<< Предыдущая

стр. 81
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

, ,
a
2?
где ?1 , ?2 , ?3 — двухмерные матрицы Паули.
356 В.И. Фущич

Следующая теорема устанавливает групповые свойства уравнения КГФ.
Теорема 8. Уравнение (2.5) инвариантно относительно двух 10-мерных алгебр
Ли, базисные элементы которых задаются операторами:
? ?
(1) (1)
Pa = pa = ?i Jab = xa pb ? xb pa ,
(1)
P0 = p0 = i , ,
?t ?xa (2.7)
p0
(1)
= x0 pa ? xa p0 + = ?ipa 2 (?0 + ?3 );
(1) (1)
J0a ?a , ?a
2E
(2) (2) (2)
= H, Jab = xa pb ? xb pa ,
P0 P0 = pa ,
(2.8)
H
1
(2)
= x0 pa ? (xa H + Hxa ) + ?a , ?a = ?ipa 2 ,
(2) (2)
J0a
2 2E
где ?0 — единичная двухмерная матрица.
Замечание 1. Операторы (2.7) н (2.8) удовлетворяют коммутационным соотноше-
ниям алгебры Ли группы Пуанкаре P (1, 3).
3. Изучим групповые свойства линейного уравнения четвертого порядка
??(t, x1 , x2 , x3 )
= (a0 + a2 p2 + a4 p4 )?(t, x1 , x2 , x3 ), (2.9)
i
?t
где a0 , a2 , a4 — постоянные величины,
?
p2 = p2 = p2 + p2 + p2 , pa = ?i p4 = (p2 )2 = (p2 + p2 + p2 )2 .
,
a 1 2 3 a 1 2 3
?xa
Если в (2.9) положить a0 = a4 = 0, a2 = (2m)?1 , то такое уравнение совпадает
со свободным нерелятивистским уравнением Шредингера для одной частицы. По-
этому уравнение (2.9) следует рассматривать как определенное обобщение уравне-
ния Шредингера, учитывающее релятивистские эффекты. Для построения основ
обобщенной нерелятивистской квантовой механики на базе уравнения (2.9) не-
обходимо прежде всею найти группу инвариантности такого уравнения, что дает
возможность получить формулу сложения скоростей при переходе от одной инер-
циальной системы отсчета к другой. Следующая теорема устанавливает группу
инвариантности уравнения (2.9).
Теорема 9. Уравнение (2.9) инвариантно относительно 20-мерной алгебры Ли,
базисные элементы которой задаются операторами
? ?
Pa = pa = ?i
P0 = i , , Pab = pa pb ,
?t ?xa (2.10)
? ?
Jab = xa pb ? xb pa ,
La = p2 pa , M = b4 I,

Ga = tp(4) ? b4 xa , (2.11)
a = 1, 2, 3,
a
(4) ?
где pa = 2b4 (a2 + 2a4 p2 )pa , b4 — постоянная величина, I — единичный опера-
тор.
Операторы Ga порождают такие преобразования пространственных координат
(4)
и обобщенного импульса pa :

xa = exp{iGb ?b }xa exp{?iGc ?c } = xa + b?1 p(4) ? p(4) t,
a a
4
(2.12)
t = exp{iGb ?b }t exp{?iGc ?c } = t,
Групповые свойства дифференциальных уравнений квантовой механики 357

p(4) = exp{iGb ?b }p(4) exp{?iGc ?c } = p(4) + b4 (xa ? xa )t?1 , (2.13)
a a a
(4)
= pa + 2b2 {(a2 + 2b2 a4 ?2 + 2a4 p2 + 4a4 b4 pb ?b )?a +
pa 4 0 4
(2.14)
+2a4 (2pb ?b + b4 ?2 )pa },
где ?b — параметры преобразования, ?2 = ?1 + ?2 + ?3 .
2 2 2

