<< Предыдущая

стр. 8
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?n?1 (s1 , t1 ) = [2bn?1 (s1 , t1 )]2 ? 4cn?1 an?1 (s1 ) ?
(1.12а)
? [2bn?1 (s1 , t1 )]2 ? 4cn?1 an?1 (t1 ) = 0
и учитывая неравенство cn?1 ? 0.
Легко видеть, что левая часть (1.11а), т.е. Re ?n?1 (s, t) отрицательна в обла-
сти, в которой ?n?1 (s1 , t1 ) ? 0, т.е. в заштрихованной на рис. 1 области, огра-
ниченной параболой. Следовательно, поверхность особых точек функции ?(?; s, t)
“расположена” над областью вещественных значений s1 и t1 , не принадлежащих
заштрихованной области.
Кроме того, в областях левее и выше прямой 2bn?1 (s1 , t1 ) = 0 и правее и ниже
прямой 2bn?1 (s1 , t1 ) = 0 мнимые части s и t, как это следует из уравнения (1.11в),
имеют один и тот же знак.
Следовательно, мы приходим к выводу:
4–5. В областях GIV : [an?1 (s1 ) ? 0 ? 2bn?1 (s1 , t1 ) ? 0] и GV : [an?1 (t1 ) ?
0 ? 2bn?1 (s1 , t1 ) ? 0] функция ?(? : s, t) является регулярной, так как мнимая
часть знаменателя D(?; s, t) при значениях s2 и t2 , имеющих одинаковый знак, не
обращается в нуль.
6. Итак, осталось рассмотреть область значений GV I и GV II . Область GV I
ограничена (см. рис. 1) линиями
an?1 (t) = 0, 2bn?1 (s1 , t1 ) = 0, ?n?1 (s1 , t1 ) = 0,
2bn?1 (s1 , t1 ) = 0, an?1 (s1 ) = 0.
Прежде всего следует отметить, что над той частью области GI , которая заключе-
на между прямыми 2bn?1 (s1 , t1 ) = 0 и 2bn?1 (s1 , t1 ) = 0 точки особой поверхности
имеются, так как уравнения (1.11) совместны и мнимые части s и t имеют про-
тивоположные знаки. Соответствующие им сингулярные точки подынтегральной
функции в правой части (1.7) в плоскости переменной совпадают и находятся
n?2
0, 1 ?
вне линии интегрирования ?i . Так как при вещественных значениях
i=1
36 В.И. Коломыцев, В.И. Фущич

s1 и t1 , принадлежащих области G1 , функция ?(?; s, t) аналитична, то ее мо-
жно продолжить на комплексные значения s и t с вещественными частями этих
переменных, принадлежащими, по-прежнему, G1 в силу того, что совпадающие
сингулярности в плоскости “подойдут” к непрерывно изменяемой линии интегри-
рования с одной стороны. Поэтому точки s и t удовлетворяющие системы (1.11) с
s1 и t1 ? G1 , в действительности являются регулярными точками ?(?; s, t).
При аналитическом продолжении ?(?; s, t) на комплексные значения s и t с
вещественными частями, принадлежащими области GV I , совпадающие сингуляр-
ности подынтегральной функции в выражении (1.7) для ?(?; s, t) в плоскости
переменной ?n?1 будут оставаться совпадающими при s и t принадлежащими
поверхности (1.2). Кроме того, они, по-прежнему, будут “подходить” к контуру ин-
тегрирования с одной стороны до тех пор, пока не совпадут с одним из концов
линии интегрирования (см. лемму 2А работы Тарского [4]). Последнее же может
случиться только в том случае, когда значения s1 и t1 совпадают с координатами
точек пересечения A1 или A2 , в которых точки поверхности имеют равные нулю
мнимые части. Эти особые вещественные точки функции ?(?; s, t) совпадают с
точками, удовлетворяющими уравнениям (1.10).
Таким образом, точки поверхности (1.9), “расположенные” над областью явля-
ются регулярными точками функции ?(?; s, t).
7. Как уже отмечалось, над областью GV II поверхность (1.9) “не находится”.
Следовательно, комплексные точки s и t вещественными частями из области GV II
также являются регулярными точками функции ?(?; s, t).
Резюмируя вышесказанное, приходим к следующему утверждению.
Лемма 1. Функция ?(?; s, t) имеет только лишь вещественные особые точки
при любых ? из области интегрирования (1.6).
На основании этой леммы можно сформулировать такое предложение.
Теорема 1. Амплитуда Фейнмана F (s, t) заданная интегралом (1.1) со знаме-
нателем D(?; s, t), удовлетворяющим условиям (1.2)–(1.5), при Mj ? 0 суть
2

