<< Предыдущая

стр. 80
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

четырехмерных вращений, уравнения Максвелла и Дирака (для нулевой массы)
инвариантны относительно конформной группы.
В дальнейшем будут сформулированы теоремы, устанавливающие новые груп-
повые свойства уравнений Дирака, Клейна–Гордона–Фока, Кеммера–Дэффина и
одного уравнения четвертого порядка, являющегося обобщением свободного не-
релятивистского уравнения Шредингера. Доказательство этих теорем осуществ-
ляется с помощью метода, предложенного в [5, 6]. Суть его состоит в том, что
сначала система дифференциальных уравнений первого порядка с помощью уни-
тарного (или изотермического) преобразования приводится к диагональной (или
жордановой) форме, а затем уже для преобразованного уравнения устанавливается
дополнительная алгебра инвариантности. Найдя базисные элементы дополнитель-
ной алгебры инвариантности для преобразованного уравнения и имея унитарный
оператор, определяем алгебру инвариантности исходного уравнения.
Проблемы асимптотической теории нелинейных колебаний, Киев, Наукова думка, 1977, С. 238–
246.
352 В.И. Фущич

Под дополнительной инвариантностью будем понимать любую инвариантность,
отличную от лоренц-инвариантности.
За последние несколько лет начали интенсивно изучаться групповые свойства
дифференциальных уравнений в частных производных на основе классических
методов С. Ли [16–18]. Эти методы существенно отличаются от наших. Основное
отличие состоит в том, что в нашем случае базисные элементы новых алгебр ин-
вариантности соответствующих уравнений, вообще говоря, не принадлежат классу
дифференциальных операторов, как это имеет место в случае лоренц-симметрии,
когда инфинитезимальные операторы группы представляют собой линейные диф-
ференциальные операторы первого порядка. Базисные элементы этих алгебр яв-
ляются, как правило, псевдодифференциальными или интегродифференциальными
(нелокальными) операторами. По этой причине эти операторы не являются каса-
тельными преобразованиями в смысле С. Ли, однако они образуют конечномерную
алгебру Ли.
1. Дополнительная инвариантность уравнения Дирака
1. Уравнение Дирака в гамильтоновой форме можно записать в виде [6]

??(t, x1 , x2 , x3 )
= H?(t, x1 , x2 , x3 ), (1.1)
i
?t
? ?
?1 (t, x)
? ? (t, x) ?
?(t, x) ? ? 2 ? H = ?0 ?a pa + ?0 ?4 m, (1.2)
? ?3 (t, x) ? ,
?4 (t, x)

где m — масса частицы, pa = ?i ?xa , a = 1, 2, 3. Четырехрядные матрицы ?0 , ?a ,
?

?4 удовлетворяют алгебре Клиффорда

?µ ?? + ?? ?µ = 2gµ? ; µ, ? = 0, 1, 2, 3, 4,

g00 = ?g11 = ?g22 = ?g33 = ?g44 = 1; gµ? = 0, если µ = ?. В (1.2) под повторяю-
щимися индексами подразумевается суммирование от 1 до 3.
Обозначим через {QA } множество базисных элементов алгебры Ли некоторой
группы G. Уравнение (1.1) инвариантно относительно группы G, если выполняю-
щей условия

?
? H, QA (1.3)
i ?(t, x) = 0, A = 1, 2, . . . .
?t ?

Задача о нахождении максимальной группы инвариантности или алгебры инвари-
антности уравнения (1.1) состоит в описании и явном построении всех операторов
QA , удовлетворяющих условиям (1.3).
Теорема 1. Уравнение Дирака (1.1) инвариантно относительно таких двух 10-
мерных алгебр Ли, базисные элементы которых задаются операторами
? ?
(1) (1)
{QA } : Pa = pa = ?i
(1)
P0 = p0 = i , , a = 1, 2, 3,
(1.4)
?t ?xa
(1) (1)
= xa pb ? xb pa , J0a = x0 pa ? xa p0 , x0 = t;
Jab = Jab
Групповые свойства дифференциальных уравнений квантовой механики 353

