<< Предыдущая

стр. 82
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Получены также релятивистские уравнения для безмассовых частиц с прои-
звольным спином. Описанию таких частиц посвящено большое количество работ,
опубликованных в последние годы [23]. Предложено большое количество (не все-
гда неэквивалентных) уравнений для безмассовых частиц и в то же время описа-
ны не все возможные существенно различные типы таких уравнений. В настоя-
щей работе найдены все возможные (с точностью до эквивалентности) пуанкаре-
инвариантные уравнения для частиц с нулевой массой и исследованы их свойства
относительно преобразований пространственной инверсии P , зарядового сопряже-
ния C и обращения времени T .

1. Уравнения без лишних компонент
Дифференциальные уравнения движения частицы произвольного спина s мы
получим, исходя из следующего представления для генераторов Pµ , Jµ? группы
Дифференциальные уравнения движения первого и второго порядка 361

P (1, 3)
?
Pa = pa = ?i
P 0 = Hs , ,
?xa
(1.1)
1
Jab = xa pb ? xb pa + Sab , = tpa ? [xa , Hs ]+ + ?a ,
J0a
2
где [A, B]+ = AB + BA, Hs — неизвестный пока дифференциальный оператор,
?
включающий производные по ?xa не выше второго порядка,

sc 0
— цикл (1, 2, 3), (1.2)
Sab = Sc = , (a, b, c)
0 sc

sc — генераторы неприводимого представления D(s) группы O(3), ?a — некото-
рый оператор, явный вид которого может быть определен из требования, чтобы
генераторы (1.1) удовлетворяли алгебре Пуанкаре P (1, 3).
Представления вида (1.1) рассматривались в [8]. Однако уравнения для части-
цы с произвольным спином s полученные в [7], принадлежат при s > 1 классу
нелокальных (интегро-дифференциальных) уравнений.
Определение. Будем говорить, что уравнение (0.1) пуанкаре-инвариантно и
описывает частицу с массой m и спином s, если генераторы Pa , Jµ? и гамиль-
тониан Hs удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры P (1, 3) [4]
[Hs , Pa ]? = [Hs , Jab ]? = 0,
[Jab , Jcd ]? = i(?ac Jbd + ?bd Jac ? ?ad Jbc ? ?bc Jad ), (1.3)
[Jab , J0c ]? = i(?bc J0a ? ?ac J0b ),

[J0a , J0b ]? = ?iJab , (1.4)
[Hs , J0a ]? = ipa , [Pa , J0b ] = i?ab Hs ,

P µ P µ = H s ? p 2 = m2 ,
2
(1.5)
a

Wµ W µ ? = m2 s(s + 1)?, (1.6)

где введено обозначение [A, B]? = AB ? BA, Wµ — вектор Паули-Любанского,
Wµ = 1 ?µ??? J?? P? .
2
Таким образом, задача о нахождении всех неэквивалентных уравнений ви-
да (0.1) сводится к отысканию операторов Hs и ?a (зависящих от импульсов pa и
спиновых матриц Sa ), удовлетворяющих системе соотношений (1.1)–(1.6).
Искомый дифференциальный оператор второго порядка Hs представим в виде
разложения по спиновым матрицам и 2(2s + 1)-рядным матрицам Паули
1 (s)
(s) (s)
(1.7)
Hs = h0 m + h1 + h,
m2
где
(s) (s)
h0 = a(s) ?µ , h1 = b(s) ?µ ,
µ µ

(1.8)
3
(s)
· P) +
c(s) ?µ (S d(s) ?µ p2 , 2
p2 ,
h2 = p=
µ µ a
a=1
362 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

(s) (s) (s)
?µ — 2(2s + 1)-рядные матрицы Паули, коммутирующие с Sab (1, 2), aµ , bµ , cµ ,
(s)
dµ — неизвестные коэффициенты. По повторяющемуся индексу µ подразумевае-
тся суммирование от 0 до 3.
Теорема 1. Все возможные (с точностью до эквивалентности) дифференци-
альные операторы Hs , включающие производные не выше второго порядка и
удовлетворяющие системе соотношений (1.1)–(1.6), задаются формулами:
k 2 (S · p)2
p2 1 3
Hs = ?1 m + ?3 k1 S · p + (?1 ? i?2 ) ? , s = 0, , 1, , . . . ,(1.9)
2m 2m 2 2

(S · p)2
p2
H1 = ?1 m + (?1 ? i?2 ) ? ik2 ?2 + (1.10)
k2 (k2 + 1)?3 ,
2m m
(S · p)2
p2
H1 = ?1 m + k3 ?3 (S · p) + (?1 ? i?2 ) + ?k3 ?1 + i?2 (2 ? k3 )
2 2
,(1.11)
2m 2m
(S · p)2
p2 k4 5
(S · p)2 ? p2 + ?3 k4 ? 1
2 (1.12)
H 3 = ?1 m + + i?2 ,
2m 2m 4 2m
2



