<< Предыдущая

стр. 76
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

|p|n pn
2
?n = arctg (3.8)
.
(E + mn )(mn + ?)
Из условия нормировки базисных векторов получаем, что множитель Rn =
mn /pn .
Теперь, используя явный вид оператора Vn , нетрудно найти выражения для
генераторов J0n , Jan в P (1, n ? 1) базисе. Принимая во внимание тождества
? ?1 ? pa pn Sab pb
?
Vn i Vn = i +
Emn (E + mn )(E + ?)
?pa ?pa
Sab pb (mn ? ?)
pn Sna
+ + ,
mn (E + ?) mn (E + mn )(E + ?)
m2 + ?E pn Snb pb (mn ? ?) pn Sab pb
?1
= Sna n
Vn Sna Vn + + ,
mn (E + ?) mn (E + mn )(E + ?) mn (E + ?)
? i? 2
? ? 1
?1
? ?
Vn i Vn = i + Sna pa
E(E + ?) 2pn m2
Em2
?pn ?pn n n
Редукция неприводимых унитарных представлений обобщенных групп 335

и сделав замену переменных pn > ?n m2 ? ? 2 , получаем
n
? ?
ipa ? ??
2 2
? ? ?
?n 1 ? ? i?n 1 ?
Jna = , +
2? ?mn ?
mn mn ?pa

2
Pa ?Snb pb ? ?
Sab pb
+ ?n 1 ? ?n = pn /|pn |, (3.9)
+2 + Sna ,
mn (E + mn ) mn (E + mn ) mn
? ?
? ??
2
? ? Sna pa
i
J0n = ? E ?n 1 ? ?
, .
2? ?mn ? mn mn
mn

Итак, мы нашли, что явный вид генераторов группы P (1, n) в P (1, n ? 1)-базисе
задается формулами (3.4), (3.9). Генераторы (3.4), (3.9) эрмитовы относительно
скалярного произведения
?
dn?1 p +
(?1 , ?2 ) = dmn ? (?, m)?2 (?, m),
2E 1
?
?

где ? — набор чисел, характеризующих неприводимые представления группы
SO(n ? 1), содержащиеся в представлении D(m1 , m2 , . . . , m[ n ] ).
2
2. Получим теперь представление алгебры P (1, n) в P (1, n ? 2)-базисе. Исполь-
зуя приведенные выше результаты, заключаем, что оператор
pn?1 |p|n?1
mn?1 Sn?1 a pa
arctg (3.10)
Vn?1 = exp 2i ,
|p|n?1
pn?1 (E + mn?1 )(mn + mn?1 )
где
1/2
1/2
mn?1 = ? 2 + p2 + p2 |p|n?1 = p2
, ,
n n?1 a
a<n?1

преобразует генераторы (3.4) к виду

a ? n ? 1,
p 2 + m2 ,
P0 = E = Pa = p a ,
a n?1

m2 ? ? 2 , m2 ? m 2 ,
P n = ?n Pn?1 = ?n?1
n n
n?1

? ? ? Sab pb (3.11)
? ipa J0a = ?ip0 ?
Jab = ipb + Sab , ,
?pa ?pb ?pa E + mn?1
? ?
i? ??
2
mn mn Sn?1 a pa
=? E 1? ?
J0 n?1 , .
2? ?mn?1 ? mn?1 mn?1
mn?1

Для того чтобы задать вид остальных генераторов в P (1, n ? 2)-базисе, достаточно
найти генератор Jn n?1 (остальные определяются из коммутационных соотношений
(1.2)). Используя тождества
? ? pn pn?1 Sn?1 a pa i pn
?1
? ?
Vn?1 i Vn?1 = i ,
2 2 m2
?pn ?pn mn mn?1 E n?1
336 А.Г. Никитин, В.И. Фущич, И.И. Юрик

im2
? ? mn 1
?1
? n
Vn?1 i Vn?1 = i + Sn?1 a pa + ,
2 pn?1 m2
?pn?1 ?pn?1 Emn?1 E(E + mn ) n?1

m2 + Em Sna pa pn?1
?1 n?1
Vn?1 Sn n?1 Vn?1 = Sn n?1 +
mn?1 (E + mn ) mn?1 (E + mn )
получаем