?0 H ? Hp
1 ?
v a ? 0v a
1? v
xa = U xa U + = xa + (1.5)
,
H2 H2 H2 H2
2
где унитарный оператор U имеет вид [6]
?0 H
1
U=v 1+ v (1.6)
.
H2
2
(2) (2) (2)
{QA } : = H = ?0 ?a pa + ?0 ?4 m,
P0 Pa = pa ,
(1.7)
1
(2) (2)
J0a = x0 pa ? (xa H + Hxa ).
Jab = Jab ,
2
Доказательство. Можно непосредственно проверить, что условия (1.3) для опера-
торов (1.4) и (1.7) выполняются. Однако в этом проще убедиться, если над урав-
нением (1.1) и операторами (1.4) и (1.7) сделать унитарное преобразование (1.6).
Подробное доказательство см. в [5, 6].
Замечание 1. Операторы (1.4) и (1.7) порождают совершенно различные правила
преобразования для пространственных и временной координат при переходе от
одной системы отсчета к другой:
(1) (1)
= exp iJ0b ?b xa exp ?iJ0c ?c ,
x(1)
a
(1.8)
(1) (1) (1)
?iJ0c ?c
x0 = exp iJ0b ?b x0 exp = x0 ,

(2) (2)
= exp iJ0b ?b xa exp ?iJ0c ?c ,
x(2) (1.9)
a

(2) (2) (2)
= exp iJ0b ?b x0 exp ?iJ0c ?c = x0 , (1.10)
x0

?b — параметры преобразования.
Формула ( 1.10) указывает на то, что время не меняется при переходе от одной
системы отсчета в другой. Это означает, что релятивистское уравнение (1.1) инва-
риантно относительно преобразовании (1.9), (1.10), хотя время при таком преобра-
зовании не изменяется. Заметим, что нелокальное преобразование (1.10), конечно,
не совпадает ни с преобразованием Лоренца, ни с преобразованием Галилея. Этo
oзнaчает, что преобразования (1.9), (1.10) не сохраняют квадратичную форму в
конфигурационном пространстве
x2 ? x2 = (x0 )2 ? (xa )2 .
0 a

Однако аналогичные преобразования для энергии и импульса сохраняют квадра-
тичную форму в импульсном пространстве
p2 = p2 = (p0 )2 ? (pa )2 .
0 a

Таким образом, уравнение Дирака (1.1) обладает двойственной природой. С одной
стороны, оно инвариантно относительно преобразований Лоренца, сохраняющих
квадратичные формы как в конфигурационном, так и в импульсном пространс-
твах. С другой стороны, уравнение Дирака инвариантно относительно преобра-
зований (1.9), (1.10), которые не сохраняют квадратичную форму в конфигура-
ционном пространстве. Если с помощью операторов (1.7) найти соответствующие
354 В.И. Фущич

формулы преобразования для энергии н импульса, то такие преобразования со-
храняют квадратичную форму в импульсном пространстве. Этот последний факт,
инвариантность уравнения (1.1) и не инвариантность квадратичной формы относи-
?
тельно преобразований (1.9), (1.10), является следствием того, что оператор i ?t в
пространстве решений уравнения (1.1) имеет такой же спектр, как и оператор H.
Спектр оператора H лежит, за исключением интервала (?m, m), на всей действи-
тельной оси.
Используя эти рассуждения можно доказать следующее общее утверждение.
Теорема 2. Если произвольное уравнение вида (1.1) инвариантно относительно
преобразований Лоренца, и спектр оператора H(p) лежит на действительной
оси и имеет ненулевую щель, то такое уравнение также инвариантно отно-
сительно преобразований координат xa = fa (x1 , x2 , x3 ), a = 1, 2, 3, при которых
время не изменяется.
Замечание 2. Уравнения Максвелла при отсутствии зарядов может быть записано
в форме (1.1) н оператор H для этих уравнений удовлетворяет условиям теоре-
мы 2 [7]. Операторы (1.4), (1.5) являются интегро-дифференциальными.
С помощью интегрального преобразования (1.6) по указанной схеме доказыва-
ется следующее утверждение.
Теорема 3. Уравнение (1.1) инвариантно относительно алгебры Ли четыре-
хмерной группы вращений O(4), базисные элементы которой задаются интег-
ро-дифференциальными операторами
i i
? ?
Sab = (?a ?b ? ?b ?b ), S4a = (?4 ?a ? ?a ?4 ), (1.11)
?? ?? a, b = 1, 2, 3, ?? ??
4 4
где
?0 H (?a ?c ? ?c ?a )pc + 2?a ?4 m
1
1? v v
?a = U + ?a U = ?a +
? ,
H2 H2
2
?b pb + ?4 m ?4 ?c pc
v v
?4 = U + ?4 U = ?4 + 1 ?
? .
H2 H2
2. Рассмотрим групповые свойства уравнения типа Дирака с собственным вре-
менем [11]
??(?, x0 , x1 , x2 , x3 )
= (?0 p0 ? ?a pa )?(?, x0 , x1 , x2 , x3 ). (1.12)
i
??
Теорема 4. Уравнение (1.12) инвариантно относительно группы вращений и
сдвигов в пятимерном пространстве Минковского. Базисные элементы этой
алгебры инвариантности уравнения (1.12) задаются такими дифференциаль-
ными операторами:
? ? ?
Pa = ?i P4 = ?i
P0 = i , , ,
?t ?xa ??
i
Jµ? = xµ p? ? x? pµ + Sµ? , (?µ ?? ? ?? ?µ ), (1.13)
Sµ? =
4
1 ? ? ?
M = ?0 p0 ? ?a pa .
J4µ = ? pµ + (xµ M + M xµ ),
2
Групповые свойства дифференциальных уравнений квантовой механики 355