аналитическая функция переменных s и t в области, являющейся произведе-
нием двух плоскостей с выключенными разрезами вдоль вещественных осей

s0 ? Re s < ?, t0 ? Re t < ?.
s2 = Im s = 0, t2 = Im t = 0,

2
В случае, когда Mj > 0, парабола ?n?1 (s1 , t1 ) = 0 расположена в области GI
и является границей вещественной области аналитичности функции ?(?; s, t). При
значениях s1 и t1 , удовлетворяющих уравнению ?n?1 (s1 , t1 ) = 0, сингулярности
в плоскости ?n?1 “зажимают” контур интегрирования с разных сторон и поэто-
му аналитическое продолжение ?(?; s, t) на комплексные значения s и t с веще-
ственными частями, не принадлежащими области GI ? (?n?1 ? 0), осуществить
невозможно при изменении только лишь контура интегрирования по ?n?1 . Из ска-
2
занного следует, что для аналитического продолжения по переменной ? = Mj со
значений ? ? 0 на положительные значения необходимо осуществить изменения
контуров по другим параметрам ?.
2. Как известно каждой фейнмановской диаграмме с четырьмя внешними ли-
ниями сопоставляется вклад в амплитуду рассеяния, который с точностью до по-
Аналитические свойства амплитуды рассеяния 37

стоянных множителей может быть представлен в виде следующего интеграла [5]:
n
{C(?)}p ? 1 ? ?i
i=1
(2.1)
F (s, t) = d?1 . . . d?n .
{D(?; s, t)}r
Здесь введены следующие обозначения: D(?; s, t) — дискриминант квадратичной
формы ?(q; ?, s, t), которая определяется соотношением
n
?i (ki ? m2 ),
2
(2.2)
?(q; ?, s, t) = i
i=1

где четырех-импульсы ki являются линейными комбинациями внешних импульсов
pj (j = 1, . . . , 4) и импульсов интегрирования ql , сопоставляемых каждому неза-
висимому контуру диаграммы; ?i и mi — параметры Фейнмана и массы, соответ-
ствующие i-й внутренней линии диаграммы, C(?) — дискриминант квадратичной
формы
?0 (q; ?) = ?(q; ?, s = t = 0, m2 = 0, Mj = 0).
2
(2.3)
i

Числа p и r положительные и определяются числом вершин диаграммы и числом
l независимых ее контуров. Дискриминант D(?; s, t) является линейной функцией
переменных s, t, m2 , Mj и может быть представлен в виде
2
i

D(?; s, t) = f (?)s + g(?)t ? K(?; m2 , Mj ),
2
(2.4)
j

где
m m 4
? ?i mi K (?) ?
K(?; m2 , Mj )
2
?i m2 Ki (?)
2 2
(2.4 )
= Kj (?)Mj .
i i
i=1 i=1 j=1




Одно из важных свойств D(?; s, t) заключается в следующем.
Значение D(?; s, t) при s = 0 и t = 0, т.е. массовый коэффициент — ?K(?; m2 ,
i
2
Mj ) отрицателен при положительных ?i , если массы частиц, участвующих в
реакции, удовлетворяют некоторым условиям (включающим условия стабильно-
сти) [2, 5].
Основной способ для изучения свойств дискриминанта D(?; s, t), как функции
? основан на инвариантности D(?; s, t) относительно различных выборов линий,
38 В.И. Коломыцев, В.И. Фущич

по которым “протекают” импульсы внешних частиц через данную диаграмму и
относительно различного выбора независимых замкнутых контуров для внутрен-
них импульсов интегрирования.
Правая сторона (2.2) имеет вид

(2.5)
akr qk qr + 2 bk qk + c.

