<< Предыдущая

стр. 83
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


S·p S·p
p k1
V3 = exp (?1 ? i?2 ) ?1
arth
V1 = exp ?1 , ,
(1.24)
p E 2 m
1 1
E?+ + m?? ? 2?1 S · p?? , ?± =
V2 = v (1 ± ?3 )
2
Em
для гамильтонианов (1.9) и
E + ? 1 Hs
(1.25)
V=
2E 2 + E[Hs , ?1 ]+

для гамильтонианов (1.10)–(1.13).
Таким образом, мы нашли все возможные (с точностью до эквивалентности)
релятивистские гамильтонианы Hs частицы с произвольным спином s, включаю-
щие произвольные не выше второго порядка. Оказалось, что такие гамильтонианы
существуют дли любых значений s и задаются формулами (1.9)–(1.13).
Возникает естественный вопрос: существуют ли пуанкаре-инвариантные га-
мильтонианы для частиц с произвольным спином в классе дифференциальных
операторов первого порядка? Задача описания таких гамильтонианов решается в
следующем параграфе.
2. Дифференциальные гамильтоновы уравнения первого порядка
По аналогии с теорией Дирака для электрона, постулируем, что гамильтони-
ан релятивистской частицы с произвольным спином является дифференциальным
оператором, включающим производные по пространственным переменным не выше
первого порядка. Общий вид такого оператора задается формулой
?
(s)
? ?
Hs = ?(s) pa + ?0 m, pa = ? (2.1)
,
a
?xa
? (s)
где ?µ — некоторые численные матрицы.
Генераторы представления группы Пуанкаре, которое реализуется на решениях
уравнения (0.1) с гамильтонианом (2.1), выберем в виде
?
P0 = Hs , Pa = pa = ?i Jab = xa pb ? xb pa + Sab ,
,
?xa (2.2)
J0a = x0 pa ? xa Pa + S0a , x0 = t,
Дифференциальные уравнения движения первого и второго порядка 365

где Sµ? — матрицы, образующие конечномерное представление (не обязательно
неприводимое) алгебры Лоренца O(1, 3). Представление (2.2) соответствует ло-
кальным преобразованиям волновой функции при переходе к новой инерциальной
системе отсчета.
Определить все возможные гамильтонианы вида (2.1) означает найти все такие
(s)
матрицы ?µ и Sµ? , что операторы (2.1), (2.2) удовлетворяют алгебре Пуанкаре
(1.3)–(1.6).
Потребуем, чтобы гамильтониан (2.1) удовлетворяя соотношению (1.5):
2 2
? (s)
?
Hs ? ? ?(s)
2
p2 p2 m2 +
+ ?0
s a a
(2.3)
? (s) ? a ? a ? (s) pa pb ?
+ ?0 , ?(s) mpa + ?(s) , ?b p2 2
=m .
a
+ +

Приравнивая в (2.3) линейно независимые слагаемые, заключаем, что матрицы
? (s)
?µ должны удовлетворять алгебре Клиффорда
?µ ?? ?? ?µ
?(s) ?(s) + ?(s) ?(s) = 2?µ? . (2.4)
Представления алгебры (2.4) хорошо известны и задаются матрицами размер-
ности 2n ? 2n , n = 2, 3, . . .. При этом матрицы
i ? (s) ? (s) i ? (s)
(2.5)
?ab = ??, ?0a = ?
2a b 2a
реализуют 2n?2 кратно вырожденное представление D 1 , 0 ? D 0, 1 алгебры
2 2
O(1, 3).
Определим теперь матрицы Sµ? из (2.2). Представим Sµ? в виде
(2.6)
Sµ? = ?µ? + jµ? ,
где jµ? — неизвестные матрицы, подлежащие определению. Подставив (2.1), (2.2),
(2.5), (2.6) в (1.3), (1.4), получаем, что матрицы jµ? должны удовлетворять соо-
тношениям
[jµ? , j?? ]? = i(gµ? j?? + g?? jµ? ? gµ? j?? ? g?? jµ? ), (2.7)

? (s) (2.8)
jµ? , ?? = [jµ? , ??? ]? = 0,
?

