<< Предыдущая

стр. 78
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Перестановочные соотношения (1.10) и (1.14) непосредственно следуют из (1.2).
Теорема доказана.
В заключение этого пункта отметим, что явный вид операторов (1.9) и (1.13)
в исходном ?-представлении получается с помощью преобразования, обратного к
(1.6). Иными словами, операторы QA получаются из Q? , A = 1, 2, . . . , 34, посред-
A
ством замены
??p p(S · p)
m
S > S = U ?1 SU = S = ?i (1.8 )
+ .
E E E(E + m)

Замечание 1. Как известно [9], уравнение (1.1) в предельном случае m > 0 не
может служить для описания движения безмассовых частиц. Оказывается, одна-
ко, что такой предельный переход возможен в гамильтоновой форме (1.3), (1.4)
уравнения КД. При этом теорема 1 остается верной.
Если же на волновую функцию ? наложить пуанкаре-инвариантное условие
поперечности

(S · p)? = 0, (1.15)

то теорема 1 не имеет места.
Система уравнений (1.3), (1.4) (с m = 0) и (1.15) эквивалентна уравнениям
Максвелла.
О инвариантности уравнений Кеммера–Дэффина и Рариты–Швингера 343

Замечание 2. Для уравнения КД, как и для уравнения Дирака [3], можно указать
четыре типа операторов, удовлетворяющих коммутационным соотношениям алге-
бры Ли группы Пуанкаре, для которых выполняется условие (1.5). Эти операторы
имеют такое явное представление:
{Q1 } : 1
Pµ = i?/?xµ ,
(1.16)
Jµ? = xµ p? ? x? pµ + Sµ? , Sµ? = i(?µ ?? ? ?? ?µ );
1


{Q2 } : Pa = ?i?/?xa ,
2 2
P0 = H,
(1.17)
1
Jab = xa pb ? xb pa + Sab , = x0 pa ? (xa H + Hxa );
2 2
J0a
2
{Q3 } : Pa = ?i?/?xa ,
3 3
P0 = i?/?t,
(1.18)
Jab = xa pb ? xb pa , J0a = x0 pa ? xa p0 ;
3 3


{Q4 } : Pa = ?i?/?xa ,
4 3
P0 = H,
(1.19)
1
Jab = xa pb ? xb pa , = x0 pa ? (xa H + H xa );
4 4
J0a
2
где
(p ? S)a
?a (?k pk )pa
xa = xa ? i +i 2 + .
E E (E + m) E(E + m)
Операторы (1.16) неэрмитовы в гильбертовом пространстве, где эрмитовы операто-
ры (1.17). Операторы (1.18) и (1.19) эрмитовы и неэквивалентны операторам (1.16)
и (1.17). Этот факт легко установить, если вычислить операторы Казимира для
представлений (1.16), (1.18) и (1.17), (1.19).
Далее отметим, что операторы (1.16)–(1.19) порождают совершенно различные
законы преобразования координаты и времени. А именно из явного вида операто-
ров J0a непосредственно получаем, что в случае (1.17) и (1.19) в отличие от (1.16)
и (1.18) время не изменяется:
x0 = exp{iJ0a ?a }x0 exp{?iJ0b ?b } = x0 . (1.20)
Б. Уравнение TCT имеет вид [10]
i??TCT /?t = H TCT ?TCT (t, x),
(1.21)
(S · p)2 p2
= ?2 m ? i?1
TCT
H + (i?1 + ?2 ) ,
m 2m
где ?TCT — шестикомпонентная волновая функция, Sa — генераторы представле-
ния, являющегося прямой суммой двух неприводимых представлений D(1) группы
O(3), ?1 и ?2 — шестирядные матрицы Паули, коммутирующие с Sa .
Уравнение TCT описывает движение свободной релятивистской частицы со
спином s = 1 и в отличие от (1.1) не содержит лишних компонент.
Теорема 2. Уравнение TCT инвариантно относительно 16-мерной алгебры Ли,
содержащей алгебру SU (3) в качестве подалгебры. Базисные элементы этой
алгебры удовлетворяют перестановочным соотношениям (1.10), (1.14).
344 А.Г. Никитин, Ю.Н. Сегеда, В.И. Фущич

Доказательство. Прежде всего установим связь между решениями уравнений КД
и TCT. Обычно уравнение TCT получают из уравнений КД путем непосредствен-
ного исключена лишних компонент. Эта процедура для наших целей непригодна.
Покажем, что уравнение TCT может быть получено из уравнений КД с помощью
изометрического преобразования
?a pa 2 ?a pa 2
? > ?TCT = V ?, (1.22)
V = exp ? =1+ ?, a = 1, 2, 3.
m0 m0
Нетрудно убедиться, что ?TCT удовлетворяет уравнениям
?a pa
i??TCT /?t = V HV ?1 ?TCT = ?0 m + ?TCT ,
m (1.23)
?1
= m(1 ?
TCT
?0 )?TCT
2
V (mP )V ? = 0.
Система уравнений (1.23), как известно [7], эквивалентна (1.21), поскольку вол-
новая функция ?TCT имеет только шесть отличных от нуля компонент, и всегда
можно положить
?0 m?TCT = ?2 m?TCT ,
(1.24)
(S · p)2 p2
?a pa TCT
= ?i?1 ?TCT .
?0 ? + (?2 + i?1 )
m m 2m
Поскольку уравнения (1.3), (1.4) инвариантны относительно алгебры, порождаемой
операторами QA , то уравнение (1.21) инвариантно относительно алгебры {QTCT },
A
QTCT = V QA V ?1 . Явный вид операторов QTCT получаем из (1.9), (1.13), (1.8 ) и
A A
(1.22):
?? ?? ?
QTCT = ?(S1 S2 + S2 S1 ), QTCT = S3 ,
1 2
??? ??? ?? ??
QTCT = ?i(S3 S1 S2 ? S1 S2 S3 ), QTCT = ?(S3 S1 + S1 S3 ),
3 4
? ?? ?? ?
QTCT = ?S2 , QTCT = ?(S2 S3 + S3 S2 ), QTCT = ?S1 ,
5 6 7
(1.25)
H TCT TCT
i ???
= ? v (S3 S1 S2 + S
?1 S2 S3 ? 2S2 S3 S1 ),
?? ???
QTCT TCT
Qs+A = QA ,
8
E
3
p(S · p)
m i i
? ?3 (S ? p)(S · p) + (1 + ?3 )[p(S · p) ? Sp2 ] ,
S=S + +
E E(E + m) mE 2
QTCT = H TCT /E, QTCT = 1. (1.26)
17 18