Коэффициенты a, b, c все зависят от ? линейно, причем akr не зависит ни от каких
других переменных, bk зависит также от внешних импульсов, а c зависит линейно
от квадратов и скалярных произведений внешних импульсов и от квадратов масс
внутренних частиц. Дискриминант уравнения (2.5), следовательно, имеет вид
· · · a1l
a11 a12 b1
· · · a2l
a21 a22 b2
··· ··· ··· ··· ··· . (2.6)
D=
··· ··· ··· ··· ···
b1 b2 . . . bl c
Разлагая D по последней строке и затем по последнему столбцу, получаем

D=? Akr (?)bk br + C(?) · c, (2.7)

где
···
a11 a12 a1l
···
a21 a22 a2l
··· ··· ··· ··· (2.8)
C(?) = ,
··· ··· ··· ···
···
al1 al2 all

а Akr (?) являются алгебраическими дополнениями элементов akr в C(?).
Произведения bk br зависят от произведений и квадратов внешних импульсов,
2
которые, будучи выражены через s, t и Mj по формулам

s = (p1 + p2 )2 , t = (p1 + p3 )2 u = (p1 + p4 )2 ,
4
2p1 p2 = s ? M1 ? M2 ,
2
p2 = Mj ,
2 2 2
s+t+u= Mj , j
i=1
(2.9)
2p1 p3 = t ? M1 ? M3 , 2p1 p4 = M2 + M3 ? s ? t,
2 2 2 2


2p2 p3 = M1 + M4 ? s ? t, 2p2 p4 = t ? M2 ? M4 ,
2 2 2 2


2p2 p3 = s ? M3 ? M4 ,
2 2


приведут к (2.4).
Каждый член в (2.4) является однородной функцией по ? степени l.
Для более детального изучения свойств коэффициентов f (?) и g(?) использу-
ем инвариантность D(?; s, t) относительно различного выбора путей, по которым
протекают импульсы внешних частиц p1 , p2 , p3 и p4 .
Предварительно введем понятие s-пути и t-пути, несколько отличающиеся от
соответствующих понятий в работе Идена.
Аналитические свойства амплитуды рассеяния 39

s-Путь. Назовем s-путем в данной диаграмме любую непрерывную линию, со-
стоящую из внутренних линий диаграммы и соединяющую вершины 1 и 3 или 2
и 4 соответственно.
t-Путь определяется как линия, состоящая из внутренних линий диаграммы и
соединяющая вершины 1 и 2 или 3 и 4.




Выберем внутренние независимые импульсы интегрирования ql так, как пока-
зано на рис. 3, а. При таком выборе импульс p1 внешней частицы 1 протекает
только лишь вдоль s-пути, соединяющего вершины 1 и 3 (в дальнейшем s13 ), им-
пульс p2 протекает вдоль s-пути s24 , сумма импульсов p1 + p3 протекает только
лишь вдоль t-пути t34 , вдоль t-пути t12 и всех остальных линий диаграммы про-
текает только лишь импульсы ql . В этом случае коэффициент c в (2.5) не зависит
от s, и зависимость D(?; s, t) от s содержится только лишь в произведениях bk ,
которые принимают один из следующих видов:
1) либо ?bk = ?k2 p2 , если ?k1 принадлежит
?k1 p1 + ?k13 (p1 + p3 ) +
k1 k13 k2
s13 , ?k13 принадлежит t34 , ?k2 принадлежит s24 , а импульс qk протекает
вдоль s13 по линии с индексом k1 , вдоль t34 — по линии k13 и вдоль s24 —
по линии k2 ;
2) либо ?bk = ?k13 (p1 + p3 ), если ?k1 принадлежит s13 и ?k13
?k1 p1 +
k1 k13
принадлежит t34 , а qk протекает вдоль s13 и t34 по линиям k1 и k13 ;
3) либо ?bk = ?k2 p2 , если ?k2 принадлежит s24 , а qk протекает вдоль s24 , но
k2
не протекает вдоль выделенного на рис. 3, а t-пути t34 ;
4) либо ?bk = ?k13 (p1 + p3 ), если ?k13 принадлежит t34 , а импульс qk не
k13
протекает вдоль s-путей s13 и s24 .
Следовательно, в силу (2.9) произведение bk br содержит переменную s только
лишь в том случае, если ?k принадлежит s13 , а ?r принадлежит s24 (или наобо-
рот).
Таким образом, мы приходим к следующей лемме.
Лемма 2(f ). Коэффициент f (?) при s в D(?; s, t) является суммой вида
(2.10)
f (?) = ?k ?r fkr (?),
k,r
40 В.И. Коломыцев, В.И. Фущич

где суммирование происходит по таким индексам k и r, что если ?k прина-
длежит s13 , то ?r принадлежит s24 , а fkr (?) — некоторая функция, которая
в силу свойства дискриминанта D(?; s, t) не зависит от ?k и ?r .




Выбирая импульсы интегрирования и пути, по которым протекают внешние
импульсы, как показано на рис. 3, б, и повторяя выкладки, проведенные выше
относительно структуры f (?), можно получить следующее предложение, являю-

<< Предыдущая

стр. 8
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>