<< Предыдущая

стр. 77
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

следующими замечательными свойствами:
1) ? плотно в H;
2) обертывающая алгебра E(P (1, 4)) является алгеброй непрерывных (относи-
тельно топологии ?) операторов на ?;
3) ? ядерно.
Приведем доказательство ядерности ?. Используя результаты работы [8] и тот
факт, что группу P (1, 4) можно получить сжатием группы SO0 (1, 5) в смысле
Иноню–Вигнера [9], достаточно показать, что существует такой оператор X, при-
надлежащий E(SO0 (1, 5)), для которого X ? = X ?? и X ?1 ядерный.
Рассмотрим оператор A = (C + 1)n , где C — оператор Казимира группы
SO0 (1, 5) второго порядка. Из теоремы Нельсона [10] следует, что C и C n су-
щественно самосопряженные, поэтому A? = A?? .
338 А.Г. Никитин, В.И. Фущич, И.И. Юрик

Покажем далее, что A?1 — оператор Гильберта–Шмидта. Очевидно,
1
A?1 = Pi ,
(ci ? 1)n
i

где Pi — проекторы на подпространства Hi (Hi — собственное пространство опе-
ратора Казимира C с собственным значением ci ). Кроме того, легко проверить, что
при достаточно больших n выполняется неравенство
2
1
< ?.
dim Hi
(ci + 1)n
Таким образом, A?1 — оператор Гильберта–Шмидта. Поскольку квадрат оператора
Гильберта–Шмидта всегда существенно самосопряжен, то за X мы можем взять
оператор (A?1 )2 . Итак, ? ядерно. Из свойств 1–3 следует, что в нашем случае
ядерная спектральная теорема применима и векторы |p, p4 , j3 ?3 ; j, ?, ? канониче-
ского базиса принадлежат пространству ?? (? ? H ? ?? ).

1. Фущич В.И., ТМФ, 1970, 4, № 3, 360–382;
Fushchych W.I., Krivsky I.Yu., Nucl. Phys. B, 1968, 7, 79–82; 1969, 14, № 2, 573–585.
2. Fushchych W.I., Lett. Nuovo Cim., 1974, 10, № 4, 163–167.
3. Широков Ю.М., ДАН СССР, 1954, 99, 737.
4. Macfarlane A.J., J. Math. Phys., 1963, 4, 490;
Fong R., Sucher J., J. Math. Phys., 1964, 5, 456.
5. Donkov A.D., Kadyshevsky V.G., Mateev M.D., Mir-Kasimov R.M., Preprint JINR E2-7936,
Dubna, 1974.
6. Aghassi J.J., Roman P., Santilli R.M., J. Math. Phys., 1970, 11, 2297;
Castell L., Nuovo Cim., 1967, 49, 285.
7. Фущич В.И., Грищенко А.Л., Никитин А.Г., ТМФ, 1971, 8, № 2, 192–205.
8. Roberts J.E., Commun. Math. Phys., 1966, 3, 98.
9. In?n? K., Wigner E.P., Proc. N.A.S., 1953, 39, 50.
ou
10. Nelson E., Stinespring W.F., Amer. J. Math., 1959, 81, 547.
11. Фущич В.И., Никитин А.Г., Юрик И.И., Препринт Института математики АН Украины, № 5,
Киев, 1975, 32 c.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 1, 339–350.

О дополнительной инвариантности
уравнений Кеммера–Дэффина
и Рариты–Швингера
А.Г. НИКИТИН, Ю.Н. СЕГЕДА, В.И. ФУЩИЧ
The complementary (implicite) symmetry of the Kemmer–Duffin (KD), Rarita–
Schwinger (RS) and Dirac equations is established. It is shown that the algebra of the
invariance of the KD equations is the 34-dimensional Lie algebra including the SU (3)
algebra as one of its subalgebras, and the RS equation is invariant with respect to the
64-dimensional Lie algebra including the subalgebra O(2, 4). The explicit form of the
operator reducing the RS equation to the diagonal form, and the operator transforming
the KD equation into the TST equation are found. The algebra of the complementary
invariance of the Dirac and TST equations are found in the class of differential operators.

Установлена дополнительная (неявная) симметрия уравнений Кеммера–Дэффина
(КД), Рариты–Швингера (РШ) и Дирака. Показано, что алгеброй инвариантности
уравнения КД является 34-мерная алгебра Ли, содержащая алгебру SU (3) в каче-
стве подалгебры, и что уравнение РШ инвариантно относительно 64-мерной алгебры
Ли, включающей подалгебру O(2, 4). Найдены явный вид оператора, приводящего
уравнение РШ к диагональной форме, и оператор, преобразующий уравнение КД в
уравнение Тамма–Сакаты–Такетани (ТСТ). Найдена алгебра дополнительной инва-
риантности уравнений Дирака и ТСТ в классе дифференциальных операторов.