Операторы (1.25) удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям (1.9) и
(1.14 ), что и операторы Q? , Q? . Операторы (1.26) коммутируют с (1.25).
A A+8
Алгебра (1.25), (1.26) инвариантности уравнения TCT, конечно, уже алгебры
(1.9), (1.14) уравнения КД. Это связано с тем, что волновая функция TCT имеет
меньше компонент, чем волновая функция КД, и поэтому операторы V Q17 , Q18 ,
. . . , Q32 V ?1 на решениях уравнения TCT не определены. Теорема доказана.
Замечание 3. Релятивистские уравнения без лишних компонент для частиц со
спином s = 1, полученные в [11], также инвариантны относительно преобразо-
ваний, удовлетворяющих алгебре (1.10), (1.14). Доказательство этого утверждения
аналогично изложенному выше, поскольку упомянутые уравнения могут быть при-
ведены к диагональной форме.
О инвариантности уравнений Кеммера–Дэффина и Рариты–Швингера 345

2. Симметрия уравнения Рариты–Швингера
Уравнение РШ для частицы со спином s = 3/2 может быть записано в виде
(?µ pµ ? m)?? (t, x) = 0, ?? ?? (t, x) = 0, (2.1)
µ, ? = 0, 1, 2, 3,
где ?µ — 4?4-мерные матрицы Дирака. Волновая функция РШ имеет 16 компонент
?? , ? = 1, 2, 3, 4.
?
Систему уравнений (2.1) запишем в гамильтоновой форме:
?? ?? (t, x) = 0,
i??/?t = H?(t, x),
?? ? ? ?
H000 ?0
?0 H 0 0? ? ?1 ? (2.2)
?
H=? ? ?=? ?, ?
? 0 0 H 0 ?, H = ?0 ?a pa + ?0 m.
? ?2 ?
?
? ?3
000H
На решениях уравнений (2.2) реализуется следующее явно ковариантное представ-
ление алгебры Ли группы Пуанкаре:
Pa = pa = ?i?/?xa , Jµ? = xµ p? ? x? pµ + Sµ? , (2.3)
P0 = H,
где спиновые матрицы Sµ? являются генераторами представления D(1/2, 1/2) ?
[D(1/2, 0) ? D(0, 1/2)] группы O(1, 3) и, следовательно, могут быть представлены
в виде
i
Sµ? = jµ? + ?µ? , [jµ? , ?µ ? ] = 0, ?µ? = ?µ ?? ,
2 (2.4)
?
1 2 1 2 12
jab = jc + jc , j0a = i(ja ja ), [ja , jb ] = 0,
1 2
где ja , jb — генераторы представления D(1/2) группы O(3). Покажем теперь, что
имеет место
Теорема 3. Уравнение РШ инвариантно относительно 64-мерной алгебры Ли,
содержащей алгебру Ли группы O(2, 4) как подалгебру. Базисными элемента-
ми этой алгебры являются всевозможные независимые произведения операто-
ров (2.12).
Доказательство. Как и в предыдущем разделе, для доказательства теоремы пе-
рейдем к представлению, в котором гамильтониан H диагонален, а волновая фун-
кция имеет только 2(2s + 1) отличных от нуля компонент. Вопрос о переходе к
такому представлению для уравнения РШ обсуждался в [12], однако там не был
найден в явном виде оператор преобразования.
Мы получили такой оператор в форме
j0a pa p ?a pa p
arth arctg (2.5)
W = exp i?0 exp .
p E p m
Этот оператор не только диагонализует гамильтониан H (2.2), но также приводит
остальные генераторы (2.3) канонической форме Фолди–Широкова.
Уравнения (2.2) после преобразования W принимают вид

H ? = W HW ?1 = ?0
(16)
i??/?t = H ? ?(t, x), E,
(2.6)
2
E = (p2 + m2 )1/2 ,
Sab ? = 3/2(3/2 + 1)?; ? = W ?;
346 А.Г. Никитин, Ю.Н. Сегеда, В.И. Фущич

(16)
где 16-рядная матрица ?0 всегда может быть выбрана в виде
?? ?
I00 0
?0 I 0 0?
?
?0 = ? ?
(16)
(2.7)
? 0 0 ?I 0 ? ,
?
?
0 0 0 ?I
?
I и 0 — четырехрядные единичная и нулевая матрицы.
Из (2.6) явствует, что дополнительная инвариантность уравнений РШ поро-
ждается теми матрицами BN , которые удовлетворяют условиям
(16) 2
(2.8)
[BN , ?0 ] = 0, [BN , Sab ] = 0.
2
Без потери общности матрицу Sab можно выбрать в таком диагональном виде:
?? ?
5I 0 0 0
3? 0 I 0 0 ?
?
Sab = ? ?
2
(2.9)
? 0 0 5I 0 ? .
?
4
?
000I

<< Предыдущая

стр. 78
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>