 181, 320.
7. Малкин И.А., Манько В.И., Письма в ЖЭТФ, 1968, 7, 105.
8. Малкин И.А., Манько В.И., ЖЭТФ, 1968, 55, 287.
9. Малкин И.А., Манько В.И., Ядерная физика, 1968, 8, 1264.
10. Фущич В.И., ТМФ, 1971, 7, № 1, 3–12.
11. Аронсон Э.Б., Малкин И.А., Манько В.И., Физика злементарних частиц й атомного ядра, М.,
Атомиздат, т. 5, 1974, С. 122.
12. Адо И., О представлении конечных непрерывных групп с помощью линейиых подстановок, Изв.
ФМО, Казань, 1934/35, 7, 3.
13. Вигнер Е., Теория групп, М., ИЛ, 1961.
14. Джекобсон Н., Алгебры Ли, М., Мир, 1964.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 1, 324–338.

Редукция неприводимых унитарных
представлений обобщенных групп Пуанкаре
по их подгрупах
А.Г. НИКИТИН, В.И. ФУЩИЧ, И.И. ЮРИК
The problem of the reduction of the generalized Poincar? groups P (1, n) representa-
e
tions by their subgroups P (1, n ? k) is considered. The explicit form of the unitary
operator connecting the canonical representation basis with the P (1, n ? k))-basis is
given explicitly. The case of the inhomogeneous De Sitter Group is considered in detail.

Рассматривается задача о редукции унитарных неприводимых представлений обоб-
щенных групп Пуанкаре P (1, n) по их подгруппам P (1, n ? k). Находится яв-
ный вид унитарного оператора, связывающего канонический базис представления
с P (1, n ? k)-базисом. Явно задается действие генераторов в P (1, n ? k)-базисе.
Подробно рассмотрен случай неоднородной группы де Ситтера.

Введение
Обобщенная группа Пуанкаре P (1, n) является полупрямым произведением
групп SO0 (1, n) и T , где T — аддитивная группа n-мерных вещественных векторов
p0 , p1 , . . . , pn , а SO0 (1, n) — связная компонента единицы в группе всех линейных
преобразований T на T , сохраняющих квадратичную форму p2 ? p2 ? · · · ? p2 . n
0 1
В [1, 2] предложено использовать группы P (1, n), P (1, 6), P (1, 4) для описания
физических систем с переменной массой и спином. Примером такой физической
системы является система из двух (или трех) свободных релятивистских частиц.
Действительно, в этом случае оператор энергии имеет вид

P 2 + M 2, M = (m2 + K 2 )1/2 + (m2 + K 2 )1/2 , (0.1)
E= 1 2

где P = P (1) +P (2) — импульс центра масс частиц, K — относительный импульс1 .
Формула (0.1), как хорошо известно [3, 4], получается при редукции прямого
произведения двух унитарных неприводимых представлений группы P (1, 3). По-
скольку неприводимое представление группы P (1, n > 3) является приводимым
относительно P (1, 3), то естественно рассмотреть задачу о редукции этих пред-
ставлений по неприводимым представлениям группы Пуанкаре2 .
Помимо указанных приложений, обобщенные группы P (1, 4), P (2, 3) и т.д. мо-
гут иметь прямое отношение к задаче о расширении S-матрицы за массовую обо-
лочку [5] и для описания частиц с внутренней структурой [2, 6]. Во всех этих
задачах первоочередным вопросом является редукция неприводимых представле-
ний P (1, n) > P (1, 3).
Теоретическая и математическая физика, 1976, 26, № 2, С. 206–220.
Препринт ИМ-75-5, Институт математики АН Украины, Киев, 1975, 32 с.
1 Более подробно об этом см. [2] (и цитированную там литературу).
2 На самом деле производится редукция представлений алгебры Ли. Алгебры Ли и соответству-

ющие им группы обозначаются одинаковыми символами. В [11] рассмотрена редукция приводимых
представлений алгебры P (1, n) по P (1, 3).
Редукция неприводимых унитарных представлений обобщенных групп 325

В данной работе произведена редукция неприводимых унитарных представле-
ний группы P (1, n) > P (1, n ? k) для случая, когда оператор квадрата “массы”
Pµ P µ = P0 ? Pk = ? 2 ? 0 (k = 1, 2, . . . , n) и энергии P0 > 0.
2 2 2

