<< Предыдущая

стр. 75
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

J4a = pa ?4 , .
m2 ?m m2 ?pa
2 E+m

2. В случае ? 2 < 0 генераторы канонического неприводимого представления
группы P (1, 4) выглядят так:

p2 ? ? 2 , Pµ P µ = ?? 2 ,
P0 = Pk = p k ,
k

? ? ?
? ipa J0a = ?ip0
Jab = ipb + Sab , + S0a ,
?pa ?pb ?pa
Sab pb ? Sa0 P0
? ? ? S0a pa
? ipa ? J04 = ?ip0 ?
Ja4 = ip4 , ,
?pa ?p4 p4 + ? ?p4 p4 + ?

где Sµ? — генераторы неприводимого представления группы SO0 (1, 3). С помощью
изометрического преобразования

S0a pa p
V = exp ?i arcth
p E
v
и последующей замены переменной p4 > ?4 m2 ? ? 2 получаем

p 2 + m2 , m2 + ? 2 ,
P0 = Pa = p a , P4 = ? 4
a
? ? ? Sab pb
? ipa J0a = ?ip0 ?
Jab = ipb + Sab , ,
?pa ?pb ?pa E+m
? ? S0a pa
= ?ip0
J04 + ,
?p4 mm
?2 ?
i ?
? i?4 m2 + ? 2
Ja4 = pa 1 + 2, +
2 m ?m ?pa

? 2 Sab pb
?pa Sab pb ?
1? 2
+2 + S0a + ?4 .
m (E + m) m m E+m

Если p2 > ? 2 , то эти формулы задают представление группы P (1, 4) в P (1, 3)-
4
базисе.
3. В некоторых физических задачах, когда нарушена P (1, 3)-симметрия, но
сохраняется еще симметрия относительно подгруппы P (1, 2), удобно использо-
вать P (1, 2)-базис. В связи с этим интересно продолжить редукцию до подгруппы
332 А.Г. Никитин, В.И. Фущич, И.И. Юрик

P (1, 2). Это означает переход к такому базису, в котором генераторы P0 , P? , J??
(?, ? = 1, 2) имеют каноническую форму

m2 = m2 + p2 ,
p 2 + m2 ,
P0 = E = P? = p ? ,
? 3 3
3

? ? ? S?? p?
? ip1 J0? = ?ip0 ?
J12 = ip2 + S12 , .
?p1 ?p2 ?p? E + m3
Найдем вид остальных генераторов группы P (1, 4). Для этого достаточно опреде-
лить оператор V3 , удовлетворяющий условиям
V3 P0 V3?1 = E, V3 P? V3?1 = p? , (2.23)
? S?? p?
V3 J0? V3?1 = ?ip0 ? (2.24)
,
?p? E+m
где операторы P0 , P? , J0? , S?? заданы в P (1, 3)-базисе.
Представим V3 в виде
S3? p?
|p|3 = p2 + p2 , (2.25)
V3 = R3 exp i ?3 ,
|p|3 1 2

где R3 и ?3 — некоторые функции от p3 , p4 и |p|3 , p3 , p4 , соответственно. Чтобы
определить эти функции, подставим (2.25) в (2.24). Тогда имеем
(m ? m3 )S?? p?
? S?? p? S?3 p3
V3?1 , ?ip0 ? V3 = ? (2.26)
+ .
?p? E + m3 E + m (E + m3 )(E + m)
Используя (2.21), получаем
? S?? p? p? ??3 S3? p?
V3?1 , ?ip0 ? V3 ? ?
E
|p|3 ?|p|3 |p|3
?p? E + m3
(2.27)
S?? p? m3 p? S3? p?
?m3 (1 ? cos ?3 ) + S3? ? sin ?3 ,
|p|3 |p|3 |p|3 |p|3
откуда
|p|p3
?3 = 2 arctg (2.28)
.
(E + m3 )(m3 + m)
Множитель R3 выберем в виде R3 = m3 /p3 , тогда скалярное произведение в
P (1, 2)-базисе будет иметь форму
? ?
d2 p +
(?1 , ?2 ) = dm dm3 ? ?2 .
2E 1
? m

