<< Предыдущая

стр. 79
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

(16)
Из (2.7) и (2.9) видно, что самый общий вид матрицы, коммутирующей с ?0 и
2
Sab , задается выражением
? ?
l000
?0 f 0 0?
A=? ? (2.10)
? 0 0 g 0 ?,
000h
где l, f , g, h — произвольные квадратные четырехрядные матрицы. Поэтому ма-
трицу A можно представить в виде линейной комбинации 64 линейно-независимых
(16) 2
матриц BN , коммутирующих с ?0 и Sab :
64
(2.11)
A= aN BN ,
N =1

с произвольными коэффициентами aN .
Систему базисных матриц BN можно построить в явном виде. Именно выберем
6 матриц размерностью 16 ? 16:
1
?0 = v (S23 S31 + S31 S23 ? i?abc j0a ?bc ),
3
?1 = 2i?23 (1 ? 2j23 )(jab ? 1), ?2 = 2i?31 (1 ? 2j31 )(jab ? 1),
2 2 2 2 (2.12)
22 3
(16)
?3 = 2i[?12 (1 ? j12 ) + 2j12 ?12 ](jab ? 1), Sab ? ,
2 2
L1 = ?0 , L2 =
3 2
которые удовлетворяют условию (2.8).
Используя соотношение (2.4), с помощью довольно громоздких вычислений
можно установить, что операторы (2.12) удовлетворяют соотношениям
?µ ?? + ?? ?µ = 2gµ? , [L1 , L2 ] = [?µ , L1 ] = [?µ , L2 ] = 0,
(2.13)
L2 = L2 = 1.
1 2
О инвариантности уравнений Кеммера–Дэффина и Рариты–Швингера 347

Если теперь взять совокупность всевозможных независимых произведений опера-
торов (2.13), то получим в точности 64 элемента, которые и образуют базисную си-
стему матриц, удовлетворяющих (2.8). В частности, совокупность всевозможных
независимых произведений матриц ?µ , как следует из (2.13), образует алгебру
Клиффорда C4 , элементы которой являются базисными элементами алгебры Ли
группы O(2, 4).
Для полноты изложения приведем явный вид матриц ?µ , L1 , L2 в ?-представ-
лении, где ? = W ?1 ?. С помощью обратного преобразования W ?1 получаем
?µ = W ?1 ?µ W,
? (2.14)
1??
?0 = v (S23 S31 + S31 S23 ? i?abc ?0a ?bc ),
? ?? ?
?1 = 2i?23 (1 ? 2?23 )(jab ? 1),
j2 2
j? ?
3
? ?
?2 = 2i?31 (1 ? 2?31 )(?ab ? 1), ?3 = 2i?12 (1 ? ?12 + 2?12 ?12 )(jab ? 1), (2.15)
j2 j2 j2 2
? ? j?
2 ?2 3
? ?
L2 = Sab ? ,
L1 = H/E,
3 2
где
?a pb ? ?b pa pc (p? · ?? )
m
?ab = ?ab
? +i + ,
E m E(E + m)

?ab = jab m ? H (j0a pb ? j0b pa ) + pc (pb j0b ) ,
j
E Em E(E + m) (2.16)
?0a = j0a + pa (pb · jb ) ? ja pb ? jab pb H,
2
j
E(E + m) Em
?
Sab = ?ab + ?ab , (a, b, c) = цикл (1, 2, 3).
j ?
В заключение отметим, что сделанные выше утверждения о дополнительной ин-
вариантности справедливы и для уравнений Баргмана–Вигнера, Дирака–Фирца–
Паули, Баба, описывающих частицы со спином 1 и 3/2. Дополнительная симме-
трия релятивистских уравнений для частив со спином s > 3/2 также может быть
исследована с помощью методов использованных в настоящей работе.
3. Алгебра инвариантности уравнений Дирака
и TCT в классе дифференциальных операторов
Во введении отмечалось, что уравнение Дирака, помимо инвариантности отно-
сительно алгебры Пуанкаре, неявно инвариантно относительно алгебры O(4). Эта
алгебра задается интегродифференциальными операторами и является в опреде-
ленном смысле максимальной алгеброй дополнительной инвариантности уравне-
ния Дирака [3]. В связи с этим результатом естественно выяснить следующий
вопрос: существует ли алгебра неявной инвариантности уравнений Дирака и TCT
в классе дифференциальных операторов?
В дальнейшем мы докажем теоремы, дающие положительный ответ на постав-
ленный вопрос.
Теорема 4. Уравнение Дирака инвариантно относительно алгебры O(4), бази-
сные элементы которой задаются дифференциальными операторами.
Доказательство. Уравнение Дирака
(?µ pµ ? m)? = 0 (3.1)
348 А.Г. Никитин, Ю.Н. Сегеда, В.И. Фущич