В разделе 1 приводятся необходимые сведения о представлениях группы
P (1, 4) — неоднородной группы де Ситтера — и формулируется задача редукции
P (1, 4) > P (1, 3). В разделе 2 находится унитарный оператор, связывающий ка-
нонический базис группы P (1, 4) с P (1, 3)-базисом. Здесь же приведена редукция
P (1, 4) > P (1, 3) > P (1, 2). Раздел 3 посвящен редукции P (1, n) > P (1, n ? 1) >
· · · > P (1, n ? k).
1. Основные определения и постановка задачи
Группа P (1, 4) является наиболее естественным обобщением группы Пуанкаре
P (1, 3), поэтому мы подробно рассмотрим редукцию P (1, 4) > P (1, 3). Часть ре-
зультатов, приведенных для группы P (1, 4), легко переносится на случай группы
P (2, 3). Группа P (1, 4) имеет три основных инварианта [1]3 :
12
P 2 = Pµ = P0 ? P a ? P 4 ,
2 2 2 2
V12 = ?,
2 µ?
(1.1)
1 1
V22 = ? Jµ? ? µ? , = ?µ???? P ? J ?? .
?µ?
4 2
Алгебра Ли группы P (1, 4) порождается операторами Pµ , Jµ? , которые удовлетво-
ряют коммутационным соотношениям

[Pµ , J?? ] = i(gµ? P? ? gµ? P? );
[Pµ , P? ] = 0;
(1.2)
[Jµ? , J?? ] = i(gµ? J?? + g?? Jµ? ? g?? Jµ? ? gµ? J?? ).

Генераторы Pµ , Jµ? в каноническом базисе |p, p4 , j3 , ?3 ; j, ?, ? имеют вид

p2 + p2 + ? 2 ,
P0 = E = Pk = p k ,
a 4

? ?
? ipa
Jab = ipb + Sab , a, b = 1, 2, 3;
?pa ?pb
(1.3)
? Sab Pb + S4a P4 ? ?
J0a = ?ip0 ? ? ip4
, J4a = ipa + S4a ,
E+?
?pa ?p4 ?pa
? S4b Pb
J04 = ?ip0 ? ,
E+?
?p4
где Skl (k, l = 1, 2, 3, 4) — матрицы неприводимого представления D(j, ? ) алгебры
Ли группы SO(4) ? SU (2) ? SU (2). Числа ?, j, ? характеризуют неприводимые
2
представления класса I (Pµ > 0) группы P (1, 4). В пространстве H неприводимого
представления группы P (1, 4) операторы
V1 ?V2 V1 ?V2
?
2 2
Ja = + = j(j + 1)I, Ta = = ? (? + 1)I,
4? 2 4? 2
2? 2?
(1.4)
P0
Pµ = ? 2 I,
2
?=
|P0 |
3 Обозначения, приведенные без объяснений, те же, что и в [1].
326 А.Г. Никитин, В.И. Фущич, И.И. Юрик

кратны единичному оператору. Матрицы Ja , Ta выражаются через матрицы Skl
следующим образом:
1 1
(?abc Sbc ? S4a ). (1.5)
Ja = (?abc Sbc + S4a ), Ta =
2 2
Операторы (1.3) определены на пространстве Гординга D ? H (см. дополнение).
Базисные векторы |p, p4 , j3 , ?3 ; j, ?, ? 4 нормированы согласно
p, p4 , j3 , ?3 ; j, ?, ?|p , p4 , j3 , ?3 ; j, ?, ? = 2p0 ? (3) (p ? p ])?(p4 ? p4 )??3 ?3 ?j3 j3 ,
а скалярное произведение имеет вид
d4 p +
(?1 , ?2 ) = ? (pk , j3 , ?3 )?2 (pk , j3 , ?3 ).
2p0 1
Базис неприводимого представления группы P (1, 4), в котором диагональны
операторы квадрата массы M 2 = P0 ? Pa и спина W 2 = W0 ? Wa , а также
2 2 2 2

