<< Предыдущая

стр. 74
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

arl (p, p4 ) = arl (p2 , p4 ), (2.10)
rl rl

Окончательную структуру функций arl и a?1 определяет соотношение (2.9). За-
rl
пишем его в форме
((p ? J )a + (p ? T )a )(? ? m) (Ja ? Ta )p4
[V4?1 , J0a ]V4 = (2.11)
+ .
(E + m)(E + ?) E+?
328 А.Г. Никитин, В.И. Фущич, И.И. Юрик

Из уравнения (2.11) найдем условия, которым должны удовлетворять функции
arl и a?1 . Для вычисления в явном виде коммутатора, входящего в левую часть
rl
уравнения (2.11), воспользуемся соотношениями [7]

(p ? J )a
? 1
= ? 2 [Ar , (p ? J )a ] = (2Ar ? Ar?1 ? Ar+1 )+
Ar , i
2p2
?pa p
pa J ? p
i
Ja ? (Ar+1 ? Ar?1 ),
+
2p p p
(2.12)
(p ? T )a
? 1
= ? 2 [Bl , (p ? T )a ] = (2Bl ? Bl?1 ? Bl+1 )+
Bl , i
2p2
?pa p
pa T ? p
1
Ta ? (Bl+1 ? Bl?1 ).
+
2p p p

Подставляя (2.2), (2.5) в (2.11) и учитывая (2.12), приходим к уравнению

?
[V4?1 , J0a ]V4 = a?1 Ar l , ?iE ?
rl
?pa
l,r,l ,r

pa ?a?1
(p ? J )a + (p ? T )a
? Ar Bl arl Ar Bl ?
rl
arl Ar Bl = i
E+m p ?p
l,r,l ,r

(p ? T )a + (p ? J )a
?
?a?1 iE + , Ar Bl arl Ar Bl =
rl
?pa E+m

pa ?a?1 ?
Earl Ar Bl ? ma?1 arl
rl
= Ar , i Bl +
rl
p ?p ?pa
l ,r ,l,r

pa ?a?1
? (2.13)
arl ?
rl
+ Bl , i Ar Ar Bl = iE
?pa p ?p
r,l

(p ? J )a (p ? T )a
(2a?1 ? a?1 l ? a?1 l ) + (2a?1 ?
?m rl r+1 r?1 rl
2 2
p p

pa J · p)a
i
(a?1 l ? a?1 l )+
?ar l+1 ? ar l?1 + Ja ? r?1 r+1
2p p p

pa T · p
(a?1 ? a?1
+ Ta ? Ar Bl =
r l?1 r l+1
pp
[(p ? J )a + (p ? T )a ](? ? m) (Ja ? Ta )p4
= + .
(E + m)(E + ?) E+m

Приравнивая в (2.13) коэффициенты при линейно-независимых векторах

pa
(p ? J )a Ar Bl и (p ? T )a Ar Bl ,
i Ar Bl , Ta Ar Bl , Ja Ar Bl ,
p
Редукция неприводимых унитарных представлений обобщенных групп 329

получаем
?a?1 m
r a?1 l ? a?1 l arl + l a?1 ? a?1 arl = 0,
rl
arl + r?1 r+1 r l?1 r l+1
?p 2p
im ?1 p4
ar?1 l ? a?1 l arl = ? ,
E+?
r+1
2p
im ?1 p4
ar l?1 ? a?1 arl = (2.14)
,
E+?
r l+1
2p
m??
m
2a?1 ? a?1 l ? a?1 l arl = ,
(E + m)(E + ?)
rl r?1 r+1
2p2
m??
m
2a?1 ? a?1 ? a?1 arl = .
(E + m)(E + ?)
rl r l?1 r l+1
2p2
После несложных преобразований система (2.14) приводится к виду
?a?1 p4
(r ? l) = 0,
rl
E arl + i
E+?
?p
?E + m2 ? ipp4
a?1 l arl = = exp(±i?4 ),
m(E + ?)
r±1
(2.15)
?E + m ± ipp4
2
a?1 arl = = exp(?i?4 ),
m(E + ?)
r l±1