подвергнем преобразованию
(m ? ?µ pµ ) > V (m ? ?µ pµ )V ?1 = m ? (Pµ P µ )1/2 ?5 ;
? > ? = V ?,
2S5µ pµ
S5µ pµ ? 1
=v
v
V = exp 1+ , (3.2)
(pµ pµ )1/2
pµ pµ 4 2
i
S5µ = ?5 ?µ , ?5 = i?0 ?1 ?2 ?3 .
2
Условие инвариантности принимает вид
[m ? (pµ pµ )1/2 ?5 , Q ]?(t, x) = 0. (3.3)
Уравнению (3.3) удовлетворяют произвольные матрицы, коммутирующие с ?5 .
Любая такая матрица может быть представлена в виде линейной комбинации ве-
личин
i 1
(3.4)
Sab = ?a ?b , S4a = ?0 ?a .
2 2
Матрицы (3.4), как известно, реализуют прямую сумму двух неприводимых
представлений D(1/2, 0) ? D(0, 1/2) алгебры O(4). Посредством преобразования,
обратного (3.2), получаем базисные элементы алгебры дополнительной инвариан-
тности уравнения (3.1):
i
Sab = V ?1 Sab V = Sab ? (1 + ?5 )(?a pb ? ?b pa ),
?
m
(3.5)
1
?
S4a = S4a ? (1 + ?5 )(?0 pa ? ?a p0 ).
m
Следует отметить, что эта алгебра не эквивалентна алгебре Ли группы трехмерных
вращений, задаваемой генераторами Jab = xa pb ? xb pa + Sab группы Пуанкаре.
Теорема доказана.
?
Замечание 4. Операторы Sab неэрмитовы относительно обычного скалярного про-
изведения

d3 x ?+ (x)?2 (x), (3.6)
(?1 , ?2 ) = 1

однако они эрмитовы в таком индефинитном скалярном произведении:
2(S · p)
d3 x ?+ ?0 + (1 ? ?4 ) (3.7)
(?1 , ?2 ) = ?2 .
1
m
В скалярном произведении (3.7) эрмитов также гамильтониан Дирака (3.1).
Теорема 5. Уравнение TCT инвариантно относительно алгебры SU (3), бази-
сные элементы которой задаются дифференциальными операторами.
Доказательство. Подвергнем уравнение TCT (1.21) преобразованию
?TCT > ? TCT = W ?TCT ,
p2
?1
> WH
TCT TCT TCT
H W = ?2 m + (?2 + i?1 ) =H , (3.8)
2m
(S · p) (S · p)2
W = 1 + ?2 + (1 + ?3 ) .
2m2
m
О инвариантности уравнений Кеммера–Дэффина и Рариты–Швингера 349

Оператор H TCT (3.8) коммутирует со спиновыми матрицами Sa . Отсюда заключа-
ем, что оператор i?/?t ? H TCT коммутирует с набором величин

Q1 TCT = ?(S1 S2 + S2 S1 ), Q2 TCT = S3 ,
Q3 TCT = ?i(S3 S1 S2 ? S1 S2 S3 ), Q4 TCT = ?(S3 S1 + S1 S3 ),
(3.9)
Q5 TCT = ?S2 , Q6 TCT = ?(S2 S3 + S3 S2 ), Q7 TCT = S1 ,
i
Q8 TCT = ? v (S3 S1 S2 + S1 S2 S3 ? 2S2 S3 S1 ),
3
где
[?abc Sb pc , (S · p)]+
?abc Sb pc
?
Sa = Sa + i ? 2 + (1 + ?3 )
2m2
m
(S · p) (S · p)2
? 1 ? ?2 + (1 ? ?3 ) .
2m2
m
Это означает, что операторы (3.9) удовлетворяют условию инвариантности урав-
нения TCT. Непосредственной проверкой можно убедиться, что операторы (3.9)
удовлетворяют коммутационным соотношениям (1.10) алгебры SU (3). Эти бази-
сные элементы алгебры инвариантности уравнения TCT эрмитовы относительно
такого индефинитного скалярного произведения:

d3 x ?+ (t, x)W + ?2 W ?2 (t, x) =
(?1 , ?2 ) = 1
(3.10)
S·p (S · p)2 (S · p)3
+ (1 ? ?3 )
d3 x ?+
= ?2 + 2 + 2?2 .
1
m2 m3
m
Теорема доказана.
Изложенные выше результаты могут быть использованы для нахождения ин-
тегралов движения частиц, взаимодействующих с внешним полем. Так, например,
для частицы со спином s = 1/2 в однородном магнитном поле H интегралом
? ?
движения является оператор Q = ?abc Sbc (?)Hc , где Sab (?) получаются из (3.5)
заменой pa > ? = pa ? eAa .

1. Фок В.А., Z. Phys., 1936, 98, 145.
2. Lomont J.S., Nuovo Cim., 1957, 6, 204; Gross L., J. Math. Phys., 1964, 5, 687.
3. Фущич В.И., ТМФ, 1971, 7, № 1, 3–12; Lett. Nuovo Cim., 1974, 11, № 11, 508–512; Preprint
ITP-70-32E, Kiev, 1970, 17 p.
4. Фущич В.И., ДАН СССР, 1976, 230, № 3, 570–573.
5. Овсянников Л.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений, Изд-во СО АН СССР,
Новосибирск, 1962; Ибрагимов Н.Х., ДАН СССР, 1969, 185, 1226.
6. Niederer U., Helv. Phys. Acta, 1972, 45, 802; Andersson R.L. et al., Phys. Rev. Lett., 1972, 28,
988; Boyer C.P., Kalnins E.G., Miller W. (Jr.), J. Math. Phys., 1975, 16, 499.
7. Kemmer N., Proc. Roy. Soc. A, 1939, 173, 91; Heitler W., Proc. Roy. Irish Acad. A, 1939, 49, 1;
Krajcik R.A., Nieto M.M., Phys. Rev. D, 1974, 10, 4049.
8. Garrido L.M., Pascual P., Nuovo Cim., 1959, 12, 181.
9. Bludman S.A., Phys. Rev., 1957, 107, 1163.
350 А.Г. Никитин, Ю.Н. Сегеда, В.И. Фущич

10. Тамм И.Е., ДАН СССР, 1940, 29, 551; Sakata S., Taketany M., Proc. Phys. Math. Soc. Japan,
1940, 22, 757.
11. Фущич В.И., Грищенко А.Л., Никитин А.Г., ТМФ, 1971, 8, № 2, 192–205.
12. Bryden A.D., Nucl. Phys., 1964, 53, 165.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 1, 351–358.

Групповые свойства дифференциальных
уравнений квантовой механики
В.И. ФУЩИЧ

Теорию групповых свойств дифференциальных уравнений, применительно к
уравнениям механики и гидромеханики в Советском Союзе начал развивать
Л.В. Овсянников со своими сотруднивами [1, 2]. Это направление оказалось ве-
сьма плодотворным и привело к ряду важных результатов.
С каждым годом сфера влияния групповых идей на различные разделы матема-
тики и физики расширяется. Так в частности, в последнее время математический
аппарат теории групп и алгебр Ли начал использоваться Ю.А. Митропольским и
А.К. Лопатным [3, 4] в теории нелинейных колебаний для исследования вопроса
о приводимости систем нелинейных дифференциальных уравнений.
Несмотря на то, что в физике широко используются групповые методы для си-
стематики элементарных частиц, до недавнего времени почти не велась работа по
развитию и применению идей С. Ли к дифференциальным уравнениям квантовой
механики.
В 1970 г. автором [5, 6] была начата работа по систематическому изучению
групповых свойств уравнений движения в квантовой механике. В дальнейшем эти
исследования были продолжены в работах [7–15].
Данная статья, в основном, является кратким обзором результатов, полученных
в Институте математики АН УССР за последние годы по групповым свойствам
уравнений квантовой механики. Групповые свойства дифференциальных уравне-
ний изучаются с помощью метода канонических преобразований. Именно этот
метод позволил найти конструктивно новые алгебры инвариантности основных
уравнений движения квантовой механики.
Известно, что некоторые уравнения движения в квантовой механике облада-
ют дополнительной (неявной) симмерией. Так, например, уравнение Шрединге-
ра для атома водорода обладает неявной инвариантностью относительно группы

<< Предыдущая

стр. 79
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>