? ?mn?1
i mn ?
1? 1? Sn n?1 . (3.12)
Jn n?1 = mn?1 , +
m2
2 mn mn?1 ?mn n

Генераторы (3.11), (3.12) эрмитовы относительно скалярного произведения
? ?
dn?2 p +
(?1 , ?2 ) = dmn dmn?1 ?1 (mn?1 , ?)?2 (mn?1 , ?),
p0
?
? mn

где через ? обозначены числа, нумерующие неприводимые представления алгебры
SO(n ? 2), содержащиеся в представлении D(m1 , m2 , . . . , m[ n ] ) группы SO(n).
2
3. Аналогично определяется представление алгебры P (1, n) в P (1, n?3)-базисе.
Подвергая генераторы (3.11) и (3.12) преобразованию
pn?2 |p|n?2
mn?2 Sn?2 a pa
arctg
Vn?2 = exp 2i ,
|p|n?2
pn?2 (E + mn?2 )(mn?2 + mn?1 )
1/2
1/2
|p|n?2 = mn?2 = ? 2 + p2 + p2 + p2
p2 ,
a n n?1 n?2
a<n?2

и учитывая коммутативность (3.12) и (3.2), имеем
m2 ? ? 2 ,
P0 = E, Pa = pa , Pn = ? n n

m2 ? m 2 , m2 ? m 2 ,
Pn?1 = ?n?1 Pn?2 = ?n?2
n
n?1 n?2 n?1

? ?
pb ? i a, b < n ? 2,
Jab = i pa + Sab ,
?pa ?pb
i Pn?2 ? mn?1 Sn?2 a pa (3.13)
J0 n?2 = ? E ?
, ,
2 mn?2 ?mn?2 mn?2 mn?2
i Pn?1 Pn?2 ? mn mn?2
Jn?1 n?2 = , + Sn n?2 ,
m2
2 mn?1 ?mn n?1

?mn?1
i Pn Pn?1 ?
Jn n?1 = , + Sn n?1 .
m2
2 mn ?mn?1 n

4. Подвергая генераторы (3.13) последовательно преобразованиям
|p|n?l pn?l
mn?l Sn?l a pa
arctg
Vn?l = exp 2i ,
|p|n?l
pn?l (E + mn?l )(mn?l + mn?l+1 )
где
1/2
1/2 l
|p|n?l = ?2 +
p2 p2
, mn?l = , l = 3, 4, . . . ,
a n??
?=1
a<n?l
Редукция неприводимых унитарных представлений обобщенных групп 337

и используя результаты п. 1–3, получаем

n?? ? mn??+1 ,
m2 2
P0 = E, Pa = pa , Pn?? = ?n?? ? < k,
? Sab pb
J0a = ?ip0 ? a, b ? n ? k,
,
?pa E + mn?k+1
? ?
pb ? i
Jab =i pa + Sab , (3.14)
?pa ?pb
i Pn?? ? mn??+1 Sn?? a pa
J0 n?? = ? E ?
, ,
2 mn?? ?mn?? mn?? mn??
?mn??+1
i Pn?? Pn??+1 ?
Jn?? n??+1 = , + Sn?? n??+1 .
m2
2 mn?? ?mn n??

Генераторы (3.14) эрмитовы относительно скалярного произведения

dn?l p +
dmn?k+1 · · ·
(?1 , ?2 ) = dmn?k dmn ?1 ?2 ,
p0
?

где ? — набор чисел, характеризующих представления группы SO(n?k). входящих
в представление группы D(m1 , m2 , . . . , m[ n ] ) группы SO(n).
2
Таким образом, генераторы группы P (1, n) в P (1, n?k)-базисе имеют вид (3.14).
Оператор преобразования из (3.1) к (3.14) задается формулой
k
V= Vn?l .
l=1


Дополнение
В D можно так ввести топологию со счетной системой норм
1
(?1 , ?2 )n = (?1 , (? + 1)n ?2 ), p2 + 2
?= Jµ? ,
µ
2
µ µ,?

где (·, ·) — скалярное произведение в пространстве H, относительно которого Jµ? ,
Pµ эрмитовы, что, пополнив D по ней, получим пространство ?, обладающее

<< Предыдущая

стр. 76
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>