Введение
Хорошо известно, что некоторые уравнения движения в квантовой физике обла-
дают дополнительной (неявной) симметрией. Так, например, уравнение Шредин-
гера для атома водорода обладает неявной инвариантностью относительно группы
четырехмерных вращений [1], уравнения Максвелла и Дирака (для нулевой мас-
сы) инвариантны относительно конформной группы [2].
В [3, 4] установлено, что уравнения Максвелла, Клейна–Гордона и Дирака
(с нулевой и ненулевой массами) обладают дополнительной инвариантностью,
отличной от лоренц-инвариантности. Базисные элементы этой новой алгебры ин-
вариантности не принадлежат, как это имеет место в случае лоренц-симметрии,
когда инфинитезимальные операторы представляют собой линейные дифференци-
альные операторы первого порядка, классу дифференциальных операторов. В этом
случае базисные элементы являются интегродифференциальными (нелокальными)
операторами в конфигурационном пространстве. Из-за нелокальности эти операто-
ры не являются инфинитезимальными операторами касательных преобразований
в смысле Ли, однако они образуют конечномерную алгебру Ли.
В дальнейшем под дополнительной инвариантностью уравнений движения мы
понимаем любую инвариантность, отличную от лоренц-инвариантности.
В настоящей работе исследуются групповые свойства свободных релятивистс-
ких уравнений движения для частиц с ненулевой массой и спинами s ? 3/2.
Теоретическая и математическая физика, 1976, 29, № 1, С. 82–93.
340 А.Г. Никитин, Ю.Н. Сегеда, В.И. Фущич

Устанавливаются теоремы о дополнительной инвариантности уравнений Кеммера–
Дэффина (КД), Тамма–Сакаты–Такетани (ТСТ) и Рариты–Швингера (РШ). Кроме
того, найдена алгебра инвариантности Дирака и ТСТ в классе дифференциальных
операторов. Доказательство теорем осуществляется с помощью приема, предло-
женного в [3]. Суть его состоит в том, что сначала система дифференциальных
уравнений первого порядка, предварительно приведенная к гамильтоновой фор-
ме, с помощью унитарного преобразования приводится к другому эквивалентному
уравнению с диагональным гамильтонианом, а затем уже для преобразованного
уравнения устанавливается дополнительная алгебра инвариантности. Найдя ба-
зисные элементы дополнительной алгебры инвариантности для преобразованного
уравнения и имея унитарный оператор, диагонализующий гамильтониан, опреде-
ляем алгебру инвариантности исходного уравнения.
В последние годы интенсивно изучаются групповые свойства дифференциаль-
ных уравнений в частных производных на основе классических методов Ли [5, 6].
Эти методы существенно отличаются от наших.
1. Симметрия уравнений Кеммера–Дэффина
и Тамма–Сакаты–Такетани
А. Уравнение КД записывается в виде

(?µ pµ ? m)?(t, x) = 0, (1.1)
µ = 0, 1, 2, 3,

где pµ = i?/?xµ , а матрицы ?µ удовлетворяют алгебре

(1.2)
?µ ?? ?? + ?? ?? ?µ = ?µ g?? + ?? gµ? .

Как известно, уравнение КД описывает свободное движение частицы со спином
0 или 1. В первом случае матрицы ?µ 5-рядные, а во втором — 10-рядные.
Удобнее записать уравнение (1.1) в гамильтоновой форме [7]

(1.3)
i??/?t = H?(t, x), H = [?0 , ?a ]pa + ?0 m,

m 1 ? ?0 + (? · p)?0 ?(t, x) ? mP ? = 0.
2 2
(1.4)

Физический смысл дополнительного условия (1.4) состоит в том, что оно устра-
няет “лишние” компоненты волновой функции ?. Для спина s = 0 волновая фун-
кция имеет три, а для спина s = 1 — четыре лишние компоненты.
Условие инвариантности уравнения (1.1) относительно некоторой совокупности
преобразований эквивалентно по определению выполнению условий
?
? H, QA ?(t, x) = 0, (1.5)
i [mP, QA ]?(t, x) = 0,
?t
где QA — операторы преобразований, ? удовлетворяет уравнениям (1.3), (1.4), {A}
— некоторое множество индексов.
Задача о нахождении алгебры инвариантности уравнения (1.1) состоит в опи-
сании всевозможных операторов QA , удовлетворяющих условиям (1.5).
Покажем, что справедлива следующая
Теорема 1. Уравнение КД инвариантно относительно алгебры Ли группы
SU (3). В случае спина s = 1 уравнение КД инвариантно относительно более
О инвариантности уравнений Кеммера–Дэффина и Рариты–Швингера 341

