<< Предыдущая

стр. 84
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

1 ? ?4 (3.1)
? = 0, s=
.
2
В настоящем параграфе получено уравнения типа Вейля для частиц произвольного
спина, исходя из обобщенного уравнения Дирака (2.20).
Система уравнений (2.20) для случая m = 0 может быть записана в форме
? (s)
? = ?0 ?(s) pa ?,
i a
?t
(3.2)
? (s) (s)
i ? ?0 ?(s) pa 1 + ?4 (Sµ? S µ? ? 2s(s ? 1)) ? = 0.
a
?t
Из явного вида генераторов группы P (1, 3) (2.2), (2.5), (2.6), (2.9) следует,
(s)
что при m = 0 оператор 1 ? ?4 коммутирует с Pµ , Jµ? , и, следовательно, урав-
нение (3.1) пуанкаре-инвариантно для любого значения спина. Добавляя усло-
(s)
вия (3.1) к уравнениям (3.2) и выбирая матрицы ?µ в виде
? ? ?
0 I I 0 0 2?a
(s) (s)
?(s) = , (3.3)
?0 = , ?4 = ,
?I ?2?a
? ? ?
a
I 0 0 0

где I и ? — 4s-рядные единичные и нулевые матрицы, ?a — 4s-рядные матрицы,
0
удовлетворяющие соотношениям
3
2
— цикл (1, 2, 3), (3.4)
[?a , ?b ] = i?c , (a, b, c) ?a = ,
4
приходим к системе уравнений
?
?(t, x) = 2? · p?(t, x), (3.5)
i
?t
? 1 (s)
? 2? · p Sab ? s(s ? 1) ?] = 0,
2
(3.6)
i Sab = 1 + ?0 Sab ,
?t 2
где ? — 4s-компонентная волновая функция, связанная с ? соотношением
1 (s)
(3.7)
?= 1 + ?4 ?.
2
Дифференциальные уравнения движения первого и второго порядка 369

Матрицы Sab , входящие в (3.6), согласно (2.5), (2.6), (2.9) имеют следующую
структуру
(3.8)
Sab = jc + ?c , [jc , ?b ]? = 0,
где матрицы jc с точностью до преобразований эквивалентности задаются соотно-
шениями
ja = j(j + 1) = s(s ? 1).
2
(3.9)
[ja , jb ]? = ijc ,
Уравнение (3.5), очевидно, описывает частицу с нулевой массой покоя. Не-
приводимые представления группы Пуанкаре II класса (для Pµ P µ = 0, Pµ = 0)
задаются собственными значениями ? и ? инвариантных операторов знака энергии
P0 Jab pc
и спиральности ? = .
?=
?
|P0 | p
a=b=c
Покажем, что система уравнений (3.5), (3.6) описывает частицу со спирально-
стью ? = ±s. Обозначим
Sab ? s2 = g.
2
(3.10)
Подставив (3.10) в (3.6) и используя (3.5), получаем после несложных преобразо-
ваний
?
i ? 2? · p) g? ?
?t
(3.11)
? ?
? i ? 2? · p g ? g i ? 2? · p ? = [g, 2? · p]? ? = 0.
?t ?t
Принимая во внимание тождества
g? · p + ? · pg = S · p, g S · p = S · pg,
g2 = S 2 , (3.12)
получаем из (3.11)
S · p? = 2s? · p?. (3.13)
Из (3.5), (3.13), (3.4) заключаем, что оператор знака энергии ? = 2? ·p имеет на
? p
множестве решений уравнений (3.5), (3.6) значения ? = ±1, а оператор спираль-
ности ? = S·p имеет при этом значения ? = ±s.
p
Следовательно, на решениях уравнений (3.5), (3.6) реализуется прямая сумма
неприводимых представлений D+ (s) ? D? (s) группы Пуанкаре, и их можно рас-
сматривать как обобщение уравнений Вейля на случай частиц с произвольным
спином. В § 9 мы покажем, что уравнения (3.5), (3.6) CP -, T -инвариантны, но C-,
P -неинвариантны.
Рассмотрим примеры уравнений (3.5), (3.6) для s = 0, 1 , 3 , 2.
22
а) s = 1 . В этом случае, согласно (3.8), (3.9)
2

(3.14)
S a = ?a , ja = 0,
где ?a — матрицы размерности 2 ? 2, удовлетворяющие (3.4). Подставив (3.14) в
(3.5), (3.6), убеждаемся, что уравнение (3.6) обращается в тождество (если имеет
место (3.5)), а (3.5) совпадает с уравнением Вейля
?µ pµ ? = 0, (3.15)
370 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

где ?µ — матрицы Паули

(3.16)
?0 = I, ?a = 2?a .

