<< Предыдущая

стр. 85
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

3 3
3 3
0 0 0 0 0 0
3 3
372 В.И. Фущич, А.Г. Никитин
? ?
3 00 0
?0 0?
?3 = 1 ? 10 ?.
j
2? 0 0?
0 ?1
?3
0 00

Волновая функция ?(x) имеет, согласно (3.25), (3.20), 8 компонент ?k , ? = 1, 2,
?
k = 1, 2, 3, 4, причем матрицы ?a действуют только на индекс k, а ?a — на индекс ?.
j
Из (3.5), (3.6), (3.18), (3.25) получаем уравнения для ?k в виде
?

??k
2
(ja )kk pa ?? = i ? ,
µ
?k k
(3.27)
(?µ )?? p = 0, ?
3 ?t
которые, в силу изложенного выше, могут быть интерпретированы как уравнения
для безмассовых частиц со спином s = 2.
4. Другие типы уравнений для частиц с нулевой массой
Как показано в [24], уравнение Вейля не является единственным возможным
двухкомпонентным уравнением для безмассовых частиц со спином S = 1 . В [24]
2
получены все неэквивалентные уравнения для таких частиц и исследованы их
свойства относительно преобразований P , C, T .
Аналогичная ситуация имеет место и в случае частиц произвольного спина,
т.е. уравнения ( 3.5), (3.6) не исчерпывают всех неэквивалентных уравнений для
безмассовых частиц. В настоящем параграфе мы получим все возможные (с точно-
стью до эквивалентности) уравнения для частиц с m = 0 и произвольным спином
s.
Мы будем исходить из следующей системы 8s-компонентных уравнений
?
? = ? · p ?, (4.1)
i
?t
?
? ?p Sab ? = 0,
2
(4.2)
i
?t
где ?(t, x) — 8s-компонентная волновая функция, ?a и Sab — матрицы размерно-
сти 8s ? 8s
?2?a
0 Sab 0
(4.3)
?a = i , Sab = ,
2?a 0 0 Sab
а матрицы Sab , ?a по-прежнему определяются соотношениями (3.4), (3.8), (3.9).
Уравнения (4.1), (4.2) пуанкаре-инвариантны. Генераторы группы P (1, 3) на
множестве решений уравнений (4.1), (4.2) имеют вид
?
P0 = ? · p, Pa = pa = ?i Jab = xa pb ? xb pa + Sab ,
,
?xa
(4.4)
i
= x0 pa ? xa P0 + ?a + i?a ,
J0a
2
где
?ja ?I
0 ja 0 0
(4.5)
?a = i = ?4 , ?4 = i ,
ja 0 0 ja I 0
а матрицы ja определены в (3.8), (3.9).
Дифференциальные уравнения движения первого и второго порядка 373

Повторяя почти дословно выкладки (3.10)–(3.13), нетрудно убедиться, что урав-
нение (4.2) может быть записано в следующей эквивалентной форме
S · p ? = s?4 ? · p. (4.6)
Из (4.4), (4.6) заключаем, что на множестве решений уравнений (4.1), (4.2) реа-
лизуется прямая сумма
D+ (s) ? D? (?s) ? D? (s) ? D+ (?s) (4.7)
неприводимых представлений группы P (1, 3). Таким образом, уравнения (4.1),
(4.2) неэквивалентны (3.5), (3.6).
Для получения всех других неэквивалентных уравнений для безмассовых ча-
стиц произвольной спиральности воспользуемся тем фактом, что система (4.1),
(4.2) не исчерпывает всех пуанкаре-инвариантных уравнений в представлении
(4.4). Действительно, как и в случае s = 1 [24] помимо (4.2), на волновую
2
функцию ? можно наложить одно из следующих инвариантных дополнительных
условий
? ?
L1 ? ? 1 + ??4 ? · p + ? ?4 + ?? ? · p ? = 0, (4.8)

L2 ? ? (1 + ??4 )? = 0, (4.9)

?
L3 ? ? 1 + ?? · p ? = 0, (4.10)

?
L4 ? ? 1 + ??4 ? · p ? = 0, (4.11)

? ?
L5 ? ? ?3 + ?? · p + ? ?4 + ?? ?4 ? · p ? = 0, (4.12)

где

?p ?, ? = ±1. (4.13)
p= ,
p
?
Уравнения (4.8)–(4.12) пуанкаре-инвариантны, поскольку операторы ? · p и ?4
(а значит, и L1 , . . . , L5 ) коммутируют со всеми генераторами (4.4) группы P (1, 3).
С другой стороны, эти уравнения исчерпывают все возможные с точностью до
эквивалентности пуанкаре-инвариантные дополнительные условия, которые можно
наложить на решения системы (4.1), (4.2). Действительно, операторы Ln можно
представить в виде
?? ??
?? ? ? ??
L1 = 4P1 P2 , L2 = 2P1 , L3 = 2P2 , L4 = 2 P1 P2 + P1 P2 ,
(4.14)
?? ?? ?? ? ? ??
L5 = 4 P1 P2 + P1 P2 + P1 P2 ,

где P1 и P2 — операторы проектирования на подпространства D? (s) ? D? (?s) и
? ?