В случае, когда a0 = a4 = 0, a2 = (2m)?1 , b4 = m, а параметры преобразования
?a = va — компоненты скорости одной системы отсчета относительно другой,
преобразования (2,12) и (2.13) приобретают простой вид
pa ? p 0
(2.15)
xa = xa + t = xa + tva , pa = pa + mva , t = t.
m
Преобразования (2.15) совпадают с обычными преобразованиями Галилея.
Замечание 2. Оператор обобщенного импульса определяется из требования ин-
вариантности уравнения (2.9) относительно операторов (2.11), т.е. из требования
[p0 ? H, Ga ] = 0.
Теорема 10. Алгеброй инвариантности свободного уравнения Шредингера
1
(уравнение (2.9), где a0 = a4 = 0, a2 = 2m ) является шестимерная алгебра
Ли, изоморфная алгебре Ли группы Лоренца SO(1, 3).
Доказательство этой теоремы приведено в [15].
Во всех рассмотренных выше системах дифференциальных уравнений вида
??
? (2.16)
L t, x, , ?(t, x1 , x2 , x3 ) = 0
?t ?x
?
L — линейный дифференциальный оператор первого порядка с постоянными ко-
эффициентами. Заметим, что все теоремы о группах инвариантности таких урав-
?
нении доказывались с помощью приведения матричного оператора L к диагональ-
ному виду изометрическим (или унитарным) преобразованием. Привести L к ди-
агональному виду удалось благодаря тому, что символ L(x, p) этого оператора
является симметрической матрицей.
?
В тех случаях, когда символ оператора L появляется симметрической матрицей,
для установления алгебры инвариантности уравнения (2.16) нужно преобразовать
?
его к виду, в котором символ преобразованного оператора L имеет канонический
вид Жордана. Установив алгебру инвариантности для преобразованного уравнения
(2.16), с помощью изометрического преобразования находится явный вид алгебры
инвариантности для исходного уравнения (2.16). Очевидно, что методом канони-
ческих преобразований можно изучить групповые свойства дифференциальных
уравнений с переменными коэффициентами.
Алгебра инвариантности уравнения (2.16) может быть установлена с помощью
?
диагонализации и в том случае, когда L — абстрактный самосопряженный опе-
ратор в гильбертовом пространстве. Согласно спектральной теореме фон Нейма-
на, всякий самосопряженный оператор может быть приведен к диагональному ви-
ду унитарным преобразованием. Примером таких уравнений может служить сче-
тная система уравнений первого порядка в частных производных типа Майорана,
описывающая движение релятивистской системы с переменной массой и спином.
Групповые свойства линейных дифференциальных уравнений с операторными ко-
эффициентами в гильбертовом пространстве будут изучены в другой статье.
358 В.И. Фущич

1. Овсянников Л.В., Группы и инвариантно-групповые решения дифференциальных уравнений,
ДАН СССР, 1958, 118, № 3, C. 439–441.
2. Овсянников Л.В., Групповые свойства уравнений механики, В кн.: Механика сплошной среды
и родственные проблемы анализа, М., Наука, 1972, C. 381–393.
3. Митропольский Ю.А., Лопатин Л.К., О преобразовании систем нелинейных дифференциальных
уравнений к нормальной форме, Математическая физика, К., 1973, вып. 14, C. 125–140.
4. Mitropolski Yu.A., Lopatine A.K., Le methode asymptotique dans la theoriedes ргосessus non-
lineaires ondulatoires et osciliatcires, Bolletino della Unione Matematica Italiana, 1975, 4, 11,
Suppl. fasc. 3, P. 413–429.
5. Fushchych W.I., On additional invariance of relativistic equations of motion, Preprint Inst. Theor.
Phys., 1970. № 32E, P. 1–16.
6. Фущич В.И., О дополнительной инвариантности релятивистских уравнений движения, Теор. и
мат. физика, 1971, 7, № 1, C. 3–12.
7. Fushchych W.I., On the additional invariance of the Dirac and Maxwell Equations, Lettere Nuovo
Cimento, 1974, 11, № 10, P. 508–512.
8. Фущич В.И., О релятивистски-инвариантном массовом операторе, Укр. физ. журн., 1968, 13,
№ 3, C. 363–372.
9. Фущич В.И., О представлении группы де Ситтера, Укр. физ. журн., 1966, 11, № 8, C. 907—909.
10. Фущич В.И., О дополнительной инвариантности уравнения Клейна–Гордона–Фока, ДАН СССР,
1976, 230, № 3, C. 570–573.
11. Фущич В.И., Сегеда Ю.Н., О группах инвариантности некоторых уравнений релятивистской
квантовой механики, Укр. мат. журн., 1976, 28, № 6, C. 844–849.
12. Никитин А.Г., Сегеда Ю.Н., Фущич В.И., О дополнительной инвариантности уравнений Кем-
мера–Дэффина и Рариты–Швингера, Теор. и мат. физика, 1976, 29, № 1, C. 82–92.
13. Владимиров С.А., Фущич В.И., Максимальная и минимальная группы симметрии атома водо-
рода, Укр. физ. журн., 1976, 21, № 9, C. 1460–1462.
14. Сегеда Ю.Н., О дополнительной инвариантности уравнений Максвелла, В кн.: Краевые задачи
электродинамики сплошных сред, Киев, 1976, C. 218—224.
15. Фущич В.И., Сегеда Ю.Н., О новой алгебре инвариантности уравнения Шредингера, ДАН СС-
СР, 1977, 232, № 4, C. 801–802.
16. Niederer U., The maximal kinematical Invariance groups of Schr?dinger equation, Helvetica Physica
o
Acta, 1972, 45, C. 802–814.
17. Anderson R.L., Kumei S., Wulfman C.E., Generalization of the concept of invariance of differential
equations, Physical Review Letters, 1972, 28, № 15, C. 988–992.
18. Boyer С.P., Kalnins E.G., Miller W., Lie theory and separation of variables, J. Math. Phys., 1975,
16, P. 499–512.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 1, 359–392.