т.е. матрицы jµ? должны реализовать конечномерное представление алгебры
? (s)
O(1, 3) и коммутировать с ?µ .
Рассмотрим случай, когда jµ? образуют неприводимое представление D(j, 0)
алгебры O(1, 3). Это означает, что
j0a = ?ija ,
jab = jc ,
(2.9)
2
— цикл (1, 2, 3).
[ja , jb ]? = ijc , ja = j(j + 1), (a, b, c)
Тогда из (2.6), (2.8) по теореме Клебша–Гордона заключаем, что матрицы Sµ?
должны реализовать представление
1 1 1 1 1
, 0 ? D 0, ?D(j, 0) = D j + , 0 ?D j ? , 0 ?D j,
D .(2.10)
2 2 2 2 2
366 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

При редукции (2.10) на алгебру O(3) получаем представление (2.10)
1 1 1 1
?D j+ ?D j? ?D j? (2.10)
D j+ ,
2 2 2 2
что соответствует двум возможным значениям спина
1 1
s2 = s ? 1 = j ? .
и (2.11)
s1 = s = j +
2 2
Нетрудно подсчитать, что размерность матриц Sµ? , входящих в представле-
? (s)
ние (2.10), равна 8s ? 8s; такова же размерность матриц ?µ из (2.5), (2.6). При
этом волновая функция ?(t, x), удовлетворяющая уравнению (0.1) с гамильтониа-
ном (2.1), должна иметь 8s компонент. Можно показать, что если матрицы jµ? в
(2.6) образуют неприводимое представление D(j1 , j2 ) алгебры O(1, 3), где j1 = 0 и
j2 = 0 или приводимое представление этой алгебры, то при заданном фиксирован-
ном s размерность матриц Sµ? всегда будет больше, чем 8s ? 8s.
Таким образом, гамильтониан (2.1) и операторы (2.2) удовлетворяют условиям
пуанкаре-инвариантности (1.3)–(1.5), а волновая функция ?(t, x) имеет минималь-
? (s)
ное число компонент тогда и только тогда, когда матрицы ?µ в (2.1) реализуют
8s-рядное представление алгебры Клиффорда (2.4), а матрицы Sµ? в (2.2) имеют
вид (2.5), (2.6), (2.8), (2.9), где j = s ? 1 .
2
Уравнение (0.1) с гамильтонианом (2.1) описывает частицу, спин которой мо-
жет принимать два значения (2.11). Для того, чтобы получить описание части-
цы с фиксированным спином s, на волновую функцию ?(t, x) следует наложить
пуанкаре-инвариантное дополнительное условие, исключающее лишние компонен-
ты, соответствующие значению спина s2 = s ? 1. Такое дополнительное условие
имеет особо простую форму в каноническом представлении алгебры P (1, 3) типа
Фолди–Широкова [11], в котором гамильтониан Hs (2.1) диагонален, а генерато-
ры Pµ , Jµ? (2.2) реализуют полностью приведенную прямую сумму неприводимых
представлений D+ (s) ? D? (s) ? D+ (s ? 1) ? D? (s ? 1) алгебры Пуанкаре.
Преобразуем уравнение (0.1), (2.1) и генераторы (2.2) к канонической диаго-
нальной форме
? ? (s)
? = Hk ? = ?0 E?, (2.12)
i ? = U ?,
?t

Pµ > U Pµ U ?1 = Pµ , Jµ? > U Jµ? U ?1 = Jµ? ,
k k
(2.13)

k k
где Pµ , Jµ? задаются формулами

?
(s)
?
P0 = ?0 · E, Pa = pa = ?i Jab = xa pb ? xb pa + Sab ,
k k k
,
?xa
(2.14)
1 ? Sab pb ,
= x0 pa ? ? ?k
k k
J0a xa , P0 0
+
2 E+m
а оператор преобразования U имеет форму
(s) (s)
?a p a p ?0 ja pa p
arctg arth (2.15а)
U = exp exp ,
2p m p E
Дифференциальные уравнения движения первого и второго порядка 367