pp4 pp4
?4 = arctg 2 = 2 arctg .
m + ?E (E + m)(m + ?)
Покажем, что общее решение системы (2.15) задается формулой
arl = R4 exp i(r ? l)?4 , (2.16)
где R4 — произвольная функция от p4 . Действительно, представляя arl в форме
arl = Brl exp[iE(r ? l)?4 ? Crl ], (2.17)
где Brl , Crl — функции от p2 , p4 , получаем из (2.15)
(2.18)
Brl = Br±1 l = Br l±1 = B; Crl = Cr±1 l = Cr l±1 = C.
Обозначив Beic через R4 и подставляя (2.19) в (2.17), приходим к (2.16). Легко
видеть, что подстановка (2.16) в (2.17) обращает последнее уравнение в тождество.
Из (1.6) следует, что R4 = m/p4 .
Принимая во внимание соотношение
S4a pa
(r ? l)Ar Bl (2.19)
=
p
и подставляя (2.16) в (2.2), получаем
m S4a pa pp4
2 arctg (2.20)
V4 = exp i .
(E + m)(E + ?)
p4 p
Формула (2.20) задает искомый оператор преобразования из канонического базиса
к P (1, 3)-базису.
330 А.Г. Никитин, В.И. Фущич, И.И. Юрик

Теперь найдем явный вид генераторов J04 , J4a в P (1, 3)-базисе. Используя
тождество Хаусдорфа–Камбела
?
{B, A}(n)
?A
A
e Be = ,
n! (2.21)
n=0

{B, A}(n) = [{B, A}(n?1) , A], {B, A}(0) = B,
имеем
Sab pb (m ? ?)
? ?1 ? pa S4b pb p4 p4 S4a
?
V4 i V4 = i + + ,
(E + ?)(E + m)Em m(E + ?) m(E + m)(E + ?)
?pa ?pa
S4a (m2 + ?E) pa S4b pb (m ? ?) Sab pb p4
V4 S4a V4?1 = + + ,
m(E + ?) p mp(E + m)(E + ?) m(E + ?)
?2 ?S4b pb
? ?1 ? S4a pa
? ?
V4 i V4 = i + ,
E(E + ?)
2p4 m2 Em2
?p4 ?p4
Sab pb p(m ? ?)
pp4 S4b pb pp4 S4a
V4 Sab pb V4?1 = Sab pb + + + .
(E + ?)(E + m)Em m(E + ?) m(E + m)(E + ?)
v
Сделав затем замену переменных p4 > ?4 m2 ? ? 2 , ? = ±1, получаем явный
вид операторов J04 , J4a в P (1, 3)-базисе.
Итак, мы пришли к окончательному результату.
Теорема. Пространство H унитарного неприводимого представления группы
P (1, 4) с ? 2 > 0, P0 > 0, разлагается на подпространства, соответствующие
унитарным неприводимым представлениям подгруппы P (1, 3) со следующими
значениями инвариантов M 2 и W 2 : ? 2 ? m2 < ?, |j ? ? | ? s ? j + ? . Опера-
тор перехода от базиса |p, p4 , j3 , ?3 ; j, ?, ? к P (1, 3)-базису задается формулой
(2.20), а операторы Jµ? , Pµ в P (1, 3)-базисе имеют вид

m2 + ? 2 , ?4 = ±1,
p 2 + m2 ,
P0 = Pa = p a , P4 = ? 4
? ? ? Sab pb
? ipa J0a = ?ip0 ?
Jab = ipb + Sab , ,
?pa ?pb ?pa E+m
?2 ? ? S4a pa
J04 = ?iE 1 ? 2, ?
?4 ,
m ?m mm (2.22)
?2 ? ?2 ?
1? ? i?m 1?
J4a = ipa ?4 , +
m2 ?m m2 ?pa

?pa S4b pb ? 2 Sab pb ?
1?
+ + ?4 + S4a ,
m2 (E + m) 2 E+m
m m
где

{A, B} ? AB + BA.
Редукция неприводимых унитарных представлений обобщенных групп 331

Замечание. Если в (2.22) положить ? = 0 (p4 = 0), то операторы Jµ? , Pµ имеют
вид [1]

? ?
? ipa
m2 = p2 ,
p 2 + m2 ,
P0 = Jab = ipb + Sab ,
4
?pa ?pb
?2 ?
J04 = ?iE 1 ? 2,
?4 ,
m ?m

?2 ? ?2 ?
i Sab pb
1? ? i?4 1? ? ?4

<< Предыдущая

стр. 74
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>