k5 (S · p)2
p2 2
? + ?3 k5 S · p+
H = ?1 m+
3
2m 2m
2

(1.13)
(S · p) 2 2
52 92 p
k ?1 ? k ?1
+i?2 ,
25 45
2m 2m

где kl , l = 1, 2, 3, 4, 5 — произвольные параметры.
Доказательство. Используя явный вид (1.1)–(1.2) генераторов группы P (1, 3), не-
трудно убедиться, что гамильтониан (1.7), (1.8) удовлетворяет соотношениям (1.3)
(s) (s) (s) (s)
при произвольных значениях коэффициентов aµ , bµ , cµ , dµ .
Потребуем, чтобы гамильтониан (1.7) удовлетворял условию (1.5). Подставив
(1.7) в (1.5) и приравнивая коэффициенты при линейно независимых слагаемых,
приходим к системе уравнений
(s) (s) (s) (s) (s) (s)
h0 · h0 = 1, h2 · h2 = 0,
[h1 , h2 ]+ = 0,
(1.14)
(s) (s) (s) (s) (s) (s)
· 2
[h0 , h1 ]+ = 0, h1 h1 + [h0 , h2 ]+ =p .
Ввиду линейной независимости спиновых матриц Sa и матриц Паули ?µ си-
стема соотношений (1.8), (1.14) эквивалентна системе уравнений второго порядка
(s) (s) (s) (s)
для коэффициентов aµ , bµ , cµ , dµ . Общее решение системы (1.8), (1.14) для
произвольных значений s задается формулой (см. дополнение)
1
(s) (s) (s)
h1 = ?3 k1 (S · p), (?1 ? i?2 ) p2 ? k1 (S · p)2 ,(1.15)
2
h0 = ? 1 , h2 =
2
где k1 — произвольное комплексное число. В случаях s = 1 и s = 3 , помимо (1.15)
2
существует еще по два независимых решения
(1) (1)
h0 = ? 1 , h1 = 0,
(1.16)
p2
(1)
= (?1 ? i?2 ) ? ik2 ?2 + k2 (k2 + 1)?3 (S · p) , 2
h2
2
Дифференциальные уравнения движения первого и второго порядка 363

(1) (1)
h1 = ?3 k3 (S · p),
h0 = ? 1 ,
(1.17)
k3 (S · p)2
p2 2 2
p2
k3
(1)
? 1? (S · p) ?
2
h3 = ?1 + i?2 ,
2 2 2 2

(3) (3)
h0 2 = ? 1 , h1 2 = 0,
(1.18)
(3) 1 5
(S · p) ? p2 + ?3 ? 1(S · p)
2 2 2
2 2
h2 = ?1 p + i?2 k4 k4 ,
2 4

(3) (3)
h1 2 = ?3 k5 (S · p),
h0 2 = ? 1 , (1.19)

(3) 1 52 92
k5 ? 1 (S · p)2 ? k5 ? 1 p2 + ?1 p2 ? k5 (S · p)2
2
h2 2 = i?2 ,
2 4 4

где k2 , k3 , k4 , k5 — произвольные комплексные числа.
Формулы (1.15)–(1.19) задают все возможные решения системы (1.8), (1.14)
с точностью до преобразований эквивалентности, осуществляемых чисельными
матрицами. Подставив (1.15)–(1.19) в (1.7) приходим к гамильтонианам (1.9)–(1.13).
Для завершения доказательства теоремы осталось только указать явный вид
операторов ?a , входящих в определение (1.1) генераторов J0a , при котором опера-
торы (1.1), (1.9)–(1.13) удовлетворяют соотношениям (1.4), (1.6). Можно убедиться
непосредственной проверкой, что эти соотношения выполняются, если положить в
(1.1)
?1 ? i?2
k1
1? i?1 Sa ? (p ? S)a (1.20)
?a =
2 2m
в случае, когда гамильтониан Hs имеет вид (1.9) и
[Sab pb , Hs ]+ pa (2E + Bs ) [xa ?1 , Hs ]+
? i[Sab pb ?1 , Hs ]+
?a = ? ?i ?
+i ,
2E 2 Bs
E(E + m) 2EBs 2(E + m)Bs (1.21)
? E = p 2 + m2
Bs = 2E + [Hs , ?1 ]+ , A = i[Hs , A]? ,

в случае, когда гамильтониан Hs задается одной из формул (1.10)–(1.18). Теорема
доказана.
Замечание 1. Операторы (1.9)–(1.13) включают как частные случаи гамильтониан
Дирака для частицы с s = 1 (формула (1.9) при k1 = ±2) и гамильтонианы Тамма–
2
Сакаты–Такетани [9] для частиц с s = 0 (формула (1.9)) и s = 1 (формулы (1.10)
при k2 = ?1 и (1.11) при k3 = 0).
1
Замечание 2. Гамильтониан (1.9) при s = 2, k1 — произвольное чисто мнимое
число, рассматривался ранее в [10].
Замечание 3. Все генераторы группы P (1, 3), задаваемые формулами (1.1), (1.9),
(1.20), принадлежат классу дифференциальных операторов. При k1 = 2 генераторы
J0a (1.1), (1.20) принимают особо простой вид
1
J0a = x0 pa ? [xa , Hs ]+ . (1.22)
2
364 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

Замечание 4. Гамильтонианы (1.9)–(1.13) и остальные генераторы группы P (1, 3),
задаваемые формулами (1.1), (1.2), (1.20), (1.21), могут быть приведены к канониче-
ской форме Фолди–Широкова [11]. Это достигается посредством преобразования

P0 > P0 = V P0 V ?1 = ?1 E, Pa > Pa = V Pa V ?1 = pa ,
k k


Jab > Jab = V Jab V ?1 = xa pb ? xb pa + Sab ,
k
(1.23)
1 Sab pb
J0a > J0a = V J0a V ?1 = tpa ? [xa , E]+ ?1 ? ?1
k
,
2 E+m
где операторы V задаются формулами

V = V1 V 2 V 3 ,

<< Предыдущая

стр. 82
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>