Теперь, используя (2.24), (2.27), можно найти действие генераторов J03 , J04 ,
J34 группы P (1, 4) в P (1, 2)-базисе. Имеем
? ?
? ??
2
i m m S3? p?
J03 = ? E ?3 1 ? ?
, , ?3 = p3 /|p|3 ,
2? ?m3 ? m3 m3
m3
? ?
im ? ? ? ?m3
2
? 2
m
=? 1? 1?
J43 ?3 ?4 , + S43 ,
2? ?m ? m2
m3 m
Редукция неприводимых унитарных представлений обобщенных групп 333
?? ? ?
i ?? ??
2
? ? ? ?S4? p?
2
m
=? E 1? 1? ?
J04 ?3 , + ?4 , +
? ?m3 ?
2 m3 m ?m mm3

2 2
? 2
m S3? p? m S43
1? 1? ? ??3 1?
+?3 ?4 E .
m2
m3 m m3 m3


3. Редукция P (1, n) > P (1, n ? 1) > · · · > P (1, n ? k)
1. Покажем сначала, как представление алгебры P (1, n) может быть задано в
P (1, n ? 1)-базисе. Каноническое неприводимое представление генераторов группы
P (1, n) задается формулами

p2 + ? 2 ,
P0 = E = Pk = p k , k = 1, 2, . . . , n,
k

? ?
? ipa
Jab = ipb + Sab , a, b < n, (3.1)
?pa ?pb
? Sab pb San pn
= ?ip0 ? ?
J0a ,
P0 + ? P0 + ?
?pa

? Sna pa ? ?
J0n = ?ip0 ? ? ipa (3.2)
, Jan = ipn + San ,
P0 + ?
?pn ?pa ?pn

здесь Skl — матрицы неприводимого представления D(m1 , m2 , . . . , m[n/2] ) алгебры
SO(n), mi — числа Гельфанда–Цетлина. Операторы (3.1) эрмитовы относительно
скалярного произведения
dn p +
(3.3)
(?1 , ?2 ) = ? ?2 .
2p0 1
В P (1, n ? 1)-базисе генераторы (3.1) по определению имеют вид прямой суммы
генераторов канонических представлений группы P (1, n ? 1). Если представление
алгебры SO(n) задано в базисе SO(n) ? SO(n ? 1) ? · · ·, то эти генераторы имеют
форму

m2 = ? 2 + p2 ,
P a + m2 ,
2
P0 = E = Pa = p a ,
n n n
(3.4)
? ? ? Sab pb
? ipa J0a = ?ip0 ?
Jab = ipb + Sab , .
?pa ?pb ?pa E + mn
Задача нахождения явного вида генераторов Pµ , Jµ? в P (1, n ? 1)-базисе сводится
к отысканию изометрического оператора, преобразующего генераторы (3.1) к виду
(3.4).
По аналогии с разделом 2 оператор преобразования будем искать в виде
1/2
Sna pa
|p|n = p2 (3.5)
Vn = Rn exp i ?n , ,
|p|n a
a<n

где Rn и ?n — некоторые функции от pn и pn , |p|n , соответственно, которые
предстоит найти.
334 А.Г. Никитин, В.И. Фущич, И.И. Юрик

Оператор Vn преобразует (3.1) к (3.4), если выполняются соотношения
Sab pb (? ? mn ) Sna pn
?1
(3.6)
[Vn , J0a ]Vn = + .
(E + mn )(E + ?) E + ?
Подставляя (3.4), (3.5) в (3.6) и используя тождества
? ? pa ??n Snb pb
?1
?
Vn i Vn = i +
|p|n ?p |p|n
?pa ?pa
Sab pb 1 pa Snb pb
(1 ? cos ?n ) ? Sna ?
+ sin ?n ,
|p|n |p|n |p|n |p|n
2

?1 ?1
Vn Sab pb Vn = p2 (Vn xa Vn ? xa ),
приходим к уравнению

pa ??n Snb pb Sab pb
?m (1 ? cos ?n )?
E
|p|n ?|p|n |p|n |p|2
n

Sab pb (? ? mn )
1 pa Snb pb Sna pn
? Sna ? = + .
|p|n |p|2 (E + mn )(E + ?) E + ?
n

pa Snb pb Sab pb
Приравнивая коэффициент при линейно-независимых векторах ,
|p|n |p|n |p|n
и Sna , получаем систему уравнений для искомых функций ?n
|p|n pn
??n mn
?
E sin ?n = 0, mn sin ?n = ,
|p|n E+?
?|p|n
(3.7)
p2 (? ? mn )
mn (cos ?n ? 1) = .
(E + mn )(E + ?)
Решение системы (3.7) задается формулой

<< Предыдущая

стр. 75
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>