? (s) ? (s) ? (s) (s) (s) (s) (s) (s)
?(s) = ?0 ?(s) , (2.15б)
? 0 = ?0 , ?4 = i?0 ?1 ?2 ?3 .
a a

В представлении (2.14) инвариантное дополнительное условие, выделяющее
подпространство, соответствующее спину s, имеет вид
Wµ W µ ? ? (Sab )2 ? = s(s + 1)?. (2.16)
Эквивалентной формой записи условия (2.16) служит формула
(2.17)
Ps ? = ?,
где Ps — оператор проектирования на подпространство, соответствующее фикси-
рованному спину s
1
(Sab )2 ? s(s ? 1) . (2.18)
Ps =
2s
Таким образом, в представлении (2.14) уравнения движения релятивистской
частицы с произвольным фиксированным спином s имеют вид (2.12), (2.17). По-
средством преобразования, обратного (2.12), (2.15), получаем эти уравнения в ?-
представлении
? (s) (s)
? = Hs ?, Hs = ?0 ?(s) pa + ?0 m, (2.19а)
i a
?t
(s)
? µ p µ , Ps
?
Ps = U ?1 Ps U = Ps + 1 ? ?4
(s)
? ? (2.19б)
Ps ? = ?, .
2m
Отметим, что уравнения (2.19) могут быть записаны в явно ковариантной фор-
ме
?(s) pµ ? m ? = 0, (2.20а)
µ

(s)
1 + ?4 (Sµ? S µ? ? 2s(s ? 1) ? = 8ms?.
?(s) pµ + m (2.20б)
µ

(s)
Уравнение (2.20а) получается из (2.19а) простым умножением на ?0 , а уравнение
(2.20б) легко сводится к (2.19б), если принять во внимание тождество
1
(s)
Ps ? (Sµ? S µ? ? 2s(s ? 1)). (2.21)
1 + ?4
4s
Полученные результаты можно сформулировать следующим образом.
Теорема 2. Системы уравнений (2.19) и (2.20) пуанкаре-инвариантны и опи-
сывают движение свободной частицы с фиксированным спином s и массой m.
Система уравнений (2.20) имеет ряд преимуществ перед другими известными
уравнениями для частиц с произвольным спином [1–3]. Действительно, уравне-
ния (2.20) имеют достаточно простую форму, которая не усложняется с ростом
спина (алгебра ?-матриц, безусловно, проще алгебры матриц, входящих в дру-
гие известные уравнения для высших спинов); предельный переход m > 0, как
будет показано ниже, позволяет получить из (2.20) уравнения для безмассовых
частиц (в то время как уравнения Кеммера–Дэффина и Баба не допускают такого
368 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

перехода [14]); наконец, как будет показано далее, уравнения (2.20) допускают
непротиворечивое обобщение на случай частиц, взаимодействующих с внешним
электромагнитным полем.
Уравнения (2.20) были выписаны нами ранее в [4] без каких-либо доказа-
тельств. Здесь мы привели подробный вывод этих уравнений.
В работах [15] также предлагались 8s-компонентные дифференциальные урав-
нения первого порядка, описывающие движение свободной частицы с произволь-
ным фиксированным спином s и массой m. Однако системы уравнений, полу-
ченные в [15], становятся несовместными при учете взаимодействия частицы с
внешним полем.
3. Уравнение типа Вейля для частиц произвольного спина
Хорошо известно, что уравнение Вейля для нейтрино [12] эквивалентно урав-
нению Дирака (cm = 0), если на решение последнего наложить пуанкаре-инвари-
антное дополнительное условие
1
(s)

<< Предыдущая

стр. 83
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>