D+ (? s) ? D? (? s) соответственно
1 1
? ?
1 + ?? · p , 1 + ? ?4 ? · p .
? ?
(4.15)
P1 = P2 =
2 2
374 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

Из (4.7), (4.14), (4.15) следует, что на решениях уравнений (4.1), (4.2) с одним
из дополнительных условий (4.8)–(4.12) реализуются следующие представления
группы P (1, 3)
D?? (? s)D?? (?? s) ? D? (?? s), (4.16)

D?? (s) ? D? (?s), (4.17)

D?? (s) ? D?? (?s), (4.18)

D+ (??s) ? D? (??s), (4.19)

D? (? s). (4.20)

Нетрудно убедиться, что формулы (4.7), (4.16)–(4.20) исчерпывают все возмо-
жные невырожденные прямые суммы неприводимых представлений D? (? s) груп-
пы P (1, 3), откуда и следует вывод, что уравнения (4.1), (4.2) с одним из допол-
нительных условий (4.8)–(4.12) (или без дополнительных условий) исчерпывают
все возможные (с точностью до эквивалентности) релятивистские уравнения для
безмассовой частицы с произвольным спином s.
Исследуем свойства полученных уравнений относительно преобразований P , C
и T . Для этого воспользуемся следующей схемой [24]

P
D+ (s)  - D+ (?s)
PP
i 1

P 
PP
6 6 T- ?
D? (s) 
C C
PPP D (s)

 P
? ) P?
q
 - D? (?s)
?
D (s)
P
P
где символ D+ (s)-D+ (?s) означает, что операция пространственной инверсии
преобразует пространство неприводимого представления D? (s) в пространство
представления D? (?s) и т.д.
Из (4.7), (4.16)–(4.20) заключаем, что уравнения (4.1), (4.2) P -, C-, T -инва-
риантны; уравнения (4.1), (4.2) с дополнительным условием (4.8) T -инвариантны,
но C-, P -, CP -неинвариантны; уравнения (4.1), (4.2), (4.9) T -, CP -инвариантны,
но C-, T -неинвариантны; уравнения (4.1), (4.2), (4.10) P -, T -инвариантны, но C-
неинвариантны; уравнения (4.1), (4.2), (4.11) C-, T -инвариантны, но P -неинва-
риантны; наконец, уравнения (4.1), (4.2), (4.12) T -инвариантны, но P -, C-, CP -
неинвариантны.
Отметим, что уравнения (4.1), (4.2) с одним из дополнительных условие (4.8),
(4.11) или (4.12) — неинвариантны относительно преобразований P CT и P T . Этот
факт не противоречит известной CP T -теореме Паули–Людерса, поскольку допол-
нительные условия (4.8), (4.11), (4.12) в x-пространстве нелокальны.
В заключение этого раздела приведем явный вид всех возможных неэквива-
лентных уравнений для безмассовых частиц со спином s = 1. Выбирая матрицы ?
и ja из (4.3), (3.8) в форме (3.17) и представляя волновую функцию ? в виде
?
(4.21)
?= ,
?
Дифференциальные уравнения движения первого и второго порядка 375

где
? ? ? ?
?0 ?0
?? ? ?? ?
? = ? 1 ?, ? = ? 1 ?, (4.22)
? ?2 ? ? ?2 ?
?3 ?3
а ?µ и ?µ — однокомпонентные функции, приходим, согласно (4.1), (4.2), (4.6) к
уравнениям для ? и ? в форме
?? ??
rot ? = ? rot ? = ?
, ,
?t ?t (4.23)
div ? = 0, div ? = 0, ?0 = c1 , ?2 = c2 ,
где c1 и c2 — константы, которые, не умаляя общности, можно считать равными
нулю.
Уравнения (4.23) совпадает с уравнениями Максвелла для электромагнитного
поля в вакууме.
Найдем теперь явный вид дополнительных условий (4.8)–(4.13), которые можно
наложить на решения уравнений (4.23), не нарушив их ковариантности. Подставив
(3,8), (3.17), (4.3) в (4.8)–(4.13), получаем
p(? ? i? ?) = ?? rot (? ? i? ?), (4.24)

(4.25)
? = i??,

rot ? = ?i?p?,
rot ? = i?p?, (4.26)

rot ? = ??p?, rot ? = ??p?, (4.27)

p(?? + i? ?) = ?? rot (? ? i? ?), (4.28)
p(? + i? ?) = 0.

Таким образом, помимо уравнений Максвелла (4.23), для безмассовых частиц со
спином 1 существует еще пять типов пуанкаре-инвариантных уравнений, ко-
торые имеют вид (4.23) с одним из дополнительных условий (4.24)–(4.28). Под-
черкнем, что все дополнительные условия (4.24)–(4.28), за исключением (4.26), в
x-пространстве имеют форму нелокальных (интегро-дифференциальных) уравне-
ний. Отметим также, что уравнения (4.23), (4.26) эквивалентны (3.19).
5. Конечные преобразования операторов координаты и спина
Задание явного вида генераторов Qp ? {Pµ , Jµ? } группы Пуанкаре однозна-
чно определяет закон преобразования волновой функции при переходе к новой
инерциальной системе координат
?(t, x) > ? (t, x) = exp(iQl ?l )?(t, x), (5.1)

где ?l — параметры преобразования. При этом операторы N физических величин
(координаты, спина, импульса и т.д.) преобразуются следующим образом
? ? ?
N > N = exp(iQl ?l )N exp(?iQl ?l ). (5.2)
Формула (5.2) в принципе дает исчерпывающий ответ о связи операторов ди-
намических переменных в старой и новой системе координат и в случае, когда
376 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

генераторы Pµ , Jµ? имеют локально ковариантную форму (2.2), конкретные вычи-
сления с использованием (5.2) не вызывают никаких затруднений. Однако в пред-
ставлении типа (1.1), (1.20), когда генераторы J0a невозможно записать в виде
суммы коммутирующих “спиновой” и “орбитальной” частей, вычисление явного
?
вида преобразованных операторов N является нетривиальной задачей. В этом па-
раграфе получен закон преобразований операторов координаты и спина частицы
генерируемых операторами (1.1), (1.20) при k1 = 2,

<< Предыдущая

стр. 85
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>