широкой, 34-мерной алгебры Ли, содержащей алгебру SU (3) в качестве по-
далгебры. Базисные элементы этой алгебры инвариантности удовлетворяют
коммутационным соотношениям (1.10), (1.14).
Доказательство. Переход к представлению, в котором H диагонален, осуществля-
ется с помощью интегрального унитарного оператора типа Фолди–Ваутхойзена [8]
?a pa p
? > ? = U ?, arctg
U = exp ,
p m (1.6)
1/2
p = p2 + p2 + p2 , a = 1, 2, 3.
1 2 3

В результате получаем систему интегродифференциальных уравнений

H ? = U HU ?1 = ?0 E,
i??/?t = H ? ?(t, x),
(1.7)
1 ? ?0 ?(t, x) = 0,
2
E = (p2 + m2 )1/2 ,

а условие инвариантности (1.5) приводится к виду
?
Q? = U QA U ?1 ,
? ?0 E, Q? ? = 0, [1 ? ?0 , Q? ]? = 0.
2
(1.5 )
i A A A
?t
Условие (1.5 ) удовлетворяется произвольными матрицами, коммутирующими с
?0 .
Используя соотношения (1.2), нетрудно убедиться, что условию (1.5 ) удовле-
творяют матрицы

Sab = i(?a ?b ? ?b ?a ), (1.8)
Sab = ?abc Sc , a, b, c = 1, 2, 3.

Этим же свойством обладают, очевидно, все функции от Sab , среди которых можно
выбрать только восемь независимых:

Q? = ?(S1 S2 + S2 S1 ), Q? ? i(S3 S1 S2 ? S1 S2 S3 ),
Q? = S3 ,
1 2 3

Q? = ?(S3 S1 + S1 S2 ), Q? = ?S2 , Q? = ?(S2 S3 + S3 S2 ),
4 5 6 (1.9)
i
Q? = ? v (S3 S1 S2 + S1 S2 S3 ? 2S2 S3 S1 ).
Q? = S1 ,
7 8
3
Операторы Q? , A = 1, 2, . . . , 8, удовлетворяют коммутационным соотношениям
A

[Q? , Q? ] = ifM LK Q? , (1.10)
M, L, K = 1, 2, . . . , 8,
M L K

где fM LK — структурные константы группы SU (3).
В случае спина s = 0 операторами (1.10) исчерпываются всевозможные (с то-
чностью до эквивалентности) независимые матрицы, коммутирующие с ?0 . При
s = 1 число таких матриц увеличивается. Полную систему матриц, коммутирую-
щих с ?0 , построим следующим образом. Не умаляя общности, матрицу ?0 можно
выбрать в виде
?3 ?
I
?0 = ? ?,
?I 3 (1.11)
4
0
342 А.Г. Никитин, Ю.Н. Сегеда, В.И. Фущич

где I 3 , 04 — трехрядная единичная и четырехрядная нулевая матрицы, на осталь-
ных местах стоят нули.
Общий вид матрицы, коммутирующей с ?0 , задается выражением
? ?
a00
B = ? 0 b 0 ?, (1.12)
00c

где a, b, c — произвольные квадратные матрицы размерности 3 ? 3, 3 ? 3 и
4 ? 4, соответственно. Таким образом, имеется всего 34 линейно-независимые
матрицы, коммутирующие с ?0 . В число этих 34 матриц входят операторы Q? ,
A
A = 1, 2, . . . , 8, из (1.9), а остальные можно представить в виде

Q? = ?0 = (S12 ? S43 )(1 ? ?0 ),
Q? = ?0 Q? , 2
A = 1, 2, . . . , 8,
s+A A 17

17+a = ?a = (Sbc + S4a )(S31 ? S42 )(1 ? ?0 ), S4a = i(?a ?4 ? ?4 ?a ),
Q? 2

1
{Q? , Q? , . . . , Q? } = (1.13)
?4 = ?µ??? ?µ ?? ?? ?? , 21 22 32
4!
= {?µ ?? ; ?µ ?? ?? ; ?0 ?1 ?2 ?3 }, Q? = 1, Q? = ?0 ,
33 34

(a, b, c) = цикл (1, 2, 3).
µ, ?, ?, . . . = 0, 1, 2, 3, a = 1, 2, 3;

Эти операторы удовлетворяют соотношениям коммутации

[Q? , Q? ] = ifABC Q? , [Q? , Q? ] = ifABC Q? ; (1.14 )
s+A s+B C s+A B s+C


(?µ ?? + ?? ?µ )(1 ? ?0 ) = 2gµ? (1 ? ?0 ). (1.14 )
[?µ , Q? ] = [?µ , Q? ] = 0, 2 2
A s+A


<< Предыдущая

стр. 77
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>