б) s = 1. В этом случае матрицы ?a , jb , удовлетворяющие (3.4), (3.8), (3.9), не
умаляя общности, можно выбрать в виде
? ? ? ?
000i 0 0i0
1 ? 0 0 ?i 0 ? 1? 0 0 0 i?
?1 = ? ?, ?2 = ? ?,
2? 0 i 0 0 ? 2 ? ?i 0 0 0 ?
?i 0 0 0 0 ?i 0 0
? ? ? ?
0 ?i 0 0 0 0 0 ?i
1? i 0 0 0? 1 ? 0 0 ?i 0 ?
?3 = ? ?, j1 = ? ?, (3.17)
?0 0 0 i? ?0 i 0 0?
2 2
0 0 ?i 0 i00 0
? ? ? ?
0 ?i 0 0
00i0
1 ? 0 0 0 ?i ? 1? i 0 0 0 ?
j2 = ? ?, j3 = ? ?.
2 ? ?i 0 0 0 ? 2 ? 0 0 0 ?i ?
0i00 00i0
Обозначив
? ?
?0
? ?1 ?
?=? ? (3.18)
? ?2 ?
?3
и подставляя (3.17), (3.18) в (3.5), (3.13), приходим к системе уравнений для ?µ
??
rot ? = i div ? = 0, ?0 = const, (3.19)
,
?t
где константа ?0 , не умаляя общности, может быть приравнена нулю.
Полагая в (3.19) ? = H ? iE, где H и E — векторы напряженности магнитного
и электрического полей, приходим к уравнениям Максвелла для электромагни-
тного поля в вакууме. Такая формулировка уравнений Максвелла была впервые
предложена в [13].
в) s = 0. Уравнения для бесспиновых и безмассовых частиц могут быть получе-
ны из (3.5), (3.13), (3.17), если положить там s = 0. Используя обозначение (3.18),
получаем в этом случае систему уравнений
??0 ??
div ? = i grad ?0 = i (3.20)
, .
?t ?t
Уравнения (3.20) имеют решения вида

k0 = ? = ± ka ,
?µ = kµ ?(?)ei(kx?i?t) , 2 (3.21)

где ?(?) — произвольная функция, и описывают распространение продольной вол-
ны.
Дифференциальные уравнения движения первого и второго порядка 371

г) s = 3 . Выбирая матрицы ?a и jb в виде
2
? ? ? ?
00 0 00 0 00 i 0 00
? 0 0 ?i 0 0 0 ? ?0 0 0 0 0 0?
? ? ? ?
?0 i 0 0 0 0 ? ? ?i 0 0 0 0 0?
j1 = ? ?, j2 = ? ?,
?0 0 0 0 0 0 ? ?0 0 0 0 0 i?
? ? ? ?
? 0 0 0 0 0 ?i ? ?0 0 0 0 0 0?
0 ?i 0 0
00 0 0i 0 00
? ? ? ?
0 ?i 0 0 0 0 00 0100
?i 0 0 0 0 0? ?0 0 0 0 1 0?
? ? ? ?
?0 0 0 0 0 0? 1? 0 0 0 0 0 1?
j3 = ? ? ?1 = ? ? , (3.22)
? 0 0 0 0 ?i 0 ? , 2? 1 0 0 0 0 0?
? ? ? ?
?0 0 0 i 0 0? ?0 1 0 0 0 0?
0 0 00 0 0 00 1000
? ? ? ?
0 0 0 ?i 0 0 1 00 0 0 0
? 0 0 0 0 ?i 0 ? ?0 0?
10 0 0
? ? ? ?
1? 0 0 0 0 0 ?i ? 1? 0 0?
01 0 0
?2 = ? ?, ?3 = ? ?
?i 0 0 0 0? 2? 0 0?
0 0 ?1 0
0
2? ? ? ?
?0 i 0 0 0? ?0 0 0 0 ?1 0 ?
0
0 ?1
00i 0 0 0 0 00 0
и представляя волновую функцию ? в форме
? 1?
??
? 2?
?1
?? = ? ?? ? , (3.23)
?= , ? = 1, 2
?2
?3
?

получаем из (3.22), (3.23), (3.5), (3.6), (3.13) уравнение для ?2
?

? ??
rot ?? = i (3.24а)
,
?t
(?µ )?? pµ ?? = 0. (3.24б)
Таким образом, волновая функция ?a частицы с m = 0 и s = 3 , удовлетворяет
? 2
уравнению типа Максвелла (3.24а) по векторному индексу a и уравнению типа
Вейля (3.24б) по спинорному индексу ?.
д) s = 2. Выберем матрицы ?a и jb в виде
1
?
ja = ?a ? I, I ? ?a , (3.25)
j ?a =
2
?
где I и I — двурядная и четырехрядная единичные матрицы,
0 ?1
01 10
?1 = , ?2 = i , ?3 = ,
0 ?1
10 10
? ? ? ?
v v
?
3 3
0 0 0 0 0 0
? v3 v
3 3
? ?3 ?
?2
?1 = 1 ? 3 0? ?2 = 1 ? 3 0?
0 2 0
? v ?, ? v ?, (3.26)
j j
2? 0 3? 2? 0 3?
2 0 2 0
v v

<< Предыдущая

стр. 84
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>