Теорема 5. Уравнение (1.12) инвариантно относительно группы SO(1, 5), если
на множестве решений уравнения (1.12) оператор p2 = p2 ? p2 > 0, или группы
µ a
0
SO(2, 4), если на множестве решений уравнения (1.12) оператор p2 = p2 ? p2 <
µ a
0
0.
Замечание 3. В этом случае базисные элементы алгебры инвариантности урав-
нения (1.12) являются интегро-дифференциальными операторами. Из теоремы 5
следует, что уравнение (1.12) инвариантно относительно конформных преобразо-
ваний.
2. Групповые свойства уравнений Кеммера–Дэффина
и Клейна–Гордона–Фока
1. Уравнение Кеммера–Дэффина (КД) — это система десяти дифференциаль-
ных уравнений первого порядка
(?0 p0 ? ?a pa ? m)?(t, x1 , x2 , x3 ) = 0,
(2.1)
? ?
pa = ?i
p0 = i , , a = 1, 2, 3,
?t ?xa
где четыре десятирядные матрицы ?0 и ?a удовлетворяют алгебре
(2.2)
?µ ?? ?? + ?? ?? ?µ = gµ? ?? + g?? ?µ .
Групповые свойства уравнения КД устанавливаются следующей теоремой.
Теорема 6. Уравнение КД инвариантно относительно 34-мерной алгебры Ли,
содержащей в качестве подалгебры алгебру группы SU (3).
Доказательство этой теоремы опубликовано в [13].
Известно, что помимо 10-мерного неприводимого представления алгебры (2.2),
существует 5-мерное неприводимое представление. Поэтому неприводимое пред-
ставление алгебры (2.2) наименьшей размерности может быть реализовано матри-
цами 5 ? 5. В этом случае уравнение КД представляет собой дифференциальную
систему пяти уравнений, для которых справедлива следующая теорема.
Теорема 7. Пятимерная система уравнений КД инвариантная относительно
алгебры Ли группы SU (3).
2. Перейдем к изучению групповых свойств уравнения Клейна–Гордона–Фока
(КГФ). Преобразуем уравнение КГФ
p2 ? p2 ? m2 ?(x0 , x1 , x2 , x3 ) = 0, (2.3)
x0 = t
0 a

с помощью замены
p0 ? = ??2 , ? ? ?2 , (2.4)
p0 ? = 0,
где ? — постоянная величина, в системе двух уравнений первого порядка относи-
тельно временной производной:
?1 (t, x)
p0 ?(t, x) = H?(t, x), (2.5)
?= ,
?2 (t, x)
1 1/2
H= E 2 + ? 2 ?1 ? i?2 E 2 ? ? 2 E = p 2 + m2 (2.6)

<< Предыдущая

стр. 80
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>