операторы Pa и S3 , будем называть пуанкаре-базисом и обозначать его через
|p, m, s, s3 ; j, ?, ? .
Базисные векторы нормируем согласно
p, m, s, s3 ; j, ?, ?|p , m , s , s3 ; j, ?, ? = 2p0 ?(m ? m )? 3 (p ? p )?ss ?s3 s3 , (1.6)
а это означает что
d3 p +
(?1 , ?2 ) = dm ? (s, s3 , m)?2 (s, s3 , m).
2p0 1
s

Собственные значения операторов M 2 и W 2 соответствуют неприводимым пред-
ставлениям группы P (1, 3).
Наша задача состоит в том, чтобы определить спектр возможных значений M 2
и W 2 , найти явный вид генераторов Jµ? и Pµ в P (1, 3)-базисе и отыскать унитар-
ный оператор, связывающий базис |p, p4 , j3 , ?3 ; j, ?, ? и базис |p, m, s, s3 ; j, ?, ? .
2. Редукция P (1, 4) > P (1, 3)
1. Неприводимое представление (1.3) характеризуется величиной ? 2 > 0 и чи-
слами j, ? , задающими неприводимое представление малой группы SO(4). При су-
жении на подгруппу P (1, 3) пространство H разлагается в прямую сумму P (1, 3)-
инвариантных подпространств Hp4 (одно для каждого значения p4 ). Подпространс-
тва Hp4 неприводимы относительно P (1, 3) тогда и только тогда, когда представ-
ления малой группы P (1, 3) неприводимы. Пересечение групп SO(4) и P (1, 3) есть
малая группа в P (1, 3), соответствующая орбите p2 ? p2 = p2 + ? 2 , а это груп-
a
0 4
па SO(3). Поэтому отсюда следует, что пространство H разлагается на подпро-
странства, соответствующие унитарным неприводимым представлениям подгруппы
P (1, 3) со следующими значениями массы m и спина s:
? 2 ? m2 < ?, |j ? ? | ? s ? j + ?. (2.1)
Оператор V4 , связывающий канонический базис с P (1, 3)-базисом, является
некоторой матрицей (зависящей от переменных p, p4 ), заданной в пространстве
|p, p4 , j3 , ?3 ; j, ?, ? мы будем называть каноническим.
4 Базис
Редукция неприводимых унитарных представлений обобщенных групп 327

неприводимого представления группы P (1, 4) размерности (2j +1)(2? +1), поэтому
естественно для нахождения его явного вида воспользоваться разложением по
полной системе ортопроекторов. Будем искать оператор V4 в виде

(2.2)
V4 = arl (p, p4 )Ar Bl ,
r l

где
J ·p T ·p
?r ?l
p p
p2 ) (2.3)
Ar = , Bl = (p =
r?r l?l a
r=r l=l

являются операторами проектирования на собственные подпространства эрмито-
J ·p T ·p
вых операторов , , удовлетворяющие условиям ортогональности и пол-
p p
ноты
j j
J ·p
Ar Ar = ?rr Ar , Ar = 1, = rAr ,
p
r=?j r=?j
(2.4)
? ?
T ·p
Bl Al = ?ll Bl , Bl = 1, = lBl .
p
l=?? l=??

Обратный оператор V4?1 имеет вид

V4?1 = a?1 (p, p4 )Ar Bl . (2.5)
rl
r l

Поскольку генераторы P0 , Pa , Jab , J0a в P (1, 3)-базисе имеют канонический вид
Вигнера–Широкова, то оператор V4 должен удовлетворять условиям

V4 P0 V4?1 = m2 = ? 2 + p2 ,
p 2 + m2 , (2.6)
a 4

V4 Pk V4?1 = pk , (2.7)

? ?
V4 Jab V4?1 = ipb ? ipa (2.8)
+ Sab ,
?pa ?pb

? Sab pb
V4 J0a V4?1 = ?ip0 ? ? J0a , (2.9)
?pa p0 + m

где P0 , Pa , Jab , J0a , Sab — из (1.3). Из (2.6)–(2.8) следует, что функции arl и a?1
rl
являются скалярами относительно трехмерных вращений, т.е.

a?1 (p, p4 ) = a?1 (p2 , p4 ).

<< Предыдущая

стр. 73
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>