Дифференциальные уравнения движения
первого и второго порядка для частиц
с произвольным спином
В.И. ФУЩИЧ, А.Г. НИКИТИН
Выведены пуанкаре-инвариантные дифференциальные уравнения первого и второго
порядка, описывающие движение свободной частицы с произвольным спином. Пока-
зано, что полученные уравнении допускают непротиворечивое обобщение на случай
заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле. Точно решена задача о
движении частицы произвольного спина в однородном магнитном поле. Найден в
явном виде закон преобразования операторов координаты и спина частицы при пе-
реходе к новой инерциальной системе отсчета.

Введение
В последние годы вновь оживился интерес к теории релятивистских уравнений
для частиц с произвольным спином. Этот интерес обусловлен экспериментальным
открытием относительно стабильных частиц со спином s > 1, а также тем обсто-
ятельством, что все обычно используемые уравнения для таких частиц оказались
во многих отношениях не вполне удовлетворительными.
В работах [1–3] было показано, что явно ковариантные уравнения, описываю-
щие движение свободных частиц со спином s ? 1, приводят к различным противо-
речиям при обобщении на случай взаимодействия с внешним полем — сверхсвето-
вой скорости распространения сигнала, комплексным значениям энергии частицы
и другим парадоксам.
Причины этих трудностей хорошо известны. Они состоят в том, что явно кова-
риантные уравнения для частиц с высокими спинами либо включают производные
по времени выше первого порядка, либо содержат лишние (нефизические) компо-
ненты. Поэтому самый кардинальный способ преодоления упомянутых трудностей
заключается в том, чтобы исходить из уравнений движения свободной частицы в
форме Шредингера
?
(0.1)
Hs ?(t, x) = i ?(t, x),
?t
где ?(t, x) — 2(2s + 1)-компонентная волновая функция, Hs — гамильтониан ча-
стицы, зависящий от импульсов pa = ?i ?xa , a = 1, 2, 3 и спиновых матриц.
?

Уравнения движения для частицы с произвольным спином s в форме (0.1) были
получены в работах [4–6]. Несмотря на выделенность производной по времени, эти
уравнения пуанкаре-инвариантны, поскольку операторы Hs удовлетворяют соотно-
шениям
?
? Hs , Qi (0.2)
i ?(t, x) = 0,
?t ?

Препринт ИМ-77-3, Институт математики АН УССР, Киев, 1977, 48 с.
360 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

где Qi — произвольный генератор группы Пуанкаре P (1, 3). Отличительной осо-
бенностью уравнений, полученных в [4–6], является то обстоятельство, что га-
мильтониан Hs определен в пространстве волновых функций ?(t, x) со скалярным
произведением


d3 x ?+ ?2 , (0.3)
(?1 , ?2 ) = 1


в то время как в более ранних работах Вивера, Хаммера, Гуда и Метьюза с со-
трудниками [7], в которых также рассматривались уравнения вида (0.1), скалярное
произведение волновых функций имеет вид


d3 x ?+ M ?2 , (0.4)
(?1 , ?2 ) = 1


где M — некоторый интегро-дифференциальный метрический оператор.
В работах Гуертина [8] подход [4, 5] получил дальнейшее развитие и были
найдены новые уравнения вида (0.1) в пространстве с индефинитной метрикой,
которые для нижайших значений спина s = 0, 1 совпадают с известными уравне-
ниями Тамма–Сакаты–Такетани [9].
Найденные в [4–8] релятивистские гамильтонианы Hs при s > 1 являются
2
интегро-дифференциальными (нелокальными) операторами, что сильно затрудняет
задачу обобщения уравнений (0.1) на случай взаимодействующих частиц. В [5]
такая задача решена для заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле
в предположении, что импульс частицы мал по сравнению с ее массой.
В настоящей работе получены дифференциальные уравнения движения в фор-
ме (0.1) для релятивистской частицы произвольного спина. С использованием ал-
гебраического (неспинорного) подхода, развитого в работах [4, 5], найдены все
возможные (c точностью до эквивалентности) релятивистские гамильтонианы Hs ,
принадлежащие классу дифференциальных операторов первого и второго порядка.
Показано, что полученные уравнения допускают непротиворечивое обобщение на
случай заряженных частиц во внешнем электромагнитном поле. Исходя из най-
денных уравнений, точно решена задача о движении релятивистской частицы с
произвольным спином в однородном магнитном поле.

<< Предыдущая

стр. 81
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>